Zadanie 7. Zaprojektować przekształtnik DC-DC obniżający

Zadanie 7.
Zaprojektować przekształtnik DC-DC obniżający napięcie tak, aby mógł on zasilić odbiornik o charakterze
rezystancyjnym R = 2,5  i mocy P = 10 W. Napięcie zasilające E = 10 V. Częstotliwość przełączania
f = 1 kHz. Przekształtnik powinien spełniać następujące założenia dotyczące jakości dostarczanej energii:
Wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika powinna być mniejsza niż 10% jego wartości
średniej (IL < 0,1 IL), a wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego powinna być
mniejsza niż 1% jego wartości średniej (UO = 0,01 UO). Narysować przebiegi prądów iT, iD, iL, iC, iO oraz
napięcia uT, uD, uL, uO.
Zawory półprzewodnikowe przyjąć, że są idealne.
DANE:
Napięcie zasilające
E = 10 V;
rezystancja odbiornika
R = 2,5 Ω;
moc wydzielana na odbiorniku
P = 10 W;
częstotliwość przełączania tranzystora
f = 1 kHz;
wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika
IL < 0,1 IL;
wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia kondensatora
UO < 0,01 UO;
ROZWIĄZANIE
Działanie przekształtnika obniżającego napięcie można wytłumaczyć rozpoczynając od wyjaśnienia roli jego
poszczególnych elementów składowych. Tranzystor przełącza się z określoną częstotliwością f oraz czasem
załączenia ton. To powoduje, że gdy tranzystor jest załączony, napięcie na diodzie uD (strzałkowane tutaj jako
napięcie katoda-anoda), przy założeniu że tranzystor jest idealny, jest równe napięciu E, uD = E. To z kolei
powoduje że przez dławik popłynie prąd iL, który przy wyłączeniu tranzystora popłynie przez diodę D
wywołując na tej diodzie spadek napięcia uD = 0 (w przypadku diody idealnej, lub uD = -UD0 gdy uwzględni się,
że dioda jest doskonała). Przełączanie tranzystora powoduje wytworzenie prostokątnego napięcia na diodzie,
które jest równe uD = E dla czasu t = (0, ton) i uD = 0 dla czasu t = (ton, T) (rys. 1). Takie napięcie można
rozłożyć, korzystając z teorii szeregów Fouriera, na składową średnią UDAV i składową zmienną, której
podstawowa harmoniczna ma częstotliwość równą częstotliwości przełączania tranzystora f.
Rys. 1. Przebieg napięcia uD na diodzie D
Podłączone pomiędzy wyjściem a diodą D dławik L i kondensator C stanowią filtr dolnoprzepustowy, który
tłumi wyższe harmoniczne, a przepuszcza składową stałą napięcia uD. Składową stałą (wartość średnią) UDAV
określa się z definicji zgodnie ze wzorem (1).
U DAV 
1
T
ton
ton
 Edt  E T
 ED,
(1)
0
ton
; t  DT
T on
Napięcie wyjściowe na kondensatorze C równe jest wartości średniej napięcia diody UDAV (jak później się
okaże, jest to prawdziwe tylko przy ciągłym prądzie dławika iL).
gdzie D 
U O  U DAV  ED,
(2)
W treści zadania nie podano ile wynosi wypełnienie D, dlatego należy obliczyć je na podstawie danych o
rezystancji odbiornika R i wydzielanej na nim mocy P.
P
U O2
 UO 
R
PR  10 W  2,5   5 V
(3)
Zatem wypełnienie: D = UO/E = 5 V/10 V = 0,5
Analizę działania przekształtnika przy ciągłym prądzie dławika rozpoczyna się od założenia, że napięcie na
kondensatorze C jest stałe i równe UO = ED. Dla schematu numer 1 tranzystor przewodzi, a dla schematu 2
tranzystor jest wyłączony.
Rys. 2. Schematy zastępcze przekształtnika obniżającego napięcie przy ciągłym prądzie dławika iL
Wszystkie przebiegi napięć i prądów przekształtnika obniżającego napięcie typu BUCK przedstawiono na
rysunku 3.
Rys. 3. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BUCK dla wypełnienia D = 0,5 przy ciągłym prądzie
dławika iL
W pierwszym schemacie zastępczym napięcia i prądy poszczególnych elementów wynoszą:
- napięcie dławika z II prawa Kirchhoffa równe jest uL = uD – uO = E-UO,
- napięcie tranzystora z uwagi na to, że jest on załączony równe jest zero, uT = 0.
- prąd dławika narasta liniowo zgodnie ze wzorem (4)
iL  t  
t
t
1
1
E  UO
u dt  iL (0)    E  U O  dt  iL (0) 
t  iL (0)
L 0 L
L0
L
(4)
Wartość prądu początkowego iL(0) zależy od wartości średniej prądu odbiornika IOAV, który równy jest wartości
średniej prądu dławika IOAV = ILAV, oraz od składowej zmiennej prądu dławika określonej za pomocą wartości
międzyszczytowej ΔIL (5).
1
I L 
L
DT

