Miary zale˙zno´sci dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami
Transkrypt
Miary zale˙zno´sci dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami
Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Joanna Nowicka-Zagrajek Agnieszka Wylomańska Instytut Matematyki i Informatyki Centrum Metod Stochastycznych im. Hugona Steinhausa Politechnika Wroclawska Kraków, kwiecień 2006 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Spis treści 1. Wprowadzenie do modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami 2. Miary zależności dla modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami (a) Definicja miar zależności i ich najważniejsze wlasności (b) Postać tych miar dla omawianych systemów 3. Modele PARMA z gaussowskimi innowacjami (α = 2), jako szczególy przypadek omawianych systemów (a) Warunki gwarantuja̧ce istnienie ograniczonego rozwia̧zania dla modeli PARMA(1,1) i postać tego rozwia̧zania (b) Wykorzystanie modeli do opisu danych zwia̧zanych z handlem energia̧ elektryczna̧ Kraków, kwiecień 2006 1 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 4. Rozszerzenie teorii dla ogólnych modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami (1 < α < 2) (a) Warunki gwarantuja̧ce istnienie ograniczonego rozwia̧zania dla modeli PARMA(1,1) i postać tego rozwia̧zania (b) Relacja pomiȩdzy dwoma miarami zależności (c) Ilustracja wyników teoretycznych Kraków, kwiecień 2006 2 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Wprowadzenie • Modele PARMA (Periodic Autoregressive Moving Average), modele ARMA z okresowymi wspólczynnikami, sa̧ alternatywa̧ dla konwencjonalnych stacjonarnych szeregów czasowych. • Wykorzystywane sa̧ do modelowania danych wykazuja̧cych okresowość (hydrologicznych, meteorologicznych, ekonomicznych, zwia̧zanych z energia̧ elektryczna̧). • Modele PARMA wykazuja̧ okresowy ”rytm”, co jest znacznie bardziej skomplikowane, niż okresowość średniej. • W przypadku modeli PARMA z gaussowskimi innowacjami (α = 2), strukturȩ zależności opisuje funkcja cowariancji, która jest okresowa, podobnie jak średnia szeregu. • W przypadku modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami dla Kraków, kwiecień 2006 3 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 1 < α < 2, struktura zależności opisana jest przez dwie miary: kodyferencjȩ (codifference, CD) oraz kowariacjȩ (covariation, CV), które sa̧ najbardziej popularnymi miarami zależności rozszerzaja̧cymi pojȩcie kowariancji. • Miary CD oraz CV sa̧ zdefiniowane dla symetrycznych α−stabilnych szeregów czasowych. • Dla modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami (1 < α < 2), CD i CV sa̧ okresowe. • Dla modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami (1 < α < 2), CD i CV sa̧ proporcjonalne ze wspólczynnikiem α, tzn. CD CV = α. Kraków, kwiecień 2006 4 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Modele PARMA z α−stabilnymi innowacjami • Modele PARMA z gaussowskimi innowacjami zostaly wprowadzone jako klasa procesów okresowo skorelowanych, tzn. procesów maja̧cych okresowa̧ średnia̧ i kowariancjȩ. • Sa̧ one specjalnym przypadkiem modeli ARMA ze zmiennymi wspólczynnikami, które sa̧ naturalnym rozszerzeniem klasycznych stacjonarnych modeli ARMA, a ponadto wykazuja̧ wiele ich wlasności. Ich wyższość polega na tym, że moga̧ być wykorzystywane do analizy danych niestacjonarnych bez utraty ich dlugookresowej zależności. • Modele PARMA wykorzystywane sa̧ przy opisie danych wykazuja̧cych okresowość na różnych plaszczyznach. Kraków, kwiecień 2006 5 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 6 Modele PARMA z α−stabilnymi