5 Atom wodoru

2015-02-22
Budowa atomów
atom wodoru
atomy wieloelektronowe
zakaz Pauliego
układ okresowy pierwiastków
Budowa atomu wodoru
atom wodoru składa się z pojedynczego elektronu (-e)
związanego z jądrem – protonem (+e) przyciągającą siła
elektrostatyczną
rozmiary jądra – 10-14 m
eksperyment Rutherforda
rozmiary atomu rzędu 10-10 m
rok 1911
masa protonu = 1836 masy elektronu swobodnego
klasycznie energia elektronu przyjmuje dowolne wartości
– w rzeczywistości jest skwantowana
przy ruchu po orbicie elektron powinien tracić energię przez
promieniowanie i poruszając się po spirali spaść na jądro
– w rzeczywistości energia się nie zmienia
1
2015-02-22
Równanie Schrodingera dla
atomu wodoru
atom wodoru jest swego rodzaju studnią potencjału (naturalną
pułapką) dla elektronu
energia potencjalna oddziaływania elektron-jądro jest postaci
e2
U r   
4 o r
r[Å]
4
2
potencjał ma symetrię sferyczną
więc musimy wprowadzić
sferyczny układ współrzędnych
U[eV]
0
2
-10
4
r[Å]
stan
podstawowy
-30
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos 
Równanie Schrodingera dla
przypadku trójwymiarowego i
we współrzędnych sferycznych
1 
r 2 r
 2
x
2

 2
y
2

 2
z
2

2m
2
E  U 
 
1  2 
2m 
e 2 
 2   1  1  

E

r
 2 
 sin 


r  r  sin   
  sin2  2 
4 o r 

 2 
r , , 
r , ,   Rr 
podstawiając tą funkcję do równania Schrodingera otrzymujemy
trzy równania z których każde opisuje zachowanie się funkcji falowej
w zależności od r, ,  - równanie radialne, biegunowe i azymutalne
Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy  jest tylko funkcją r
tzn. żaden kierunek w przestrzeni nie jest wyróżniony – stan s
1 d  2 d  2m 
e 2 
r

E
0


dr   2 
4 o r 
r 2 dr 
Funkcja spełniająca to równanie to:
r   oe  r / ro
2
2015-02-22
Fizyczna
interpretacja
Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w
dV  4r 2dr
elemencie objętości
P dV   2 r 4r 2dr  4r 2e  2r / ro o2dr
osiąga maksimum dla r = ro
wyrażenia na ro i E są identyczne jak w modelu Bohra
kwantyzacja wynikiem rozwiązania równania Schrodingera, a nie
postulatem jak u Bohra
ro to nie promień orbity, lecz odległość od jądra przy której
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu jest największe
przyjęcie klasycznej orbity traci sens
dla rozpatrywanego stanu s moment pędu jest równy zeru
w ogólności moment pędu nie jest równy n lecz L  l l  1
Dokładne rozwiązanie równania
Schrodingera
rozwiązaniem równania biegunowego jest funkcja postaci
   oe iml 
ml=0,±1,± 2..,±l
rozwiązaniem równania azymutalnego są tzw. wielomiany Legendre’a
  Pl
ml
cos 
np. P00  1; P10  cos
l – całkowita liczba dodatnia
rozwiązanie równania radialnego istnieje jeśli energia elektronu
przyjmuje ściśle określone wielkości
En  
me 4
32 2  o2  2

1
n2
Rn,l r 
n – całkowita liczba dodatnia
3
2015-02-22
Orbitalny moment pędu elektronu
z rozwiązania równania kątowego wynika, że wartość L
orbitalnego momentu pędu elektronu w atomie jest
skwantowana
l l  1
L
l = 0, 1, 2
liczba całkowita l to orbitalna liczba kwantowa
rzut momentu pędu na wyróżniony kierunek (z) jest
również skwantowany
Lz  ml 
ml  l
ml=0,±1,± 2..,±l
liczba ml to magnetyczna liczba kwantowa
wektora L nie można w żaden sposób zmierzyć, możemy
jedynie zmierzyć składową tego wektora wzdłuż danej osi
np. określonej przez pole magnetyczne
Falowa interpretacja kwantyzacji
momentu pędu elektronu
elektron porusza się po orbicie kołowej

Lz
Lz  r p  r  k
sr
droga przebyta przez elektron
więc jego funkcja falowa jest postaci
   oeiks  oeikr 
z jednoznaczności funkcji falowej
    2
oe
ikr 
 oe
e
ikr (  2)

