Ćwiczenie H2 Hologram Fresnela

Pracownia Informatyki Optycznej
Wydział Fizyki PW
Ćwiczenie H2
Hologram Fresnela
1. Wprowadzenie
Holografia jest metodą zapisu całkowitej informacji o oświetlonym obiekcie.
Rejestracja informacji niesionej przez falę elektromagnetyczną (np. światło) polega
na zapisie natężenia i fazy tej fali. Nazwa holografii wprowadzona została przez jej
odkrywcę Denisa Gabora (Holos - z języka greckiego - cały, zupełny, a więc
przestrzenny obraz przedmiotu). W tym miejscu warto dodać, że teoretyczne
podstawy holografii stworzył - na początku obecnego stulecia - polski fizyk
Mieczysław Wolfke.
Tak więc istotę holografii stanowi zapisanie informacji fazowej w postaci
amplitudowej (natężeniowej). W tym celu doprowadza się do interferencji fali
niosącej informację amplitudowo-fazową o przedmiocie z tzw. falą odniesienia. Fala
odniesienia nie niesie żadnej informacji - najczęściej jest to po prostu fala płaska.
Holografia znacznie przewyższa wszystko, co dotychczas użyskano w
dziedzinie stereoskopowego odtwarzania obrazów, obiektów lub scen przestrzennych
przy użyciu techniki fotograficznej. Otrzymane za pomocą holografii efekty
zadziwiają niewiarygodną wprost wiernością przestrzennego odtwarzania.
1. Rejestracja hologramu
Ponieważ holografia opiera się na zjawisku interferencji najczęściej jako
źródło światła stosuje się laser. Wiązka laserowa charakteryzuje się tak dużym
stopniem spójności, że można uzyskiwać stacjonarne obrazy interferencyjne nawet
przy znacznych różnicach dróg optycznych.
Rys.1 przedstawia geometrię dla obiektu punktowego P leżącego w płaszczyżnie Z= z o wspólrzędnych (x,y). Płaszczyzna hologramu Z=0 odpowiada współrzędnym
(x0,y0).
Y
Y
P(x,y)
X
0
R
HOLOGRAM
X
(x ,y )
0 0
r
r
0
0
Z
Z=0
Z=-z
Rys. 1.
Punkt P(x,y) emituje falę sferyczną o długości λ, której amplituda zespolona w
płaszczyźnie hologramu ma postać U ⋅ R −1 ⋅ exp( ikR ) (k=2π/λ), gdzie zgodnie z
Rys.1 mamy:
U=const
- amplituda przedmiotowej fali sferycznej.
r
r =[x,y,0]
- promień wodzący punktu P w płaszczyźnie OXY.
r
r 0=[x0,y0,z] - promień wodzący punktu (x0,y0) z płaszczyzny hologramu
zaczepiony w punkcie O(0,0,-z).
r r r r
R = R , R = r0 − r .
Dla uproszczenia założymy, że fala odniesienia jest falą płaską Aexp(ikz) (A=const),
propagującą się prostopadle do płaszczyzny hologramu, jak to pokazano na Rys. 2.
Rys 2.
Natężenie pola interferencyjnego w płaszczyżnie Z=0 ma postać:
2
2
2
U ⋅ eikR
U
U ⋅ eikR * U * ⋅ e − ikR
2
I ( x0 , y0 ) =
+A = 2 + A +
⋅A +
⋅ A , (1)
R
R
R
R
gdzie " * " oznacza operator sprzężenia zespolonego. Powyższe natężenie można
zarejestrować na kliszy holograficznej (klisza holograficzna o wysokiej
rozdzielczości) otrzymując płaski element optyczny o transmitancji I(x0,y0). Jest to
właśnie hologram.
2. Odtworzenie
Po odtworzeniu hologramu falą płaską identyczną z falą odniesienia zostaje
wygenerowane pole świetlne o amplitudzie zespolonej AI(x0,y0), składające się
zgodnie z równaniem (1) z następujących frontów falowych.
⎛U2
⎞
2
a/
U 1 = A⎜ 2 + A ⎟ .
