OPTYKA KWANTOWA Wyklad dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA
Wykład dla 5. roku Fizyki
c
!Adam
Bechler 2006
Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego
Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z
promieniowaniem
"
!
!"
!#
O rezonansowym oddziaływaniu
promieniowania z układem
atomowym mówimy wtedy, gdy
częstość fali elektromagnetycznej ω
jest dostrojona do częstości przejścia
między dwoma poziomami
energetycznymi atomu.
Częstość rezonansowa
$%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
ω0 =
E2 − E1
!
(2.1)
Warunek rezonansu optycznego
ω ≈ ω0
(2.2)
Rezonans optyczny i procesy rezonansowe
Absorpcja
!!="2# "1
!!="2# "1
"$
"$
"#
"#
%&''()*+,-./,0(1'&203'4&/&'
+)5,6&'4703)*()0+&()&
%&'(&)!*&+,-),.'/&0&+.'121304&+
5(4617383.91:'+8';<=76<'(&6,&>
Rezonans optyczny i procesy rezonansowe
Emisja spontaniczna
!!="2# "1
!!="2# "1
"$
"$
"#
"#
%&'()*+,-.&/+012)343/&5+()637&)0)7&'(83)
0-9:;-+(1<=)95'/)>+&+(?0
%&'()*+,-+./0)121*&3+()4('56751)89:)
(')(9;84/<)=+49+<91)1(13>1&/-4(/<?)
./1<9&+.'(/)4+8&'@)A+&+(
Rezonans optyczny i procesy rezonansowe
Emisja wymuszona
!!="2# "1
!!="2# "1
"$
"$
"#
"#
%&''()*+,)-./'&0-1'2&,&'
(34)5&'26-137.3-(&.3&
%&'()*+,&-./0.123&,4,-(5.*&
6*)7897,&'+:&*)&;.6+.3+,&.&*+<'6,7&
,*,5=++&+&12,3+(.1)*2&6.'()>&
8.8)(-.12&?.(.*@
Opis półklasyczny
W opisie półklasycznym zakładamy, że ruch elektronu w atomie
opisywany jest metodami mechaniki kwantowej, a promieniowanie
elektromagnetyczne opisywane jest przy pomocy elektrodynamiki
klasycznej. Innymi słowy, nie bierzemy pod uwagę kwantowej natury
promieniowania, tzn. w opisie takim „nie istnieje” foton.
Fala elektromagnetyczna jest więc dana jako rozwiązanie równań
Maxwella postaci
" ("r , t) = E
" 0 cos(ωt − "k · "r ),
E
pole elektryczne
(2.3a)
" r , t) = B
" 0 cos(ωt − "k · "r ),
B("
pole magnetyczne
(2.3b)
W opisie półklasycznym „nie ma miejsca” na zmianę stanu pola
elektromagnetycznego na skutek oddziaływania, gdyż fala określona jest
przez z góry zadane funkcje czasu i współrzędnych. Zmiany stanu pola
elektromagnetycznego można pominąć wtedy, gdy są one niewielkie.
Widać stąd, że nie można w przybliżeniu półklasycznym opisać emisji
spontanicznej, gdyż zmiany stanu pola są wtedy istotne.
Hamiltonian atomu oddziałującego z promieniowaniem
Równanie Schrödingera
Hamiltonian
Podstawą opisu matematycznego
ewolucji czasowej układu atomowego
oddziałującego z promieniowaniem
jest równanie Schrödingera
i!
∂Ψ
= ĤΨ,
∂t
(2.4)
gdzie Ψ jest funkcją stanu (funkcją
falową) układu atomowego.
Hamiltonian Ĥ zawiera część
opisującą ewolucję czasową atomu
nie poddanego działaniu
promieniowania, Ĥat , i część ĤI
opisującą oddziaływanie. Ta część
hamiltonianu nazywa się
hamiltonianem oddziaływania.
Tak więc
Ĥ = Ĥat + ĤI
(2.5)
Atom jest układem wielu
elektronów poruszających się w polu
kulombowskim jądra i
oddziałujących między sobą
odpychającymi siłami
kulombowskimi. W przybliżeniu
cząstki niezależnej rozpatruje się
ruch pojedyńczego elektronu w polu
kulombowskim jądra i uśrednionym
polu elektrycznym pochodzącym od
pozostałych elektronów.