r

p
L
l l  1
z
ikr 2
1
kr  ml
otrzymujemy warunek kwantyzacji Lz
Lz  ml 
ml  l
ml=0,±1,± 2..,±l
długość orbity równa całkowitej wielokrotności ,
fale nie wygaszają się – orbita dozwolona
 ml  2 r
4
2015-02-22
Liczby kwantowe
główna liczba kwantowa
n = 1, 2, 3,...
określa możliwe wartości energii
orbitalna (poboczna) liczba kwantowa l = 0, 1, 2,....n-1
określa momentu pędu (kształt powłoki)
magnetyczna liczba kwantowa
ml = -l, -l+1,..,-1, 0, 1,....,l-1,l
określa składowe momentu pędu
dla danej wartości n liczba możliwych l i ml, czyli
liczba niezależnych rozwiązań równania Schrodingera
odpowiadająca jednej wartości energii wynosi
n 1
 2l  1  n 2 stan jest n2-krotnie zwyrodniały
l 0
Orbital atomowy
orbital atomowy to funkcja falowa  opisująca
stan elektronu w atomie zależna od trzech liczb
kwantowych: n, l, m
||2dV – określa prawdopodobieństwo znalezienia
się elektronu w elemencie objętości dV
obszar w którym występuje duże
prawdopodobieństwo znalezienia się elektronu
nazywa się chmurą elektronową
każdy orbital atomowy jest związany z pewną
symetrią obszaru, w którym znajduje się elektron
orbitale: s, p, d, f, g, ....
l = 0, 1, 2, 3, 4,....
5
2015-02-22
Orbitale s i p
orbital s (1,0,0)
orbitale p
(2,1,-1)
(2,1,1)
(2,1,0)
Orbitale d
(3,2,-2)
(3,2,-1)
(3,2,0)
(3,2,1)
(3,2,2)
6
2015-02-22
Orbitalny moment magnetyczny
płaska ramka z prądem posiada moment magnetyczny


  I S
elektron krążący po orbicie kołowej też posiada tzw.
orbitalny moment pędu   e  
e 
l 
rp
L
2m
2m
elektron w atomie ma także moment pędu, zwany
orbitalnym (choć nie krąży), oraz towarzyszący mu
orbitalny moment magnetyczny
l  
B 
e
e
L
l l  1   B l l  1
2m
2m
e
 9.27  10  24 Am2
2m
magneton Bohra – jednostka atomowego
momentu magnetycznego
2p
Zjawisko Zeemana
1
0
-1
ml
2s
bez pola
z polem
Elektron w polu magnetycznym uzyskuje dodatkową energię
potencjalną, która jest skwantowana
e
Bml   B ml B
2m
pierwotny poziom energetyczny zostaje rozszczepiony na 2l+1
podpoziomów np. atom wodoru w stanie 2p (l=1) na 3 poziomy
U   l B cos  
Zjawisko Zeemana – rozszczepienie
9,27  10  24 J
linii widmowych w zewnętrznym

U  0
polu magnetycznym – potwierdza

 24
J
skwantowanie orbitalnego momentu
 9,27  10
pędu
ml  1
ml  0
ml  1
7
2015-02-22
Doświadczenie Sterna-Gerlacha
W 1922 roku Stern i Gerlach badając wpływ niejednorodnego pola na
wiązkę atomów zaobserwowali jej rozszczepienie i parzystą liczbę
śladów na ekranie.
natężenie wiązki
wiązka
elektromagnes
włączony wyłączony
kolimator
położenie detektora
elektromagnes
detektor
Spin elektronu
Ls 
ss  1
elektron charakteryzuje się własnym magnetycznym
momentem dipolowym, który związany jest z jego
spinowym momentem pędu (spinem)
choć słowo „spin” oznacza wirowanie
elektron w rzeczywistości nie wiruje
spin jest wewnętrzną własnością elektronu,
tak jak jego masa, czy ładunek elektryczny
wartość spinu jest skwantowana i zależy
od spinowej liczby kwantowej s = ½
rzut spinowego momentu pędu na wyróżniony
kierunek jest skwantowany
ms= ½ lub ms= -½
Lsz  ms 
Stan elektronu opisujemy za pomocą 4 liczb kwantowych n, l, ml, ms
8
2015-02-22
Atomy wieloelektronowe
Stan kwantowy n- elektronowego atomu zależy od
współrzędnych wszystkich n elektronów
Ścisłe rozwiązanie równania Schrodingera niemożliwe –
metoda przybliżona tzw. pola samouzgodnionego
Wyniki metody
 opisanie
stanu pojedynczego elektronu (orbital atomowy)
w atomie wieloelektronowym za pomocą jednoelektronowej
funkcji falowej
 każdy
orbital (funkcja jednoelektronowa ) jest określona za
pomocą zespołu liczb kwantowych n, l, m, s
 elektrony obsadzające
tą samą podpowłokę (stany o tej
samej liczbie n i l) mają tą sama energię
Zakaz Pauliego 1925 r
jeden orbital elektronowy (określony liczbami n,l,m)
mogą zajmować nie więcej niż dwa elektrony
liczbie kwantowej n=2 odpowiadają
cztery orbitale (2,0,0), (2,1,0), (2,1,-1),
(2,1,1)  8 elektronów

n
2
l
m
0
0
1
1
0
-1
w danym stanie określonym czterema liczbami
kwantowymi (n, l, m, s z) może znajdować się nie więcej
niż jeden elektron
żadne dwa elektrony uwięzione w tej samej pułapce nie mogą
mieć jednakowych wszystkich liczb kwantowych


na n-tej powłoce może być N=2n 2 elektronów
rozmieszczenie elektronów odpowiada minimalnej energii
układu
Zasada Pauliego jest konsekwencją zasady nierozróznialności elektronów i
antysymetryczności funkcji falowej
9
2015-02-22
Atom wodoru,
a atomy wieloelektronowe
atomy wieloelektronowe
wodór
H (Z = 1)
dla atomów wieloelektronowych energia zależy od liczby kwantowej l
Energia
niektóre poziomy o większej liczbie n
mają mniejszą energię
Konfiguracja elektronów
notacja orbitalna
1s
2s
zapis uproszczony
główna liczba kwant.
2p
liczba elektr. na podpowłoce
1H