0
1
uL dt 
L
DT
  E  U O  dt 
0
U O  ED
E  UO
ET
DT 
D 1  D 
L
L
(5)
Z treści zadania wynika, że prąd odbiornika IO = 2 A.
P  IO2 R  IO 
IO 
P

R
10 W

2,5 
4
W
 2A

lub
5V
UO

 2A
R
2,5 
Składowa zmienna prądu dławika równa jest ΔIL = 0,1 ILAV = 0,1·2 A= 0,2 A, co pozwala obliczyć minimalną
wartość indukcyjności dławika L.
I L 
10 V  1ms
Vs
ET
ET
 103  12,5 mH
0,5  1  0,5   0, 25  50
D 1  D   L 
D 1  D  
I L
0, 2 A
A
L
(6)
Znając wartość międzyszczytową składowej zmiennej prądu dławika ΔIL można wyznaczyć wartość
początkową tego prądu iL(0) = ILAV-½ΔIL = 2 A-0,1 A = 1,9 A.
Na składową zmienną napięcia wyjściowego uO wpływ ma prąd kondensatora iC oraz jego pojemność C
zgodnie ze wzorem (7).
t
1
u O  t    iC  t dt
C0
(6)
Przyrost napięcia ΔUO (wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego) można określić
na kondensatorze znając ładunek ΔQ (Rys. 4), który ten przyrost wywołuje – przedstawia to wzór (7).
Rys. 4. Przebiegi składowej zmiennej napięcia i prądu kondensatora przekształtnika typu BUCK dla
wypełnienia D = 0,5 przy ciągłym prądzie dławika iL
U O 
Q
C
(7)
gdzie przyrost ładunku określa się na podstawie rysunku 4:
Q 
D  0,5
11 1
1
1 ET
ET 2
ET 2
T I L  I LT 
D 1  D T 
D 1  D  
22 2
8
8 L
8L
32 L
(8)
Podstawiając wzór (8) do wzoru (7) uzyskuje się wyrażenie określające wartość międzyszczytową składowej
zmiennej napięcia wyjściowego ΔUO, (9).
U O 
D  0,5
ET 2
ET 2
E

D 1  D  
8CL
32CL 32CLf 2
(9)
Można zauważyć w wzorze (9), że ΔUO maleje wtedy, gdy zwiększaja się pojemność kondensatora,
indukcyjność dławika L lub gdy wzrasta częstotliwość przełączania tranzystora f. Maksymalna wartość
międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego występuje dla wypełnienia D = 0,5.
Z treści zadania wynika, że wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego wynosi
0,01UO, czyli ΔUO = 0,01·5 V = 50 mV, można zatem wyznaczyć z (9) minimalną wartość pojemności dla które
zapewniony zostanie warunek UO < 0,01 UO.
C
E
10 V
10