(2)
⎝ R
⎠
Wyrażenie w nawiasie nie zawiera żadnego czynnika fazowego, zatem pole (2)
propaguje się zawsze zgodnie z kierunkiem fali odtwarzającej. Nie zawiera ono
istotnej informacji o obiekcie i z punktu widzenia holografii Fresnela jest to zbędny
szum.
b/
2
U ⋅ e ikR 2
U2 =
A
R
(3)
Jeżeli A = const (tak jak w naszym przypadku) wówczas U2 przedstawia - z
wyjątkiem amplitudy- odtworzenie sferycznego frontu falowego emitowanego przez
punkt P. W związku z tym obserwator widzi na hologramie pozorny obraz punkty P
odtworzony przez pole (3).
c/
U * ⋅ e −ikR 2
U3 =
A
R
(4)
Wzór (4) opisuje falę sferyczną zbieżną. Ponieważ wielkość R występuje
jednocześnie we wzorach (3) i (4), zatem konfiguracja obu frontów kulistych
zbieżnego i rozbieżnego jest taka sama, z tym, że ze- względu na odtworzenie
hologramu z lewej strony - (Rys. 3) fala zbiega się w płaszczyżnie Z>0. Z
powyższego wynika, że jeżeli punkt przedmiotowy ma współrzędne P(x,y,Z=-z),
wówczas front sferyczny zbiega się w punkcie P'(x,y,Z=z). P' jest obrazem
rzeczywistym punktu przedmiotowego P.
Zgodnie z naszą dyskusją punkty P i P' są symetryczne względem płaszczyzny
hologramu Z=0. Geometrię odtworzenia ilustruje Rys. 3.
3
Rys. 3
Ponieważ dowolny obiekt jest continuum punktów, zatem powyższą dyskusję
można przeprowadzić dla każdego punktu obiektu osobno i końcowy wniosek
sprowadza się do możliwości holograficznego odtworzenia rozciągłych przedmiotów
trójwymiarowych. Jeżeli tak jak, to było w naszym przykładzie, wiązka odniesienia i
wiązka odtwarzająca są płaskimi falami, propagującymi się prostopadle do
płaszczyzny hologramu, wówczas obraz pozorny obiektu powstaje dokładnie w
miejscu oryginału. Ponadto obrazy rzeczywisty i pozorny są symetryczne względem
płaszczyzny hologramu.
W ogólności zarówno amplituda zespolona pola odniesienia jak i pola
odtwarzającego może być zmienna w płaszczyźnie hologramu. Wtedy określenie
położenia obrazu pozornego i obrazu rzeczywistego wymaga szczegółowej analizy.
Mogą pojawić się dodatkowo aberacje, które wpływają na wierność odtworzenia
holograficznego.
Dobierając odpowiednią geometrię fali odniesienia i fali odtwarzającej można
również uzyskiwać różne powiększenia obiektu (zarówno poprzeczne jak i podłużne)
przy odtworzeniu holograficznym. Szczegółowa dyskusja na te tematy jest
zamieszczona w literaturze [1-4, patrz spis literatury].
Umieszczone na poprzednich stronach rozważania dotyczą pewnych
szczególnych przypadków, kiedy wiązki: odniesienia i odtwarzająca hologram są
płaskie i charakteryzują się tą samą długością fali. Warto więc zająć się bardziej
ogólnym przypadkiem. W tej sytuacji geometria zapisu hologramu punktu P
oddalonego o zo od płaszczyzny hologramu przedstawiona jest na rys. 4., gdzie falę
płaską - występującą na rys. 2 - zastąpiono falą sferyczną o promieniu krzywizny zr.
Do zapisu hologramu stosowane są fale o długości λ1.
4
zo
z
r
Rys. 4
Po oświetleniu wywołanego hologramu sferyczną falą odtwarzającą o
promieniu krzywizny zp i długości fali λ2 zmienia się położenie i powiększenie
odtworzonych obrazów: pozornego i rzeczywistego. Nie wnikając w bardziej
skomplikowane rachunki (patrz [1]) odległość pomiędzy płaszczyzną hologramu a
odtworzonym obrazem punktu P wynosi zi.
