Modelowanie i symulacja bioprocesów w5

Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Instalacja chemiczna złożona jest zazwyczaj z wielu aparatów połączonych rurociągami w
określoną strukturę.
Modelowanie i symulacja
bioprocesów
Struktura może tworzyć połączenia acykliczne lub cykliczne - z zawracaniem strumieni.
Przykład instalacji acyklicznej
1
X1
od
producenta
U1
2
Y1
X2
3
a
Y2
U2
X3
do odbiorcy 1
do odbiorcy 2
wykład 5
wykład przygotowany w oparciu o skrypt „Wprowadzenie do projektowania
systemów technologii chemicznej. Część I” autorstwa prof. Jacka Jeżowskiego
Y3
U3
b
Y2
Sekwencyjny algorytm obliczeń:
- obliczyć Y1 przez rozwiązanie modelu aparatu 1 dla danych X1, U1,
Roman Bochenek
- przyrównać parametry wylotowe Y1 z aparatu 1 do parametrów wlotowych X2 do aparatu
2, czyli: X2 = Y1,
Katedra Inżynierii Chemicznej i Procesowej
Wydział Chemiczny Politechniki Rzeszowskiej
- kontynuować obliczenia wg analogicznego schematu dla aparatu 2 i 3.
2
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Założenia algorytmu sekwencyjnego:
• Do przeprowadzenia obliczeń symulacyjnych systemu konieczna jest znajomość jego
struktury, czyli kolejności aparatów oraz powiązań pomiędzy nimi. Oprócz tego wymaga
się znajomość parametrów strumieni wlotowych do całego systemu.
• Wyniki obliczeń symulacyjnych zawierają parametry strumieni produktów – czyli
strumieni wychodzących z systemu do otoczenia a także wszystkich strumieni
„pośrednich” łączących aparaty pomiędzy sobą.
Systemy technologii chemicznej są bardzo rzadko acykliczne. Bardzo często zawierają
zawroty strumieni masy. Zawroty są stosowane ze względu na odzysk nieprzereagowanego
surowca lub w celu zwiększenia efektywności procesów rozdziału.
Przykład instalacji cyklicznej:
1
X1
• Podczas przepływu pomiędzy aparatami nie występuje zmiana parametrów strumieni.
U1
X4
• Wektory parametrów wszystkich aparatów są zadane!
2
Y1
X2
3
a
U2
Y2
X3
U3
Y3
b
Y2
Uwaga!
Schemat instalacji można przedstawić także w postaci grafu skierowanego:
1
producent
X1
2
Y1 = X 2
U1
a
U2
Do obliczeń takiej instalacji nie można już zastosować prostego algorytmu przedstawionego
dla instalacji acyklicznej!
3
Y2 = X3
Y3
U3
b
Y2
Nie jest możliwe wykonanie obliczeń symulacyjnych aparatu 1 bez znajomości parametrów
strumienia Y2b zawracanego z aparatu 2.
odbiorca
1
Parametry strumienia Y2b będą znane dopiero po zasymulowaniu aparatu 2.
odbiorca
2
Zawrót strumienia tworzy pętlę, analogiczną do sprzężenia zwrotnego przepływu informacji
3
4
1
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Do realizacji obliczeń symulacyjnych wg strategii sekwencyjnej konieczne jest zastosowanie
iteracji obejmującej wszystkie aparaty w danej pętli.
Koncepcja rozrywania strumieni w pętlach pozwala na stosowanie sekwencyjnej strategii
obliczeń, zwanej też modułową, w której model każdego aparatu traktowany jest jako
oddzielny blok, który jest obliczany dla zadanych parametrów wektorów strumieni
wejściowych i parametrów aparatu.
Obliczenia iteracyjne prowadzone są wg schematu:
Zakłada się wartość elementów wektora Y2b, oznaczając je przez X4 ponieważ określają też
strumień wlotowy do aparatu 1. Można wtedy wykonać obliczenia aparatów 1 i 2 tak jak w
przypadku systemu acyklicznego. Wynikami obliczeń będą wartości wektorów Y2a i Y2b.
Większość programów symulacyjnych działa wg strategii modułowej.
Procedura powtarzana jest iteracyjnie aż do spełnienia kryterium zbieżności:
|Y2b - X4| ≤ E
Typowy program symulacyjny składa się z trzech podstawowych elementów:
• procedur organizacji obliczeń określających kolejność obliczania aparatów (m.in.
wykonujący przerwania strumieni tworzących pętle sprzężenia zwrotnego),
gdzie: E – wektor dopuszczalnych błędów
Taką procedurę można traktować jako rozerwanie lub rozcięcie pętli informacyjnej.
