1. Który spójnik jest spójnikiem głównym w podanych formułach

Elementy logiki i metodologii nauk
elementy KRZ
plan na dziś:
pojęcie formuły języka KRZ,
schematy zdań języka naturalnego w języku KRZ
matryce spójników języka KRZ,
badanie tautologiczności formuł języka KRZ metodą zerojedynkową
DEFINICJA (formuła języka KRZ):
(i) Każda zmienna zdaniowa jest formułą języka KRZ.
(ii) Jeśli A jest formułą języka KRZ, to wyrażenie o postaci ‘¬A’ jest również formułą języka KRZ.
(iii) Jeśli A i B są formułami języka KRZ, to wyrażenia o postaci ‘(A ∧ B)’, ‘(A ∨ B)’, ‘(A → B)’, ‘(A ↔ B)’ są formułami języka
KRZ.
(iv) Nie ma żadnych formuł języka KRZ poza tymi, które zostały wymienione w punkcie (i) i tymi, które można otrzymać na mocy
punktów (ii), (iii).
1. Który spójnik jest spójnikiem głównym w podanych formułach? Odczytaj te formuły w sposób
— jeśli to możliwe — jednoznaczny:
(a) p → (q ∧ r)
(e) ¬(p → q)
(i) p → (q → (q → r))
(b) p → ((q → q) → r)
(f) ¬p → q
(j) ¬((r ∧ ¬q) ↔ s) → ¬(p ∨ ¬q)
(c) ((p ∧ q) ∨ r) → s
(g) (p → q) → (q → r)
(k) ((r ∧ ¬q) ↔ s) → ¬(p ∨ ¬q)
(d) (p ∧ q) ∨ (r → s)
(h) ((p → q) → q) → r
(l) ¬(((r∧¬q) → s) → ¬(p∨¬q))
2. Sformułuj w sposób stylistycznie poprawny zdania powstające z podanych niżej schematów
przez podstawienie: za p — „Teoria Freuda ma prawo do miana nauki.”, za q — „Teoria Freuda może być
potwierdzona przez eksperymenty.”, za r — „Teoria Freuda może być obalona przez eksperymenty.”
(a) p → (q ∨ r)
(b) p → (q → r)
(c) (¬q ∧ ¬r) → ¬p
3. Zbuduj schematy zdań:
(a) Nieprawda, że Jan lubi Piotra, i Piotr o tym wie.
(b) Jan nie lubi Piotra.
(c) Jan lubi Piotra wtedy i tylko wtedy, gdy Piotr lubi Jana.
(d) Jan i Piotr są studentami.
(e) Jan i Piotr są braćmi.
(f) Ukończę studia i wyjadę za granicę, jeśli otrzymam stypendium.
(g) Jeżeli ceny rosną, a płace utrzymują się na tym samym poziomie, to obniża się stopa życiowa.
(h) Ceny rosną, a jeśli płace utrzymują się na tym samym poziomie, to obniża się stopa życiowa.
(i) Albo rosną ceny i obniża się stopa życiowa, albo rosną płace.
(j) Jeżeli rosną ceny i albo obniża się stopa życiowa, albo rosną płace, to o ile płace nie rosną, to obniża
się stopa życiowa.
4. Zbuduj schemat następującego zdania (dla każdej jego możliwej interpretacji): Ukończę studia
doktoranckie i będę pracować naukowo lub zostanę nauczycielem wtedy i tylko wtedy, gdy zadowolę się skromnymi dochodami.
5. W myśl logicznej koncepcji języka, język to system charakteryzowany przez trzy grupy reguł.
Jak należałoby sformułować reguły słownikowe, składniowe i znaczeniowe w przypadku języka
KRZ?
6. Oblicz wartość formuły:
(a) p → (q ∧ p), gdzie p reprezentuje zdanie prawdziwe, a q fałszywe.
(b) ¬(p ∧ (q ∨ r)) ↔ ¬(p ∧ ¬(¬q → r)), gdzie p, q i r mają wartości, odpowiednio: 0, 1, 0.
7. Która z podanych informacji pozwala ustalić wartość logiczną zdania Z, jeśli na miejscu p
występuje zdanie prawdziwe, na miejscu q –– fałszywe, a na miejscu r –– zdanie o nieznanej
wartości logicznej? Schematem Z jest:
(a) p ∨ (q ∧ r)
(c) p → (q ∧ r)
(e) (p ↔ q) ∧ r
(b) p ∧ (q ∨ r)
(d) (p ↔ q) ∨ r
(f) ¬(¬p ∨ ¬(¬q ∧ r))
8. Jaką wartość logiczną posiada zdanie Z, jeżeli jest prawdą, że:
(a) Z tworzy fałszywą koniunkcję z dowolnym zdaniem.
(b) Z tworzy fałszywą koniunkcję tylko z niektórymi zdaniami.
(c) Z tworzy prawdziwą alternatywę z dowolnym zdaniem.
(d) Implikacja, której poprzednikiem jest Z, jest zawsze prawdziwa.
(e) Implikacja, której następnikiem jest Z, jest zawsze prawdziwa.
(f) Implikacja, której poprzednikiem jest Z, jest czasami fałszywa.
(g) Implikacja, której poprzednikiem jest Z, a następnikiem ¬Z, jest zawsze fałszywa.
(h) Równoważność, której pierwszym członem jest Z, jest niekiedy prawdziwa.
9. Prawdziwe jest zdanie: Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii. Czy ta informacja wystarcza, by udzielić odpowiedzi
na następujące pytania:
(a) Czy Platon był założycielem
Akademii?
(b) Czy Arystoteles był uczniem
Platona?
(c) Czy Arystoteles uczęszczał do
Akademii?
10. Czy na któreś z pytań z zadania 9. można odpowiedzieć na podstawie informacji, że:
(a) Jeżeli Platon założył Akademię i był nauczycielem Arystotelesa, to Arystoteles uczęszczał do Akademii.
(b) Platon założył Akademię, a Arystoteles uczęszczał do Akademii lub nie był uczniem Platona.
11. Zbuduj tabelę zerojedynkową dla formuł:
(a) p ∨ (¬p → q)
(b) ((p ∧ q) ∨ (¬r ↔ q)) → ((p ∨ r) → q)
12. Sprawdź metodą skróconą, czy następujące formuły są tautologiami:
(a) (p → q) ∧ p) → q
(d) ((p → q) ∧ ¬p) → ¬q
(b) ((p → q) ∧ q) → p
(e) ((p → q) ∧ (p → r)) → (p → (q ∧ r))
(c) (p → q) ∧ (q → p)
(f) ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) → (p ∨ r)
13. Która z podanych niżej informacji pozwala wnosić, że formuła A jest (i) tautologią, (ii) kontrtautologią?
negacja A jest tautologią;
negacja A jest kontrtautologią;
koniunkcja A i dowolnej tautologii jest tautologią;
koniunkcja A i dowolnej formuły jest kontrtautologią;
(e) alternatywa A i dowolnej tautologii jest tautologią;
(f) alternatywa A i dowolnej formuły jest tautologią;
(a)
(b)
(c)
(d)
(g) negacja alternatywy A i dowolnej tautologii jest
kontrtautologią;
(h) negacja alternatywy A i dowolnej kontrtautologii jest
kontrtautologią;
(i) rownoważność, której jednym członem jest alternatywa A i dowolnej formuły, a drugim — dowolna tautologia, jest tautologią.