Często zadawane pytania na temat logiki rozmytej typu 2 oraz

Często zadawane pytania na temat logiki rozmytej typu 2 oraz

Często zadawane pytania na temat
logiki rozmytej typu 2 oraz zbiorow
rozmytych
Jerry Mendel, ekspert w dziedzinie systemów bazujących na logice rozmytej, odpowiada na często
zadawane pytania na temat zbiorów rozmytych typu 2.
Pytanie: Mogłoby się wydawać, że niepewności są nieodłączną częścią logiki
rozmytej. Jak się okazuje, to stwierdzenie nie jest w pełni prawdziwe. Dlaczego?
Odpowiedź: To, że klasyczna logika rozmyta (typu 1) nie posiada wsparcia dla niepewności
(niemożliwe jest modelowanie oraz minimalizowanie ich efektów) jest paradoksalne, ponieważ słowo
„rozmyty” jest konotacją słowa „niepewny”. Logika rozmyta typu 1 opisuje niepewności z użyciem
precyzyjnej funkcji przynależności, co użytkownik może pojmować jako modelowanie niepewności.
Nie jest to jednak prawda, ponieważ precyzyjnie określona funkcja przynależności, eliminuje
niepewność. Z drugiej strony, logika rozmyta typu 2 posiada wsparcie dla modelowania niepewności.
Pytanie: Dlaczego w odniesieniu do klasycznej logiki rozmytej, nazywa się ją logiką
rozmytą typu 1?
Odpowiedź: Przed wprowadzeniem pojęcia logiki rozmytej typu 2 nie istniała konieczność określania
klasycznej logiki rozmytej jako typ 1. Teraz używa się tego pojęcia w celu odróżnienia „typu 2” od
„typu 1”.
Pytanie: Czym konkretnie jest logika rozmyta typu 2?
Odpowiedź: Najpierw należy przypomnieć, że logika rozmyta typu 1 odnosi się do reguł typu
„JEŻELI – TO” (ang. „IF – THEN”) (np. JEŻELI niebo jest niebieskie i temperatura jest pomiędzy 60
a 75° stopni Fahrenheita, TO jest to ładny dzień). Części reguły JEŻELI i TO, nazywane są jej
poprzedzającą oraz wynikową i modelowane są za pomocą zbiorów rozmytych. Reguły opisane są za
pomocą funkcji przynależności tych zbiorów. W przypadku logiki rozmytej typu 1, poprzedzająca
oraz wynikowa opisywane są za pomocą funkcji przynależności zbiorów rozmytych typu 1. W
przypadku logiki rozmytej typu 2, wszystkie lub niektóre poprzedzające oraz wynikowe opisane są za
pomocą funkcji przynależności zbiorów rozmytych typu 2.
Pytanie: Czy reguły zmieniają się wraz ze zmianą logiki rozmytej typu 1 na typ 2?
Odpowiedź: Dobra wiadomość, reguły nie zmieniają się. Zmienia się jedynie sposób modelowania
zbiorów rozmytych dla poprzedzających oraz wynikowych. Dla typu 1 są one modelowane za pomocą
zbiorów rozmytych typu 1, podczas gdy dla typu 2, niektóre z nich lub wszystkie modelowane są z
wykorzystaniem zbiorów rozmytych typu 2.
Pytanie: Jaka jest różnica pomiędzy zbiorem rozmytym, zbiorem rozmytym typu 1 i
zbiorem rozmytym typu 2?
Odpowiedź: Termin „zbiór rozmyty” jest ogólny i odnosi się zarówno do typu 1 jak i typu 2 (lub
nawet wyższych typów). Wszystkie zbiory rozmyte opisywane są za pomocą funkcji przynależności.
Zbiór rozmyty typu 1 charakteryzowany jest za pomocą dwuwymiarowej funkcji przynależności,
natomiast zbiór rozmyty typu 2 – za pomocą trójwymiarowej.
Jako przykład weźmy zmienną o nazwie „kontakt wzrokowy”, którą oznaczymy jako x.
Przypiszmy jej zakres wartości od 0 do 10. Jeden z terminów, który może charakteryzować daną
wartość jest „krótki kontakt wzrokowy”. Przykładem może być test na stu kobietach i mężczyznach,
polegający na poproszeniu ich o określenie interwału dla „krótkiego kontaktu wzrokowego” za
pomocą podanej skali. Jak łatwo przewidzieć, otrzymamy różne wartości, ponieważ poszczególne
określenia słowne mogą być różnie interpretowane w zależności od osoby.
Pierwszym rozwiązaniem może być użycie stu zbiorów dwupunktowych i wyciągnięcie oraz
użycie średniej dla obu wartości określających interwał dla „krótkiego kontaktu wzrokowego”.