⎛1
λ2
λ2 ⎞
⎟⎟
zi = ⎜⎜ ±
m
⎝ z p λ1zr λ1zo ⎠
−1
/5/
Górne znaki +,- odnoszą się do obrazu pierwotnego, a dolne do wtórnego
W sytuacji, gdy zi jest ujemne obraz jest pozorny i jest położony przed hologramem
(od strony fali odtwarzającej). Natomiast gdy zi jest dodatnie obraz jest rzeczywisty i
powstaje za hologramem. Okazuje się, że dobierając odpowiednio zp, zr oraz λ1 i λ2
możemy niekiedy uzyskać dwa obrazy pozorne – pole przedstawione wzorem /4/
(obraz rzeczywisty przy płaskiej fali odtwarzającej) opisuje falę rozbieżną
wychodzącą z punktu zi <0, a więc obraz rzeczywisty staje się drugim pozornym!
(przeciwny przypadek dwóch obrazów rzeczywistych nie jest możliwy).
Powiększenie obrazu odtworzonego z hologramu wyraża się wzorem /6/.
−1
⎛
zo λ1 zo ⎞
M = ⎜1 − ±
⎟⎟
⎜
zr λ2 z p ⎠
⎝
/6/
Łatwo zauważyć, że przy λ1=λ2 (fale odniesienia i odtwarzająca mają tę samą
długość) oraz zr= zp (tak zachodzi, kiedy obie fale są płaskie, tzn. przy z p → ∞ oraz
z r → ∞ ) powiększenie obrazu pozornego (górny znak +) wynosi 1.
5
2. Przebieg ćwiczenia
1. Rejestracja hologramu z boczną wiązką odniesienia.
Ta część ćwiczenia dotyczy zapisu prostego hologramu Fresnela obiektu
trójwymiarowego. Doświadczenie można przeprowadzić w układzie pokazanym na
Rys. 5.
Z3 100%
Klisza
Holograficzna
Pinhola
Obiekt
Obiektyw
Z1 50%
Z2 100%
Rys. 5
Zwierciadło półprzepuszczalne Z1 dzieli falę płaską na dwie części. Część światła przechodząca przez zwierciadło Z1 - odbija się od zwierciadła Z2 (całkowicie
odbijające) i oświetla obiekt. Światło rozproszone i odbite od obiektu - tworzące tzw.
wiązkę przedmiotową - dociera do kliszy holograficznej. Część światła, które odbiło
się od zwierciadła połprzepuszczalnego Z1 dociera do zwierciadła Z3. Po odbiciu ta
część światła, stanowiąca wiązkę odniesienia, dociera do emulsji holograficznej. W
płaszczyźnie płyty holograficznej następuje interferencja, w wyniku czego na płycie
rejestrowane są zmodulowane prążki interferencyjne.
6
Warunki zapisu:
- wyrównane drogi optyczne wiązki przedmiotowej i odniesienia od chwili
podziału (zwierciadło Z1) do kliszy holograficznej.;
- stabilność mechaniczna całego układu;
- kąt pomiędzy wiązkami: przedmiotową i odniesiania padającymi na emulsję
holograficzna nie powinien przekraczać 30o.
Po wywołaniu naświetlonej płyty należy umieścić ją w miejscu, gdzie była
umocowana podczas ekspozycji. Następnie trzeba usunąć obiekt i zasłonić wiązkę,
która go oświetlała. Patrząc przez hologram zaobserwować obraz urojony obiektu.
Następnie wyjąć wykonany hologram z układu optycznego i obserwować na ekranie
obraz rzeczywisty.
3. Literatura
[1] J. W. Goodman, "Introduction to Fourier Optics", (McGraw-Hill, New York,
1968).
[2] W. T. Cathey,"Optyczne przetwarzanie informacji i holografia", (PWN,
Warszawa, 1978).
[3] M. Pluta (red.), 'Holografia optyczna" (PWN, Warszawa, 1980).
[4] J. Petykiewicz, " Optyka falowa" (PWN, Warszawa, 1986).
Pracownia Informatyki Optycznej WF PW
Wersja dla Wydziału Chemii PW
Warszawa wrzesień 2002
7