Przykład 5.2. Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda

Przykład 5.2. Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda

Przykład 5.2. Wyznaczenie równania linii ugięcia – metoda analityczna
Wyznaczyć linię ugięcia belki o podanym schemacie i stałej sztywności na zginanie EJ.
Obliczyć przemieszczenie maksymalne - strzałkę ugięcia.
q
l
2l
l
Rozwiązanie
Zadanie jest statycznie wyznaczalne, a więc można znaleźć równanie momentu zginającego
i do wyznaczenia ugięcia wykorzystać równanie różniczkowe osi ugiętej w postaci
EJ y'' (x) =  M g ( x ).
Po uwolnieniu z więzów otrzymujemy poniższy układ sił.
q
H1
x
V2
V1
y l
2l
l
Reakcje obliczone z warunków równowagi wynoszą
2
4
V1 = ql ,V2 = ql , H1 = 0 .
3
3
Moment zginający opisany jest w trzech przedziałach zmienności następującymi równaniami
2
x  ( 0,l), M g 1(x) = V1 x = qlx
3
1
2
1
1
5
1
x  (l ,3l), M g 2 (x) = V1 x  q(x  l)2 = qlx  q(x  l)2  qx 2  qlx  ql 2
2
3
2
2
3
2
x  ( 3l ,4l), M g 3 (x) = 0
Pociąga to konieczność zapisania trzech równań różniczkowych
x  ( 0,l),
EJ y1'' (x) =  M g 1(x)
x  (l ,3l),
EJ y'2' (x) =  M g 2 (x)
x  ( 3l ,4l),
EJ y3'' (x) =  M g 3 (x)
Ich 2-krotne całkowanie prowadzi do równań linii ugięcia w trzech przedziałach
1
x  ( 0,l), EJy 1 (x) =  qlx 3 + C1 x + C2
9
1 4 5
1
x  (l ,3l), EJy 2 (x) =
qx  qlx 3 + ql 2 x 2 + D1 x + D2
24
18
4
x  ( 3l ,4l), EJy 3 (x) = F1 x + F2
Dla rozważanej belki można sformułować, wynikające ze sposobu podparcia, 2 warunki
brzegowe
y1(0)=0
(1)
y2(3l)=0
(2)
Funkcje y1(x), y2(x), y3(x) opisują oś odkształconą belki ciągłej. Oznacza to, że zarówno
funkcje jak i ich pierwsze pochodne muszą być jednakowe na granicach przedziałów
całkowania tak, aby linia ugięcia była krzywą gładką. Inaczej mówiąc spełnione muszą być
warunki zgodności przemieszczeń i kątów obrotu (warunki zszycia). Mają one postać
y1(l) = y2(l)
(3)
'
'
(4)
y1(l) = y2 (l)
y2(3l) = y3(3l)
(5)
'
'
(6)
y2 ( 3l) = y3 ( 3l)
Po podstawieniu otrzymujemy poniższy układ sześciu równań
C2

1
5
1 2
4
3
2
 q3l   ql 3l  + ql 3l  + D1 3l + D2
18
4
 24
1

 ql 4  C1l  C 2

9
1 3


ql  C1

3
1
5
1
4
3
2
 q3l   ql 3l  + ql 2 3l  + D1 3l + D2
24
18
4

1
5
1
3
2

q3l   ql 3l  + ql 2 3l + D1

6
6
2
0
0
1 4 5 4 1 4
ql  ql + ql + D1l + D2
24
18
4
1 3 5 3 1 3
 ql  ql + ql + D1
6
6
2

 F1 3l  F2
 F1
Rozwiązaniem powyższego układu równań są wartości stałych
C1 
7 3
11
1 4
8
8
ql , C2  0 , D1  ql 3 , D2 
ql , F1   ql 3 , F2  ql 4 .
9
18
24
9
3
Równanie osi odkształconej belki ostatecznie przyjmuje postać
1  1 3 7 3 
  qlx + ql x 
EJ  9
9

1  1 4 5
1 2 2 11 3
1 4
3
x  (l ,3l), y2 (x) =
 qx  qlx + ql x + ql x + ql 
EJ  24
18
4
18
24

1  8 3
8 4
x  ( 3l ,4l), y3 (x) =
  ql x  ql 
EJ  9
3

x  ( 0,l),
y1( x ) =
Wykres linii ugięcia belki
x
xo
y(x)
y
Obliczenie ekstremalnego ugięcia – strzałki ugięcia, wymaga określenia miejsca jego
występowania. Na podstawie wykresu możemy ustalić, że w przęśle będzie ona w przedziale
(l,3l), a na wsporniku – na jego końcu.
2
Z warunku y'2 (xo )  0 znajdujemy xo – miejsce ekstremalnego ugięcia w przęśle.
y2 (x) =
1 1 3 5 2 1 2
11 2 
 qx  qlx + ql x + ql 
EJ  6
6
2
18

1
EJ
1 3
11 2 
1 3 5
2
 qxo  qlxo + ql xo + ql   0  xo  1.555l
6
2
18
6

czyli
5
1 2
11 3
1 4
1
4
3
2
 24 q1.555l   18 ql 1.555l  + 4 ql 1.555l  + 18 ql 1.555l + 24 ql  


4
ql
 0.798
EJ
y 2 ( xo ) 
1
EJ
Przemieszczenie końca wspornika wynosi
1  8 3
8 4
8 ql 4
ql 4
y3 ( 4l) =
 0.889
  ql 4l  ql  
EJ  9
3
9 EJ
EJ

Zatem strzałka ugięcia wynosi
ql 4
f  y3 ( 4l )  0.889
.
EJ
Uwaga 1
Zastosowanie metody analitycznej w powyższym zadaniu prowadziło do konieczności
wyznaczenia aż 6 stałych. I chociaż metoda ta nie ma ograniczeń, to w przypadku większej
ilości przedziałów całkowania nie jest ona efektywna.
Uwaga 2
Rozwiązanie znacznie upraszcza się, jeśli od początku wykorzysta się informację, że
wspornik belki nie jest obciążony i Mg3(x)=0. Przemieszczenia wspornika są wynikiem
jedynie jego obrotu na podporze. Można więc rozwiązanie ograniczyć do dwóch przedziałów
i obliczając kąt obrotu na podporze 2
8 ql 3
 2  y'2 ( 3l) 
9 EJ
obliczyć przemieszczenie końca wspornika jako
8 ql 4
y  2  l  
,
9 EJ
gdyż z założenia małych przemieszczeń wynika przybliżenie tgθ ≈θ.
3