Następnie możemy skonstruować trójkątną (lub jakąkolwiek inną) funkcję przynależności, której
punktami bazowymi (na osi X) będą dwie, uśrednione wartości, a jej wierzchołek będzie środkiem
pomiędzy tymi wartościami. Ta trójkątna funkcja przynależności typu 1 może być przedstawiona za
pomocą dwóch wymiarów i wyrażona następującym wzorem:
(
( ))
Niestety, powyższa funkcja ignoruje niepewności związane z dwiema, uśrednionymi
wartościami, które ją opisują.
Drugim rozwiązaniem jest użycie wartości średnich jak powyżej i odchylenia standardowego
dla obu. Uzyskuje się w ten sposób rozmycie położenia obu punktów na osi X. Następnie rozmieść
trójkątne funkcje przynależności tak, żeby ich punkty skrajne wypadały na osi wewnątrz interwałów
będących rozmyciem punktów końcowych. Prowadzi to do kontinuum trójkątnych funkcji
przynależności, umieszczonych na osi X – przykład ilustruje rysunek 1.
Rysunek 1. Trójkątne funkcje przynależności, dla punktów bazowych (l i r) posiadających powiązane z nimi
interwały niepewności.
Na potrzeby dyskusji przyjmijmy, że istnieje dokładnie N takich trójkątów. Wówczas dla
( )
( )
każdej wartości x może istnieć maksymalnie N wartości przynależności: ( )
Przypiszmy wagi do każdej wartości funkcji przynależności:
(jak na rysunku 1).
Wagi możemy rozumieć jako możliwości powiązane z każdym trójkątem, dla wartości x. Wynikowa
funkcja przynależności typu 2 może być wyrażona w następujący sposób:
(
( ( )
)|
|
Inaczej można to zapisać w następujący sposób:
(
(
)) |
) jest funkcją przynależności typu 2. Jest trójwymiarowa, ponieważ wymaga
Gdzie (
dwóch zmiennych – x i w.
Pytanie: Jak wizualizowane są zbiory rozmyte typu 2?
Odpowiedź: Poprzednio zostało już wspomniane, że funkcja przynależności zbiorów rozmytych typu
2 jest trójwymiarowa, zatem mogą one być odzwierciedlone jako wykres trójwymiarowy. Niestety,
naszkicowanie takiego wykresu nie jest łatwe. Innym sposobem, jest przedstawienie wykresu tak
zwanego śladu niepewności (ang. footprint of uncertainty). Funkcja przynależności (
) osadzona
jest na dwuwymiarowej powierzchni x-w. Wymaga dwóch, dopuszczalnych wartości x i w. Oznacza
to, że x zdefiniowane jest na zbiorze X, będącym jego domeną, natomiast w zdefiniowane jest na
zbiorze W.
Przykład śladu niepewności pokazany jest na rysunku 2. Jest to przykład FOU dla funkcji
gaussowskiej, której odchylenie standardowe jest znane i precyzyjnie określone, natomiast środek m
jest niepewny i waha się w interwale od m1 do m2. Jednolite cieniowanie śladu niepewności oznacza,
że w tym przypadku przyjmujemy jednolite wagi. Z uwagi na to, zbiór ten nazywany jest
interwałowym zbiorem rozmytym typu 2.
Rysunek 2. Ślad niepewności dla Gaussowskiej funkcji przynależności z niepewnym środkiem
Pytanie: Czy dla zbiorów typu 2 wprowadzona została nowa terminologia?
Odpowiedź: Tak. Konieczność odróżniania od siebie funkcji przynależności typu 1 i typu 2 jest
jednym z przykładów. Dużo nowych terminów związanych jest z trójwymiarową naturą funkcji
przynależności. Kolejnym terminem, który został już wcześniej wspomniany, jest ślad niepewności.
Inne przykłady to dolna i górna funkcja przynależności czy rozmyte zbiory osadzone typu 1 i typu 2 .
Wszystkie te terminy mogą być matematycznie opisane i pozwalają na efektywną komunikację
dotyczącą zbiorów rozmytych typu 2.
Pytanie: Co możemy zrobić ze zbiorami typu 2?
Odpowiedź: Wszystko to, co możemy zrobić ze zbiorami typu 1. Różnią się jedynie procedury. Dla typu 1
zdefiniowane zostały operacje na zbiorach, takie jak suma, różnica i dopełnienie. To samo możemy
zrobić dla zbiorów typu 2. W tym celu, zdefiniowane zostały procedury dla tych działań, które są
wyjątkowo proste dla interwałowych zbiorów rozmytych typu 2.
Pytanie: Gdzie stosowane są zbiory typu 2?
Odpowiedź: Zbiory rozmyte typu 2 stosowane są w systemach bazujących na logice rozmytej typu 2 i
pozwalają na modelowanie niepewności wewnątrz framework’u logiki rozmytej.