innowacjami Definicja 1 PARMA(p,q) z symetrycznymi α−stablinymi innowacjami dany jest wzorem Xn − p X j=1 bj (n)Xn−j = q−1 X ai (n)ξn−i , (1) i=0 gdzie wspólczynniki (bj (n))pj=1 oraz (ai (n))q−1 i=0 sa̧ okresowe z tym samym okresem T , a innowacje {ξn } sa̧ niezależnymi zmiennymi losowymi o symetrycznym rozkladzie α−stabilnym (SαS) z parametrem skali 1, tzn. z funkcja̧ charakterystyczna̧ dana̧ wzorem: Eexp(iθξn ) = exp(−|θ|α ), 0 < α ≤ 2. Kraków, kwiecień 2006 (2) Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Miary zależności dla modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami Definicja 2 Miary zależności dla SαS zmiennych losowych X1 i X2 : • Kowariacja CV (X1 , X2 ) zdefiniowana jest dla 1 < α ≤ 2 nastȩpuja̧co: Z CV (X1 , X2 ) = s1 s<α−1> Γ(ds), 2 S2 gdzie Γ jest miara̧ spektralna̧ wektora losowego (X1 , X2 ), z <p> = |z|p−1 z̄, • Kodyferencja CD(X1 , X2 ) zdefiniowana dla 0 < α ≤ 2 nastȩpuja̧co: CD(X1 , X2 ) = ln E exp{i(X1 −X2 )}−ln E exp{iX1 }−ln E exp{−iX2 }. Kraków, kwiecień 2006 7 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 8 W przeciwieństwie do kodyferencji, kowariacja nie jest symetryczna. Ponadto, gdy α = 2 wówczas mamy Cov(X1 , X2 ) = CV (X1 , X2 ) = 1 CD(X1 , X2 ). 2 Najważniejszymi wlasnościami kowariacji sa̧: • addytywność wzglȩdem pierwszego argumentu: CV (X1 + X2 , Y ) = CV (X1 , Y ) + CV (X2 , Y ), • skalowanie: CV (aX, bY ) = ab<α−1> CV (X, Y ), • jeśli X i Y sa̧ niezależne, wówczas CV (X, Y ) = 0, • jeśli Y1 i Y2 sa̧ niezależne, wówczas CV (X, Y1 + Y2 ) = CV (X, Y1 ) + CV (X, Y2 ). Kraków, kwiecień 2006 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 9 Za normȩ ||X||α dla SαS zmiennej losowej przyjmujemy ||X||α = (CV (X, X))1/α (norma kowariacyjna). Szereg {Xn }, n ∈ Z jest ograniczony w przestrzeni K z norma̧ ||.||α gdy sup ||Xn ||α α < ∞. n∈Z Oznaczamy X = Y w K wtedy i tylko wtedy, gdy ||X − Y ||α = 0. Kraków, kwiecień 2006 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Lemat 1 Jeśli Xn = ∞ P cj (n)ξn−j , gdzie innowacje {ξn } sa̧ j=−∞ niezależnymi SαS zmiennymi losowymi z parametrem skali 1, wówczas prawdziwe sa̧: CV (Xn , Xk ) = ∞ X cj (n)ck−n+j (k)<α−1> α > 1, j=−∞ CD(Xn , Xk ) = ∞ X j=−∞ Kraków, kwiecień 2006 (|cj (n)|α + |ck−n+j (k)|α − |cj (n) − ck−n+j (k)|α ) . 10 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Modele PARMA z gaussowskimi innowacjami (α = 2) Analiza szeregów czasowych w znacznej mierze wykorzystuje stacjonarne szeregi czasowe. Jednak w wielu przypadkach zalożenie o stacjonarności badanego szeregu jest zbyt upraszczaja̧ce. Modele PARMA, jako procesy okresowo skorelowane, sa̧ alternatywa̧ dla takich procesów. Z zalożenia sa̧ niestacjonarne, ale wykazuja̧ wiele wlasności procesów stacjonarnych. Kraków, kwiecień 2006 11 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Twierdzenie 1 (Makagon, Weron, Wylomańska, 2004) System PARMA(1,1) dany w Definicji 1 dla α = 2, p = 1, q = 1 z okresem T ma jednoznaczne ograniczone rozwia̧zanie wtedy i tylko wtedy, gdy |P | = |b1 b2 . . . bT | = 6 1. Ponadto rozwia̧zanie to dane jest wzorem: X ∞ n B n−j+1 an−j ξn−s , gdy |P | < 1, s=0 Xn = (3) ∞ X an+s gdy |P | > 1, − n+s ξn+s , Bn+1 s=1 Qs s gdzie Br = j=r bj (z konwencja̧ Brs = 1 gdy r > s). Kraków, kwiecień 2006 12 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Szereg dany wzorem (3) jest okresowo skorelowany, tzn. dla każdego k ∈ Z kowariancja E(Xn Xn+k ) jest okresowa wzglȩdem n z okresem T i dana jest wzorem n+k T −1 2 Bn+1 P n gdy |P | < 1 1−P 2 s=0 Bn−s+1 an−s , !2 E(Xn Xn+k ) = T X an+k+s P2 , gdy |P | > 1. n+k 2 n+k+s Bn+1 (P − 1) s=1 Bn+k+1 Kraków, kwiecień 2006 13 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Przyklad 1 Rozpatrujemy godzinowe spotowe ceny energii na Towarowej Gieldzie Energii S.A. z okresu: styczeń 2003-styczeń 2005. Na Rysunku 1 umieszczono wykres funkcji autokowariancji dla maksymalnego opóźnienia h = 200. Dodatkowo zaznaczono również 95% przedzial ufności dla ruchu Browna. Kraków, kwiecień 2006 14 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 15 Funkcja autokowariancji z maksymalnym opóźnieniem h = 200. