Cząstka w studni potencjału. Efekt tunelowy.
Transkrypt
Cząstka w studni potencjału. Efekt tunelowy.
Kyongju, Korea, April 1999 W-24 (Jaroszewicz) 22 slajdy Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa 3 Cząstka w studni potencjału Efekt tunelowy skończona studnia potencjału bariera potencjału bariera potencjału o skończonej szerokości przykłady efektu tunelowego Oscylator kwantowy funkcje falowe oscylatora kwantowego 3/22-W24 Elektron w skończonej studni potencjału studnia potencjału o głębokości Uo d 2Ψ dx 2 =− 2m 2 [E − U (x )]Ψ równanie Schrodingera rozwiązujemy dla trzech obszarów wyniki zbliżone jak dla nieskończonej studni, lecz: •fale materii wnikają w ściany studni •energie dla każdego stanu są mniejsze niż w ∞ •elektron o energii większej od U0 nie jest zlokalizowany, jego energia nie jest skwantowana L.R. Jaroszewicz 4/22-W24 Bariera potencjału E>Uo 1 L.R. Jaroszewicz U(x) U0 U=0 U=U0 0 2 x ruch cząstek w obszarze w którym bariera potencjału zmienia się skokowo 0 U (x ) = Uo dla x < 0 2m k1 = dla x > 0 2 1 d 2 Ψ1 dx Ψ1 (x ) = 2 + 2m 2 A1e ik1x z warunków brzegowych dla x = 0 k2 = E 2m 2 (E − Uo ) 2 EΨ1 = 0 + B1e − ik1x d 2 Ψ2 dx 2 + 2m 2 (E − Uo )Ψ2 Ψ2 (x ) = A2 e Ψ1 (0 ) = Ψ2 (0 ) ik 2 x + B2 e =0 − ik 2 x A1 + B1 = A2 dΨ2 dΨ1 = k1 ( A1 − B1 ) = k 2 A2 dx dx x =0 x =0 B2 = 0, bo nie ma fali odbitej k1 − k 2 k1 + k 2 2k1 A2 = A1 k1 + k 2 B1 = A1 5/22-W24 L.R. Jaroszewicz Dla E >Uo Ψ1 = A1e ik1x k − k 2 − ik1x + A1 1 e k1 + k 2 Ψ2 = A2 eik 2 x = A1 2k1 ik 2 x e k1 + k 2 Współczynnik transmisji T i odbicia R współczynnik transmisji T to gęstość strumienia cząstek przechodzących do padających, (odbicia R odpowiednio: odbitych do padających) R+T =1 T= v2 A2 v1 A1 2 2 p1 k1 = v1 = m m 2 4 k 2 2k1 4k1k 2 = T = = 2 k1 k1 + k 2 (k1 + k2 ) 1 + ( v2 = (E − U o ) E 2 (E − U o ) E ) p 2 k 2 = m m Dla E >>Uo T1, R=0 Dla EUo T0, R=1 podejście kwantowe – fala świetlna odbija się od granicy dwóch ośrodków klasycznie – niemożliwe, cząstka nie odbije się lecąc nad siatką 6/22-W24 L.R. Jaroszewicz Dla E<Uo d 2 Ψ1 dx 2 + 2m 2 EΨ1 = 0 Ψ1 (x ) = A1e ik1x + B1e − ik1x w 2 tj. dla x>0 d 2 Ψ2 dx 2 − χ= 2m 2 (Uo 2m 2 − E ) Ψ2 = 0 (Uo − E) Ψ2 (x ) = A2e χx + B2e − χx Z warunku ograniczoności Ψ2 wynika A2 = 0 k − iχ B1 = − 1 A1 k1 + iχ 2k1 A1 B2 = k1 + iχ R= B1B1* A1 A1* =1 całkowite odbicie fala wchodząca do obszaru drugiego jest wykładniczo tłumiona i gęstość prawdopodobieństwa jest proporcjonalna do exp(–2χ x) 7/22-W24 L.R. Jaroszewicz Bariera potencjału o skończonej szerokości U(x) 1 2 U0 U=0 3 x E Ψ1 = A1e ikx + B1e − ikx U=0 U=U0 0 0 dla U (x ) = U o dla 0 dla L x<0 0<x<L x>L Dla obszarów 1 i 3 d 2Ψ dx 2 + 2m 2 EΨ = 0 k = 2m 2 Ψ3 = A3e ikx Dla obszaru 2 d 2Ψ dx 2 − 2m 2 (Uo − E )Ψ = 0 χ= 2m 2 (Uo − E) Ψ2 = A2 e χx + B2 e − χx 8/22-W24 L.R. Jaroszewicz Schemat obliczeń Ψ1 (0 ) = Ψ2 (0 ) A1 + B1 = A2 + B2 dΨ1 dΨ2 = dx 0 dx 0 ik ( A1 − B1 ) = χ( A2 − B2 ) Ψ2 (l ) = Ψ3 (l ) dΨ3 dΨ2 = dx l dx l ( A2 e χl + B2 e − χl = A3e ikl ) (k +χ ) (e 2 2 16k 2 χ 2 2 χl +e − 2 χl 2 2m 2 E (Uo − E) v 3 A3 A3∗ A3 A3∗ = T = ∗ v1 A1 A1 A1 A1∗ ) − 2 + 16k χ T ≈e 2m Współczynnik transmisji bariery A3 4iχke = A1 (k + iχ )2 e χl − (k − iχ )2 e − χl 2 χ= χ A2 e χl − B2 e − χl = ikA3e ikl ikl T = k = 2 2 − 2L 2m(Uo − E ) T= 16k 2 χ 2 (k 2 + χ2 ) 2 e − 2 χl 9/22-W24 L.R. Jaroszewicz Efekt tunelowy - przenikanie cząstki przez barierę potencjału Ze względu na wykładniczą postać wartość T jest bardzo czuła na trzy zmienne: masę cząstki m, szerokość bariery L i różnicę energii Uo-E T ≈e − 2L 2m(Uo − E ) Ψ(x) B1 A1 E A3 Uo>E 0 l x prawdopodobieństwo przejścia przez barierę potencjału zależy od L i Uo szybko maleje ze wzrostem jej szerokości i wysokości wg. mechaniki klasycznej przenikanie przez barierę jest niemożliwe energia cząstki, w odróżnieniu od jamy potencjału nie jest skwantowana 10/22-W24 L.R. Jaroszewicz Przykłady efektu tunelowego 11/22-W24 L.R. Jaroszewicz Diody tunelowe (efekt tunelowy w złączu p-n) Nagroda Nobla 1973r # Esaki - tunelowanie w półprzewodnikach np. diody tunelowe # Giaever - tunelowanie w nadprzewodnikach # Josephson – złącze Josephsona, szybki przełącznik kwantowy 12/22-W24 L.R. Jaroszewicz Skaningowy Mikroskop Tunelowy (STM) Binning i Rohrer Nagroda Nobla 1986r 13/22-W24 L.R. Jaroszewicz Oscylator kwantowy Oscylator harmoniczny jako model procesu okresowego: mechaniczny elektromagnetyczny drgający dipol kwantowy wiele układów fizycznych można traktować jak oscylatory harmoniczne 14/22-W24 L.R. Jaroszewicz Oscylator klasyczny Cząstka wykonująca ruch pod wpływem siły quasisprężystej k – stała sprężystości x F = −k x ωkl = k m x=0 F = −k x F = −k x x = xo cos(ωklt + ϕ) U Energia potencjalna 2 2 kx 2 mωkl x = U (x ) = 2 2 klasycznie energia może przyjmować dowolne wartości, w tym również wartość zerową -xo 0 xo x 15/22-W24 L.R. Jaroszewicz Oscylator kwantowy ωkl = k m Rozwiązanie dokładne - korzystamy z równania Schrodingera d 2Ψ dx 2 2m 1 2 x 2 Ψ = − 2 E − mωkl 2 Zastosujmy funkcję Gaussa Ψ (x ) = e dx (− 2a + 4a x )e porównując odpowiednie współczynniki − 2a + 4 a2 = d 2Ψ − ax 2 2 2 m2ωkl 2 mωkl a= 2 2 − ax 2 (4a )x 2 − 2a = − 2 Odgadujemy rozwiązanie i sprawdzamy czy spełnia równanie 2 = −2ae − ax 2 2 − ax 2 + 4a x e 2 2m 1 2 2 − ax 2 = − 2 E − mωkl x e 2 =− 2mE 2 2 m 2 ωkl + 2 2 x 2mE 2 ωkl 2 a 2 mωkl E = = = m m 2 2 16/22-W24 L.R. Jaroszewicz Rozwiązania wyższych rzędów Ψ1 (x ) = e 1 E1 = ωkl 2 − (mωkl 2 )x 2 Dla drugiego rzędu Ψ2 (x ) = xe 3 E 2 = ωkl 2 − (mωkl 2 )x 2 E 2 − E1 = ωkl Dla trzeciego rzędu Dla wyższych rzędów 1 E n = n − ωkl gdzie n=1, 2, 3 ... 2 Nowy wniosek – nie możemy osiągnąć energii zerowej 17/22-W24 Funkcje falowe jednowymiarowego oscylatora L.R. Jaroszewicz 18/22-W24 Dwuwymiarowy oscylator L.R. Jaroszewicz 19/22-W24 L.R. Jaroszewicz Funkcja falowa drugiego rzędu 20/22-W24 L.R. Jaroszewicz Dla wyższych rzędów gęstość prawdopodobieństwa oscyluje wokół wartości klasycznych – zasada odpowiedniości 21/22-W24 Właściwości oscylatora kwantowego L.R. Jaroszewicz Energia oscylatora kwantowego jest skwantowana 1 E n = n − ωkl 2 Oscylator kwantowy nie może mieć energii równej zero – każde ciało posiada pewną energię wewnętrzną, nie można osiągnąć temperatury 0 K Przy przejściach między sąsiednimi poziomami oscylator kwantowy emituje kwanty energii (fotony) o częstotliwości zgodnej z częstotliwością oscylatora klasycznego E 2 − E1 = ωkl Reguły wyboru zezwalają na przejścia jedynie między sąsiednimi poziomami ∆n=±1 Otrzymane wyniki są zgodne z postulatami Plancka dla promieniowania ciała doskonale czarnego Kyongju, Korea, April 1999