 500 F
2
2
3
3
3


32U O Lf
32  50  12,5  H  Hz 2
32  50  10 V  12,5  10 H  10 Hz 
(10)
Zadanie 8.
Przekształtnik DC-DC obniżający napięcie typu BUCK zasilany jest ze źródła napięcia stałego o wartości
E = 10 V i pracuje z częstotliwością przełączania f = 1kHz przy wypełnieniu D = 0,75. Indukcyjność dławika
wynosi L = 3,75 mH, a pojemność kondensatora wyjściowego C = 1200 F. Należy:
a) Dobrać maksymalną wartość rezystancji Rmax tak, aby prąd dławika był na granicy ciągości,
b) Określić jaka będzie wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego ΔUO dla danego
wypełnienia D = 0,75, a jaka dla D = 0,5.
c) Narysować przebiegi napięć: uT, uD, uL, uO i prądów: iT, iD, iL, iC, iO dla prądu dławika na granicy ciągłości;
d) Omówić jak zmienią się warunki pracy przy tych samych parametrach elementów składowych, lecz przy
zwiększonej dwukrotnie częstotliwości, f2 = 2 f. Wnioski poprzeć odpowiednim rysunkiem.
Należy przyjąć, że zawory energoelektroniczne są idealne.
DANE:
Napięcie zasilające
E = 10 V;
Wypełnienie
D = 0,75;
Indukcyjność dławika
L = 3,75 mH;
Pojemność kondensatora
C = 1200 mH;
częstotliwość przełączania tranzystora
f = 1 kHz;
zwiększona częstotliwość przełączania tranzystora (podpunkt d)) f2 = 2 kHz;
ROZWIĄZANIE:
Ad a) Na granicy ciągłości prądu dławika iL, prąd ten na początku i końcu okresu równy jest zero,
iL(0) = iL(T) = 0 – Rys. 1.
Rys. 1. Przebieg prądu dławika na granicy jego ciągłości dla wypełnienia D = 0,75
W przekształtniku obniżającym napięcie pracującym na granicy ciągłości prądu dławika wartość średnia prądu
odbiornika równa jest IO = ½ ΔIL. Na podstawie wartości stałego prądu odbiornika IO oraz wartości średniej
napięcia wyjściowego UO = ED, można wyznaczyć wartość rezystancji maksymalnej Rmax przy, której prąd
dławika będzie na granicy ciągłości.
IO 
1
ET
10 V  103s 3 1 10 3
I L 
D 1  D  

A  0, 25 A
2
2L
2  3, 75  103 H 4 4 7,5 16
U O  ED  10 V  0, 75  7,5 V
Rmax 
UO
7,5 V

 30 
I O 0, 25 A
(1)
(2)
(3)
Ad b) Wartość międzyszczytowa składowej zmiennej napięcia wyjściowego ΔUO określa się ze wzoru (4),
którego wyprowadzenie jest w rozwiązaniu do zadania (7).
U O 
ET 2
D 1  D 
8CL
(4)
Dla wypełnienia D = 0,75, ΔUO równa się:
10 V   103 
ET 2 3 1
3
10 V
3
U O 