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 Kraków, kwiecień 2006 0 20 40 60 80 100 h 120 140 160 180 200 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 16 • Wykres funkcji autokowariancji wskazuje, że analizowane dane moga̧ być modelowane przez model PARMA z okresem 24. • Kryteria wyboru optymalnego modelu (BIC, FPE) wskazaly na najlepszy model PARMA(1,1) z P = 0.0053. • Optymalny model ma postać Xn = ∞ X n Bn−s+1 an−s ξn−s . s=0 • Funkcja kowariancji dana jest zatem wzorem EXn Xn+k 23 n+k X 2 Bn+1 n = a B n−l n−l+1 1 − |P |2 l=0 i jest okresowa wzglȩdem n. Na Rysunku 2 pokazano jednokrokowa̧ predykcjȩ dla nastȩpnych 24 godzin bazuja̧c na otrzymanym modelu PARMA(1,1). Kraków, kwiecień 2006 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 17 Jednokrokowa predykcja dla spotowych cen energii elektrycznej. 4 1.5 x 10 the prediction the real data 1.4 1.3 1.2 1.1 1 4000 4005 4010 4015 4020 1.4 the percent error 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Kraków, kwiecień 2006 4000 4005 4010 4015 4020 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 18 Rozszerzenie teorii dla ogólnych modeli PARMA z α−stabilnymi innowacjami (1 < α < 2) W dalszej czȩści rozpatrujemy jedynie modele PARMA(1,1) z innowacjami z rozkladu SαS dla 1 < α < 2, dane wzorem: Xn − bn Xn−1 = an ξn , gdzie wspólczynniki i innowacje maja̧ takie same wlasności jak w Definicji 1. Kraków, kwiecień 2006 (4) Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 19 Twierdzenie 2 Jeśli |P | = |b1 b2 . . . bT | = 6 1, wówczas system PARMA(1,1) z innowacjami z rozkladu SαS zdefiniowany w (4) ma ograniczone rozwia̧zanie dane wzorem: Xn = ∞ X n Bn−s+1 an−s ξn−s , gdy |P | < 1 s=0 ∞ X an+s Xn = − n+s ξn+s , Bn+1 s=1 Kraków, kwiecień 2006 gdy |P | > 1. Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Modele PARMA dla |P | < 1 Lemat 2 Jeśli |P | < 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wówczas dla 1 < α ≤ 2 i n, m ∈ Z mamy sign(n−m) max(n,m) T −1 α Bmin(n,m)+1 X m CV (Xn , Xm ) = a B min(n,m)−s+1 min(n,m)−s . 1 − |P |α s=0 Lemat 3 Jeśli |P | < 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wówczas dla 1 < α ≤ 2 i n, m ∈ Z mamy: CD(Xn , Xm ) = α α max(n,m) max(n,m) −1 α 1 + Bmin(n,m)+1 − 1 − Bmin(n,m)+1 TX min(n,m) B a min(n,m)−s+1 min(n,m)−s . 1 − |P |α s=0 Miary wyznaczone w Lematach 2 i 3 sa̧ okresowe z okresem T . Kraków, kwiecień 2006 20 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Twierdzenie 3 Jeśli |P | < 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wówczas (a) dla każdego n ∈ Z i 1 < α ≤ 2 mamy: CD(Xn+k , Xn ) CD(Xn , Xn−k ) = lim = α, lim k→∞ CV (Xn+k , Xn ) k→∞ CV (Xn , Xn−k ) (b) dla każdego n ∈ Z i 1 < α < 2 mamy: CD(Xn−k , Xn ) CD(Xn , Xn+k ) = lim = 0. k→∞ CV (Xn−k , Xn ) k→∞ CV (Xn , Xn+k ) lim Kraków, kwiecień 2006 21 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 22 Modele PARMA dla |P | > 1 Lemat 4 Jeśli |P | > 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wówczas dla 1 < α ≤ 2 i n, m ∈ Z mamy sign(n−m) α max(n,m) T |P |α Bmin(n,m)+1 X amax(n,m)+s CV (Xn , Xm ) = max(n,m)+s . B |P |α − 1 s=1 m+1 Lemat 5 Jeśli |P | > 