Hamiltonian atomu oddziałującego z promieniowaniem
Hamiltonian
Hamiltonian atomowy, a ściśle
mówiąc hamiltonian pojedyńczego
elektronu atomowego, przybliżamy
wtedy przez
Ĥat =
"pˆ2
+ V (r ),
2m
(2.6)
gdzie "pˆ jest operatorem pędu
elektronu, a V (r ) - sferycznie
symetryczną energią potencjalną
oddziaływania z jądrem i
pozostałymi elektronami. Jawna
postać energii potencjalnej nie
będzie potrzebna w dalszych
rozważaniach.
Niezaburzone zagadnienie
własne
Zakładamy jedynie, że znane jest,
analityczne lub numeryczne,
rozwiązanie zagadnienia własnego
hamiltonianu atomowego
Ĥat φk = Ek φk .
(2.7)
Wielowskaźnik k numeruje stany
własne i dla pojedyńczego elektronu
atomowego zawiera cztery liczby
kwantowe:
n - główna liczba kwantowa,
% - orbitalna liczba kwantowa,
mz - magnetyczna liczba kwantowa,
ms - spinowa liczba kwantowa.
Rozwinięcie na szereg funkcji własnych
Zależność od czasu funkcji własnej zagadnienia niezaburzonego ma
postać
!
"
i
ψk (t,"r ) = exp − Ek t φk ("r ),
(2.8)
!
gdzie φk jest zależną od współrzędnych funkcją własną niezaburzonego
hamiltonianu atomowego [por. równanie (2.7)].
Rozwiązania równania (2.4) poszukujemy w postaci rozwinięcia na szereg
funkcji własnych zagadnienia niezaburzonego
#
i
Ψ(t) =
ck (t)e − ! Ek t φk .
(2.9)
k
Poszukiwanymi funkcjami czasu są teraz współczynniki rozwinięcia ck (t).
Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia ck (t)
W chwili początkowej elektron
znajdował się w którymś ze stanów
własnych φk . Pod wpływem
zewnętrznego zaburzenia elektron
może ten stan „opuścić”. Pytanie,
które zadajemy, dotyczy
prawdopodobieństwa tego, że w
późniejszej chwili czasu t elektron
zostanie wykryty w innym stanie
własnym hamiltonianu atomowego,
np. φn . Jeżeli wiemy, że w chwili t
elektron znajdował się w stanie
Ψ(t), to prawdopodobieństwo
wykrycia go w stanie φn jest równe
Pn (t) = |An (t)|2 ,
(2.10)
gdzie amplituda
prawdopodobieństwa An (t)
An (t) =
$
ψn∗ (t,"r )Ψ(t,"r )d 3 r ,
(2.11)
lub, bardziej ogólnie, w notacji
dirakowskiej
An (t) = #n, t|Ψ(t)$.
(2.12)
Dla przypomnienia [równanie (2.8)]
!
"
i
ψn (t,"r ) = exp − En t φn ("r ).
!
Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia ck (t)
Stany własne zagadnienia niezaburzonego tworzą zbiór ortonormalny
$
φ∗k ("r )φl ("r )d 3 r = #k|l$ = δkl .
(2.13)
Korzystając z równań (2.9) i (2.11) otrzymujemy dla amplitudy
prawdopodobieństwa An (t)
$
#
i
i
An (t) = φ∗n ("r )e ! En t
ck (t)e − ! Ek t φk ("r )d 3 r
k
i po zamianie kolejności całkowania i sumowania
$
#
i
ck (t)e ! (En −Ek )t φ∗n ("r )φk ("r )d 3 r .
An (t) =
(2.14)
k
Po skorzystaniu z równania (2.13) z sumy po k pozostaje tylko wyraz z
k = n, i stąd
An (t) = cn (t)
(2.15)
Interpretacja fizyczna współczynników rozwinięcia ck (t)
Współczynniki rozwinięcia cn (t) mają więc fizyczny sens amplitud
prawdopodobieństwa wykrycia elektronu w niezaburzonym stanie |n$ w
chwili czasu t. Może to być zarówno stan związany jak i stan elektronu
wyrzuconego z atomu (fotojonizacja).
Przejście do stanu związanego
Fotojonizacja
6+)2,*7(38)
'(9:;$:1
6+)2,*7(38)*
3,<="$+2$:1
!"#$%&'()*+,-.
/01.23*4*01.235
!"#$%&'($)*+,./0-12)3)4"$$5