1. Grupy i ciaªa
Transkrypt
1. Grupy i ciaªa
Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡ dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016 1. Grupy i ciaªa Zad. 1. Wyja±ni¢ poj¦cia: dziaªanie dwuargumentowe, dziaªanie ª¡czne, dziaªanie prze- mienne, element neutralny (jedynka), póªgrupa, monoid. Zad. 2. Który z poniz»szych zbiorów wraz ze wskazanym dziaªaniem jest grupa? Wskaza¢ element neutralny. (a) zbiór wszystkich caªkowitych wielokrotno±ci danej liczby rzeczywistej a z dzia- ªaniem dodawania; (b) zbiór dodatnich liczb wymiernych z dziaªaniem mnozenia; (c) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem dodawania; (d) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem odejmowania. Zad. 3. Ile ró»nych dziaªa« mo»na okre±li¢ w dowolnym zbiorze zawieraj¡cym tylko jeden element? nZ = {nm : m ∈ Z} b¦dzie zbiorem liczb caªkowitych podzielnych przez (nZ, +, 0) jest monoidem przemienym, a (nZ, ·) jest póªgrup¡ bez jedynki (dla n > 1). Zad. 4. Niech n. Pokaza¢, »e Zad. 5. W dowolnym niepustym zbiorze rozpatrujemy dziaªanie x ◦ y = x. ◦ zdeniowane nast¦puj¡co: Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest ª¡czne i przemienne. Okre±li¢, kiedy to dziaªanie ma element neutralny, a kiedy go nie ma. Zad. 6. W zbiorze liczb wymiernych Q wprowadzamy dwa dziaªania ⊕ oraz ⊙ okre±lone w nast¦uj¡cy sposób: a ⊕ b = a + b + 1, a, b ∈ Q, zbiorze Q. + oraz a ⊙ b = ab + a + b, · dla dowolnych licz gdzie oznaczaj¡ zwykªe dziaªania dodawania oraz mno»enia w Udowodni¢, »e dziaªania ⊕ i ⊙ s¡ ª¡czne, przemienne ⊙ jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania ⊙. oraz maj¡ elementy neutralne. Wykaza¢, »e dziaªanie ⊕, ale dziaªanie ⊕ nie jest rozdzielne wzgl¦dem Zad. 7. Wyja±ni¢ poj¦cia: element odwrotny, grupa, grupa abelowa. Zad. 8. Zbada¢, czy zbiór liczb caªkowitych Z z dziaªaniem ⋄ zdeniowanym: a ⋄ b = a + ab + b jest grup¡. Zn = {0, 1, ..., n − 1}. Na zbiorze Zn rozwa»amy dziaªanie + jako modulo n. Pokaza¢, »e (Zn , +, 0) jest n-elementow¡ grup¡ abelow¡. Zad. 9. Niech Z∗n = Zn \{0}. Na zbiorze Z∗n rozwa»amy dziaªanie · jako n. Pokaza¢, »e je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to (Z∗n , ·, 1) jest grup¡ Zad. 10. Niech dodawanie mno»enie modulo abelow¡. Zad. 11. Ile ró»nych dziaªa« ⋄ mo»na okre±li¢ na zbiorze (a) 2-elementowym X = {a, e}, (b) 3-elementowym X = {a, b, e}, tak, aby (X, ⋄, e) byªo grup¡? Zad. 12. Czy dziaªanie w grupie permutacji (Sn , ◦, id) jest przemienne? Zad. 13. Czy istnieje grupa nieabelowa maj¡ca 2 lub 3 elementy? Zad. 14. Niech (G, ⋄, e) b¦dzie grup¡ i a, b ∈ G. Pokaza¢, »e (a ⋄ b)−1 = b−1 ⋄ a−1 . Zad. 15. Wyja±ni¢ poj¦cie: ciaªo. {0, 1, a, b} Zad. 16. Pokaza¢, »e zbiór z wyró»nionymi elementami 0 i 1 oraz z dziaªaniemi okre±lonymi nast¦puj¡co: + 0 1 0 0 1 1 1 0 a b a b b a a a b b b a · 0 1 a 0 0 0 0 0 1 0 1 b 0 1 0 1 0 a b a b a b 1 a 0 b 1 tworzy ciaªo. Zad. 17. Pokaza¢, »e zbiór gdzie √ √ Q( 2) zªo»ony ze wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b 2, a, b ∈ Q, ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia oraz z wyró»nionymi liczbami 0 i 1 jest ciaªem. Zad. 18. Niech (K, +, ·, 0, 1) b¦dzie ciaªem, a x, y, z b¦d¡ jego dowolnymi elementami. Poka- za¢: (a) (tzw. prawo skracania) • • je±li je±li x + z = y + z , to x = y , x · z = y · z i z ̸= 0, to x = y ; (b) x · 0 = 0; (c) 0 ̸= 1; (d) −(−x) = x.