Wartości parametrów X4 są narzucane przez procedurę iteracyjną, a obliczenia symulacyjne
są wykonywane zgodnie z kierunkiem przepływu informacji poczynając od aparatu 1 do
aparatu 2. Po obliczeniu parametrów Y2b procedura sprawdza kryterium zbieżności.
1
X1
U1
2
Y1
X4
U2
• procedur obliczeń termodynamicznych.
3
a
X2
• zbioru modułów dla poszczególnych aparatów czyli modeli matematycznych aparatów,
wraz metodami numerycznymi ich rozwiązywania
Y2
X3
U3
Y3
b
Y2
5
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
Zaawansowane programy symulacyjne posiadają często dodatkowe możliwości:
• obliczenia symulacyjne dla stanów nieustalonych,
• obliczenia optymalizacyjne wraz z obliczeniami wskaźników ekonomicznych,
6
Obliczenia symulacyjne systemu technologicznego
W strategii równaniowej danymi mogą być zarówno parametry strumieni wlotowych,
wylotowych jak parametry aparatów.
• narzucanie specyfikacji projektowych,
Można więc realizować klasyczne, jak i rozszerzone obliczenia symulacyjne oraz obliczenia
projektowe.
• wykonywanie analizy czułości badającej wzajemny wpływ parametrów
Strategia równaniowa jest ogólna i dobrze odpowiada potrzebom praktyki przemysłowej.
Strategia sekwencyjno-modułowa ma jednak wiele ograniczeń:
- nie wszystkie parametry wyjściowe można przyjmować jako żądania projektowe,
- nie wszystkie parametry wejściowe i parametry aparatu mogą być zmiennymi
manipulowanymi
Nowocześniejszą alternatywą jest strategia równaniowa, zwana też równoczesną,
w której cały system technologiczny obliczany jest w postaci jednego układu równań
Posiada również wady:
- nawet w przypadku systemów o umiarkowanej wielkości konieczne jest rozwiązanie
dużego, często silnie nieliniowego układu równań,
- pomimo rozwoju metod numerycznych jak i dużej mocy obliczeniowej współczesnych
komputerów nie zawsze jest to możliwe przy zapewnieniu praktycznie stuprocentowej
niezawodności, która jest wymagana szczególnie w przypadku programów komercyjnych.
Kierunki rozwoju:
Taki układ zawiera równania:
- modeli aparatów,
- równania definiujące połączenia pomiędzy aparatami,
- sekwencyjna linearyzacja równań nieliniowych,
- częściowa dekompozycja modelu systemu na mniejsze układy równań dla podsystemów
- zależności termodynamiczne.
8
2
Obliczenia termodynamiczne w symulacji
Obliczenia termodynamiczne w symulacji
• własności transportowe,
• parametry charakteryzujące czyste substancje oraz mieszaniny w różnych stanach skupienia,
• parametry p, V, T gazów i cieczy,
Obliczenia termodynamiczne wymagają wyboru tzw. opcji termodynamicznych
związanych ze strategią obliczania równowag wielofazowych
Istnieją dwie podstawowe strategie:
• parametry występujące w równowagach wielofazowych,
• Strategia „równań stanu” zwana też symetryczną, w której do opisu równowagi
w układzie stosuje się fugatywności składników obliczanych z równania stanu płynu.
• funkcje termodynamiczne.
• Strategia „mieszana” zwana też niesymetryczną, gdzie w równaniu równowagi stosuje
się fugatywności składników dla jednej fazy (najczęściej gazowej) i aktywności dla
drugiej (najczęściej ciekłej).
Bardzo ważna część obliczeń symulacyjnych!
Zajmują ponad 50% kodu źródłowego programu symulacyjnego.
Szacuje się ,że zajmują około 60% czasu obliczeń!
Wybór opcji termodynamicznych związany jest też z wyborem:
- równania stanu płynu,
- metody obliczania współczynników aktywności (dla strategii symetrycznej wystarczające
jest określenie równania stanu).
Ich dokładność decyduje o wiarygodności i przydatności wyników symulacji.
Do najczęściej stosowanych równań stanu należą m.in. równania:
Redlicha-Kwonga, Penga-Robinsona, Lee-Keslera-Plöckera, Penga-Robinsona-Soave’a,
Popularnymi metodami obliczania współczynników aktywności są:
równanie van Laara, równanie Wilsona, równanie NRTL, metody UNIQUAC, UNIFAC.