 0, 052 V
3
3
8CL 4 4 8  1, 2 10 F  3, 75 10 H 16 8  1, 2F  3, 75H 16
2
Dla wypełnienia D = 0,5, ΔUO równa się:
U O 
ET 2
 0, 069 V
32CL
Ad c) Przebiegi napięć i prądów dla wypełnienie D = 0,75 i prądu dławika na granicy ciągłości przedstawiono
na rysunku 2.
Rys. 2. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BUCK dla wypełnienia D = 0,75 przy prądzie
dławika iL na granicy ciągłości
Ad d) Gdy częstotliwość przełączania tranzystora f2 zostanie dwukrotnie zwiększona względem częstotliwości f
wówczas dwukrotnie zmniejszy się wartość międzyszczytowa składowej zmiennej prądu dławika ΔIL2
względem pierwotnej wartości międzyszczytowej ΔIL.
I L2 
E
E
1
D 1  D  
D  1  D   I L
2 Lf
2
Lf 2
(5)
Rys. 3. Przebieg prądu dławika iL w przkeształtniku obniżającym napięcie typu BUCK przy częstotliwości f
i częstotliwości f2 = 2f dla wypełnienia D = 0,75
Z uwagi na to, że prąd dławika iL2 nadal jest ciągły nie zmienia się napięcie wyjściowe UO, czyli napięcie na
dławiku będzie miało te same wartości w obu schematach zastępczych, a przez to nie zmienią się stromości
prądu dławika iL.
Zwiększenie częstotliwości przełączania f powoduje przejście z pracy na granicy ciągłości w obszar pracy przy
ciągłym prądzie dławika. Można to także przedstawić za pomocą charakterystyki zewnętrznej przekształtnika
UO = f(IO).
Charakterystyka zewnętrzna przekształtnika typu BUCK
Przy założeniu, że wszystkie elementy składowe przekształtnika są idealne, napięcie wyjściowe przekształtnika
UO nie zależy od prądu odbiornika IO, UO = ED lub UO/E = D. W przypadku, gdy prąd dławika jest nieciągły,
wówczas UO/E = f(D, IO). Pomiędzy pracą nieciągłą, a pracą ciągłą znajduje się praca na granicy ciągłości
prądu dławika, którą wyraża się za pomocą granicznego prądu odbiornika IOgr za pomocą wzoru (6).
I Ogr 
gdzie: I odn 
I
1
ET
I L 
D  1  D   I odn D  1  D   Ogr  D  1  D 
I odn
2
2L
(6)
ET
, dla danych z niniejszego zadania przy f = 1 kHz, Iodn = 1,33 A, zaś dla f2 = 2 kHz,
2L
Iodn = 0,66 A.
Charakterystyka granicy ciągłości jest funkcją kwadratową względem wypełnienia D i przedstawiono ją na
rysunku 4.
I Ogr
I odn
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
D
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Rys. 4. Charakterystyka granicznego prądu odbiornika Iogr, przy którym prąd dławika jest na granicy ciągłości
Dla nieciągłego prądu dławika stosunek napięcia wyjściowego do wejściowego UO/E zależy od wartości
średniej prądu wyjściowego IO i wypełnienia D tak jak pokazano to we wzorze (7), a szczegółowy sposób
wyznaczenia tego wzoru przedstawiony jest w zadaniu 9.
UO
D2