1s1
2He

1s2
3Li


6C


8O


orbitalna liczba kwantowa
lub
1s22s1
[He] 2s1
 
1s22s22p2
[He] 2s22p2
  
1s22s22p4
[He] 2s22p4
10
2015-02-22
Energia jonizacji atomów
energia oderwania najsłabiej związanego elektronu
Ejon
w atomie wodoru
En  
me 4
1
32 2  o2  2 n 2
 13.6
1
n2
eV
w atomie He+
Z2
Z2
E


E


13.
6
eV
(wodoropodobnym) n
o 2
n
n2
13,6 eV
54,4 eV
czynnik Z2 jest związany z różnicą ładunku jądra
w atomie helu
E n  E o
2
Zef
n
2
 13.6
2
Zef
n
2
24,6 eV
eV
czynnik Zef wynika z ekranowania jądra przez drugi
elektron i odpychania się elektronów
największa
energia jonizacji
wśród
pierwiastków
Kolejność zapełniania powłok
elektronowych
stan
n
s
l=0
p
l=1
6
6
5
4
3
właściwości fizyczne i chemiczne pierwiastków
zmieniają się zgodnie z kolejnością 2,8,8,18,18,32
2
1
2
6
2
6
2
d
f
l=2 l=3
10
14
10
14
10
10
6
2
6
2
2
liczba elektronów
11
2015-02-22
Tablica Mendelejewa
Dmitrij Mendelejew ( 1871 r.) - ułożenie znanych wówczas
pierwiastków chemicznych w tablicy zwanej Układem Okresowym,
wg. wzrastających liczb atomowych
pierwiastki w pionowych kolumnach (grupach układu) miały podobne
właściwości chemiczne
fizyka kwantowa systematyzuje atomy poprzez podanie ich
konfiguracji elektronowej
numer porządkowy okresu odpowiada głównej liczbie kwantowej n
czy chemiczne właściwości pierwiastków wynikają z ich konfiguracji
elektronowej?
Konfiguracja elektronowa, a
właściwości fizyczne atomów
wodór H: 1s1
hel He: 1s2 obojętny chemicznie, gaz szlachetny
lit Li:1s22s1 elektron 2s słabo związany, wartościowość +1
beryl Be:1s22s2 podobny do litu, wartościowość +2
od boru (Z=5) B: 1s22s22p1 do neonu (Z=10) Ne:
1s22s22p6 elektrony zapełniają powłokę 2p,


w miarę jej wypełniania wzrasta energia jonizacji atomu,
jądro jest ekranowane przez 1s2
neon Ne: 1s22s22p6 ma całkowicie zapełnioną drugą
powłokę, gaz szlachetny
sód Na: 1s22s22p63s1 energia jonizacji 5,1 eV,
wartościowość +1, duża aktywność chemiczna
12
2015-02-22
Poziomy energetyczne
a konfiguracja elektronowa
dla atomu potasu (19):
stan 3d leży wyżej niż 4s
K: 1s22s22p63s23p64s1
(zamiast 3d)
dla atomu rubinu (37):
stan 4d leży wyżej niż 5s
Rb: 1s2.... 3p63d104s24p65s1
(zamiast 4d)
K
Rb
Układ okresowy pierwiastków
gazy
szlachetne
fluorowce
metale
alkaliczne
13
2015-02-22
Zakaz Pauliego, a układ okresowy
gazy szlachetne – zamknięte powłoki, momenty pędu i
magnetyczne równe zero, orbitale o symetrii sferycznej,
nie aktywne chemicznie
metale alkaliczne – jeden elektron walencyjny określa
moment pędu i magnetyczny, aktywne chemicznie
fluorowce (halogeny) – brak elektronu na ostatniej
podpowłoce, aktywne chemicznie
metale przejściowe – zapełniona ostatnia podpowłoka
ekranuje niecałkowicie zapełnione niższe podpowłoki,
podobne właściwości chemiczne, zbliżone energie
jonizacji, istotne właściwości magnetyczne
pierwiastki ziem rzadkich – lantanowce, zbliżone
właściwości chemiczne, metale aktywne chemicznie
Pułapki elektronowe
oscylator harmoniczny
studnia
potencjału
E3

atom wodoru

E6
E4
E1
0
Eo
E5
E2
stan podstawowy
E3
E2
L
E1
En  n2
2 2
2
2mL

En   n 

1
kl
2
En  
me 4
32 2  o2  2

1
n2
14