9
Obliczenia termodynamiczne w symulacji
10
Organizacja obliczeń symulacyjnych
Możliwych jest wiele kombinacji wyboru metod termodynamicznych, szczególnie w przypadku
strategii niesymetrycznych.
1
Ich wybór nie jest sprawą prostą i wymaga weryfikacji wyników obliczeń z danymi
doświadczalnymi.
2
3
4
Obliczenia termodynamiczne wymagają znajomości wielu parametrów dla czystych substancji
oraz parametrów binarnych dla mieszanin.
We współczesnych programach symulacyjnych znajdują się obszerne bazy tych parametrów,
jednak pomimo tego, często brakuje pewnych parametrów.
Przykład instalacji z zagnieżdżonymi pętlami
Należy w takim przypadku zachować ostrożność, ponieważ program najczęściej przyjmuje
przybliżone wartości domyślne, które mogą nie zapewniać odpowiedniej dokładności.
Bardzo istotny czas obliczeń!
Pewne opcje termodynamiczne dedykowane są dla specyficznych układów, co zapewnia dobrą
dokładność w tym zakresie zastosowania
Efektywność i niezawodność metod numerycznych jest tym większa im mniej równań
nieliniowych jest do rozwiązania równocześnie.
Wygodniej jest rozwiązywać większą liczbę układów równań niż jeden duży układ.
Stąd wniosek: należy dzielić duże układy równań na mniejsze
11
12
3
Organizacja obliczeń symulacyjnych
Organizacja obliczeń symulacyjnych
Metody organizacji obliczeń stosują trzy operacje:
R1
1. Podział systemu na niezależne podsystemy, zawierające minimalną liczbę aparatów /
równań (tzw. partitioning),
2. Określenie kolejności obliczeń tych podsystemów (tzw. precedence ordering),
3. Rozerwanie pętli zwrotnych przepływu informacji w każdym podsystemie (tzw. tearing).
S1
S2
a
Ya
Xb
b
(X’ )
c
Xg
(X’g )
P1
f
g
R3
Yh
h
P2
b
R2
Podsystem niezależny to zbiór aparatów zawierający minimalną liczbę aparatów takich, że
żaden z nich nie ma wlotu strumienia o nieznanych parametrach od aparatu
nienależącego do tego podsystemu niezależnego, czyli wloty do aparatów podsystemu
niezależnego mogą pochodzić tylko od innych aparatów tego podsystemu lub są to
strumienie surowców o zadanych parametrach lub strumienie o obliczonych parametrach
z innych podsystemów.
d
e
P3
W powyższym przykładzie można wyróżnić następujące podsystemy:
1: {a, b, c, d, e}, 2: {f}, 3: {g, h}, które powinny być obliczane w podanej kolejności.
Pierwszy i trzeci podsystem zawiera pętle, które muszą być rozerwane.
Po ich rozerwaniu otrzymamy strukturę acykliczną umożliwiającą sekwencyjne
obliczanie aparatów w podsystemach.
W przypadku podsystemu 1 istnieje kilka możliwości rozerwania pętli (w dwóch lub
jednym punkcie).
Miejsce rozerwania pętli jest istotne z punktu widzenia złożoności obliczeń.
13
14
Organizacja obliczeń symulacyjnych
Organizacja obliczeń:
1. Założyć wartości parametrów Xb strumienia wlotowego do aparatu „b”, niech te
wartości założone wynoszą X’b.
2. Obliczyć kolejno aparaty b, c, d, e, a. Uzyskamy w wyniku wartości Ya parametrów
strumienia wylotowego z aparatu a.
3. Sprawdzić kryterium zbieżności abs [Ya – X’b] ≤ E, jeśli jest ono spełnione to
przechodzimy do punktu 4, w przeciwnym razie kontynuujemy iteracje od punktu 1.
4. Obliczyć aparat f.
5. Założyć wartości X’g parametrów strumienia recyklu od aparatu „h” do aparatu „g”.
6. Obliczyć kolejno aparaty g, h – uzyskujemy wartości Yh parametrów strumienia
recyrkulującego.
7. Sprawdzić kryterium zbieżności: abs [Yh – X’g] ≤ E, jeśli jest spełnione, to obliczenia
symulacyjne są zakończone, w przeciwnym razie kontynuujemy obliczenia od punktu
5.
15
4