IO
E
 D2
I odn
(7)
Ogólną charakterystykę zewnętrzną dla ciągłych i nieciągłych prądów dławika przedstawiono na rysunku 5
UO
E
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
I Ogr
I odn
ciągły prąd dławika
D = 0,75
D = 0,50
nieciągły
prąd
dławika
D = 0,25
IO
I odn
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5
Rys. 5. Ogólna charakterystyka zewnętrzna przekształtnika obniżającego napięcie typu BUCK
UO
E
Rys. 6. Charakterystyka zewnętrzna obrazująca zmianę częstotliwości przełączania w przekształtniku
obniżającym napięcie typu BUCK
Zadanie 9.
Przekształtnik DC-DC obniżający napięcie typu BUCK przyłączony do napięcia E = 120 V zasila odbiornik
rezystancyjny umożliwiając regulację mocy. Odbiornik przy napięciu UOA = 80 V pobiera prąd o wartości
średniej IOA = 4 A, a przekształtnik pracuje wtedy na granicy ciągłości prądu dławika (punkt A). Indukcyjność
dławika wynosi L = 2,5 mH. Określ, przy jakiej częstotliwości przełączania tranzystora f i wypełnieniu DA
przekształtnik może pracować w tym punkcie pracy (UOA = 80 V, IOA = 4 A).
W zmienionym punkcie pracy B, zachowano tą samą częstotliwość f, lecz zmieniono wypełnienie DB w taki
sposób, że moc wydzielana na odbiorniku wynosi POB = 150 W, a napięcie wyjściowe wzrasta do UOB = 100 V.
Określ ile wynosi nowe wypełnienie DB oraz rezystancje odbiornika w obu przypadkach, narysuj przebiegi
prądów iT, iD, iL, iC, iO oraz napięcia uT, uD, uL, uO dla pracy w punkcie B. Zawory półprzewodnikowe przyjąć,
że są idealne, a pojemność kondensatora C jest na tyle duża, że duC/dt ≈ 0.
DANE:
napięcie zasilające
indukcyjność dławika
napięcie wyjściowe przed zmianą wypełnienia
prąd wyjściowy przed zmianą wypełnienia
napięcie wyjściowe po zmianie wypełnienia
moc wydzielana na wyjściu po zmianie wypełnienia
E = 120 V;
L = 2,5 mH;
UOA = 80 V;
IOA = 4 A;
UOB = 100 V;
POB = 150 W;
uL
uT
iT
iL
L
T
iC
iD
E
uD
D
C
iR
uO
R
ROZWIĄZANIE
Przed zmianą wypełnienia D = DA przekształtnik pracuje na granicy ciągłości, a zatem obowiązują następujące
wzory (1), (2):
IO 
1
ET
I L 
D  1  DA 
2
2L A
(1)
DA 
U OA
80 V 2

  0, 67
120 V 3
E
(2)
Ze wzoru (1) podstawiając wartość wypełnienia DA uzyskuje się wartość częstotliwości przełączania (3)
i rezystancję odbiornika (4).
f 
1
120 V
21 4 3
E

 10 Hz  1,33 kHz
DA  1  DA  
3
T 2 LI OA
2  2,5  10 H  4 A 3 3 3
(3)
U OA 80 V

 20 
4A
I OA
(4)
RA 
Po zmianie warunków (punkt pracy B) można wyznaczyć w prosty sposób wartości średnią prądu odbiornika
oraz jego rezystancję
POB 150 W

 1,5 A
U OB 100 V
P
150 W
RB  OB2 
 66, 6 
I OB
2, 25 A 2
I OB 
(5)
(6)
Aby sprawdzić, czy po zmianie wypełnienia prąd będzie ciągły lub nieciągły oblicza się wypełnienie D
zakładając, że przekształtnik pracuje na granicy ciągłości, dla obliczonego wypełnienia oblicza się wartość
graniczną prądu odbiornika IOgr i sprawdza się z rzeczywistą wartością prądu IOB.
D
U OB 100 V

 0,83
120 V
E
I Ogr  I odn D  1  D   18 A
5 1 15
 A  2,5 A
66 6
(7)
(8)
1
3
120 
ET
1333Hz
4
A  18 A