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wówczas dla 1 < α ≤ 2 i n, m ∈ Z mamy: CD(Xn , Xm ) = α α α max(n,m) max(n,m) T |P |α 1 + Bmin(n,m)+1 − 1 − Bmin(n,m)+1 X amax(n,m)+s . max(n,m)+s |P |α − 1 s=1 Bmin(n,m)+1 Kraków, kwiecień 2006 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Twierdzenie 4 Jeśli |P | > 1 i {Xn } jest ograniczonym rozwia̧zaniem (4), wtedy (a) dla każdego n ∈ Z i 1 < α < 2 mamy CD(Xn+k , Xn ) CD(Xn , Xn−k ) = lim = 0, lim k→∞ CV (Xn+k , Xn ) k→∞ CV (Xn , Xn−k ) (b) dla każdego n ∈ Z i 1 < α ≤ 2 mamy: CD(Xn−k , Xn ) CD(Xn , Xn+k ) = lim = α. k→∞ CV (Xn−k , Xn ) k→∞ CV (Xn , Xn+k ) lim Kraków, kwiecień 2006 23 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Przyklad 2 Rozpatrzmy dwa modele PARMA(1,1) z innowacjami z rozkladu SαS dla α = 2 (przypadek gaussowski) i α = 1.4. Ponadto przyjmujemy T = 3 oraz: 0.5 dla n = 1, 4, 7, . . . , bn = 1.6, dla n = 2, 5, 8, . . . , 0.4, dla n = 3, 6, 9, . . . , dla n = 1, 4, 7, . . . , 1 an = 2, dla n = 2, 5, 8, . . . , 0.003, dla n = 3, 6, 9, . . . . W tym wypadku P = 0.32. Na Rysunku 3 przedstwiono po jednej realizacji z każdego modelu. Kraków, kwiecień 2006 24 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 25 Realizacje modeli PARMA(1,1) dla α = 2 i α = 1.4. 60 α=2 40 20 0 −20 −40 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 60 α=1.4 40 20 0 −20 −40 0 Kraków, kwiecień 2006 100 200 300 400 500 n 600 700 800 900 1000 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Na Rysunku 4 pokazano ilorazy CD(Xn ,Xn+k ) αCV (Xn ,Xn+k ) CD(Xn+k ,Xn ) CD(Xn ,Xn−k ) , αCV (Xn+k ,Xn ) αCV (Xn ,Xn−k ) , CD(Xn−k ,Xn ) i αCV (Xn−k ,Xn ) dla k = 0, 1, ..50, n = 50 i α = 1.4. Zgodnie z Twierdzeniem 3 pierwsze dwa ilorazy da̧ża̧ do 1, a ostatnie dwa - do 0 wraz ze wzrostem k. Kraków, kwiecień 2006 26 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 27 Miary zależności modeli PARMA(1,1) dla α = 2 i α = 1.4. 2 CD(Xn+k,Xn)/αCV(Xn+k,Xn) 1.5 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 CD(Xn,Xn−k)/αCV(Xn,Xn−k) 1.5 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 CD(Xn,Xn+k)/αCV(Xn,Xn+k) 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 CD(Xn−k,Xn)/αCV(Xn−k,Xn) 1 0 Kraków, kwiecień 2006 0 5 10 15 20 25 k 30 35 40 45 50 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami Na Rysunku 5 przedstwiono miary zależności: Cov(Xn , Xn+k ) dla modelu PARMA(1,1) z innowacjami z rozkladu dla α = 2 oraz CV (Xn , Xn+k ), CD(Xn , Xn+k ) dla PARMA(1,1) z innowacjami o symetrycznym rozkladzie α−stabilnym dla α = 1.4. Przyjȩto k = 6. Kraków, kwiecień 2006 28 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami 29 Miary zależności modeli PARMA(1,1) dla α = 2 i α = 1.4. 2.5 Cov 2 1.5 1 0.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2.5 CV CD 2 1.5 1 0.5 0 5 10 15 20 25 30 n Kraków, kwiecień 2006 35 40 45 50 Miary zależności dla modeli PARMA ze stabilnymi innowacjami References [1] Gladyshev E. G., 1961, Periodically correlated random sequences, Sov. Math. 2., 385-388. [2] Makagon, A., Weron A., Wylomańska A., 2004, Bounded solutions for ARMA model with varying coefficients , Appl. Math. 31, 273-285. [3] Nowicka J., Weron A., 1997, Measures of Dependence for ARMA Models with Stable Innovations, Annales vol.LI 1,14, 133-144. [4] Nowicka J., 1997, Asymptotic behavior of the covariation and the codifference for ARMA models with stable innovations, Stochastic Models 13, 673-685. [5] Wylomańska A., 2005, Description of the spectral measures for periodically correlated solutions of PARMA sequences, Research Report HSC/05/3, Wroclaw University of Technology. Kraków, kwiecień 2006 30