3
2L
5
2  2,5  10 H
120 V 
gdzie: I odn
stąd widać, że prąd IOB < IOgr, a zatem przekształtnik pracuje przy nieciągłym prądzie dławika.
Analizę działania przekształtnika przy nieciągłym prądzie dławika rozpoczyna się od przedstawienia
przebiegów prądu i napięcia dławika iL i uL dla prądu dławika na granicy ciągłości oraz dla nieciągłego prądu
dławika – Rys. 1. Dla ogólności przyjęto, że wypełnienie D w obu przypadkach wynosi D = 0,67 . W stanie
ustalonym w każdym obwodzie elektrycznym obowiązuje reguła, z której wynika, że wartość średnia napięcia
dławika jest równa zero, ULAV = 0 (inaczej pola I, II pod przebiegami napięcia dławika powinny być sobie
równe), czyli dla przypadku gdy prąd dławika jest ciągły lub na granicy ciągłości można zapisać:
 E  U O  DT  U O  1  D  T  0
ED  U O D  U O  U O D  0
U O  ED
(9)
a)
b)
Prąd iL nieciągły D = 0,67
iL
ILmax
DT
ILAV = IO
t
D1T
T
uL
E-UO
t
I
I
=
II
II
-UO
Rys. 1. Przebiegi prądu i napięcia dławika iL i uL gdy a) prądu dławika jest na granicy ciągłości i b) prąd
dławika jest nieciągły wypełnienie w obu przypadkach wynosi D = 0,67
Co jest zgodne z wcześniejszymi wynikami. Dla prądu nieciągłego obowiązuje następująca zależność:
 E  U O  DT  U O D1 T  0
ED  U O D  U O D1  0
UO 
(10)
ED
E  UO
lub D1  D
D  D1
UO
Ze wzoru (10) wynika, że dla ciągłego prądu (D+D1) = 1, a zatem UO = ED. Ostatnie równanie we wzorze (10)
składa się z dwóch niewiadomych UO i D1 i w celu jego obliczenia potrzebne jest dodatkowe równanie
określające wartość średnią prądu odbiornika IO, które wyraża się poprzez wartość średnią prądu dławika ILAV.
Korzystając z rysunku 1 można zapisać wzór na wartość średnią prądu odbiornika IO za pomocą wzoru (11).
IO 
11
1
I
 D  D1  T  I Lmax  D  D1 
T 2 Lmax
2
(11)
gdzie:
I Lmax 
E  UO
DT
L
(12)
Zatem średni prąd odbiornika po podstawieniu wzoru (12) do (11) równy jest:
IO 
1 E  UO
ET 
U
1 O
DT  D  D1  

2 L
2L 
E
 D D  D  I  1  UO
 
1
odn 
E


D D  D
 
1

(13)
Podstawiając do wzoru (13) wyrażenie D1 ze wzoru (10) otrzymuje się wzór (14).
IO 
U
 1 O
I odn 
E
 D2  1  E  UO   D2  1  UO
 

U O 
E
 

UO

1

U

E  1  UO
 D2  1  O 
UO
E
E


E

 1  UO

2
E
  D  UO



 E
U

1 O

 1
E

U

O

E










(14)
Zatem wypełnienie DB wynosi:
DB 
100 V
10
U OB
1,5 A 120 V
1 12
I OB
E



100 V
U OB
18 A
12 2
I odn
1
1
120 V
12
E
10
 0, 645
24
(15)
Czas, w którym przewodzi dioda określa się za pomocą wypełnienia D1:
D1  DB
E  U OB
120 V  100 V
 0, 645
 0,129
U OB
100 V
(16)
Przebiegi napięć i prądów wszystkich elementów składowych przekształtnika obniżającego napięcie typu
BUCK zostały przedstawione na rysunku 2.
Rys. 2. Przebiegi napięć i prądów przekształtnika typu BUCK dla wypełnienia DB = 0,645, D1 = 0,129 przy
nieciągłym prądzie dławika iL
Punkt pracy po zmianie wypełnienia można przedstawić na charakterystyce zewnętrznej – Rys. 3. Po
przekształceniu wzoru (14) uzyskuje się wzór na charakterystykę zewnętrzną dla nieciągłych prądów dławika
(17).
 1  UO
IO
2
E
D 
UO
I odn

 E
UO, V
120
UOB
96

D2
 UO



IO
E

 D2

I odn
(17)
I Ogr
D = 0,75
B
A
UOA
72
D = 0,50
DA = 0,667
DB = 0,645
48
D = 0,25
24
IOB
0
1,8
IO, A
IOA
3,60
5,40
7,20
9,0
Rys. 5. Charakterystyka zewnętrzna przekształtnika obniżającego napięcie typu BUCK obrazująca zamianę
warunków pracy z punktu A do punktu B