Kliknij tutaj - Wydawnictwa PTM

Antiquitates Mathematicae
Vol. 5(1) 2011, p. 215–226
doi: 10.14708/am.vxxxxx
Zdzisław Pogoda (Kraków)
OBSESJA LICZB PIERWSZYCH
John Derbyshire, Obsesja liczb pierwszych. Bernhard Riemann i największy nierozwią­
zany problem w matematyce. Wydawnictwo NAKOM, Poznań 2009. [Tłumaczenie:
Romuald Kirwiel, Mieczysław Kulas]
Hipoteza Riemanna jest obecnie zapewne najsłynniejszą nierozstrzygniętą hipote­
zą w matematyce. W latach dziewięćdziesiątych XX wieku uporano się po prawie
350 latach z Wielkim Twierdzeniem Fermata. Na początku XXI wieku poddała się
w końcu klasyczna hipoteza Poincarego. Dzielnie trzyma się jeszcze hipoteza Goldbacha, ale znaczenie hipotezy Riemanna jest chyba większe i specjaliści intensyw­
nie nad nią pracują. Jeśli do zrozumienia Wielkiego Twierdzenia Fermata wystarczy
elementarna wiedza matematyczna, to w przypadku hipotezy Riemanna jest już ina­
czej. Bez liczb zespolonych, szeregów i wielu jeszcze innych pojęć wyższej matema­
tyki trudno uchwycić sens tej hipotezy. Kiedy i w jakich okolicznościach powstała?
Dlaczego budzi tak ogromne zainteresowanie w gronie matematyków? Jakie jest jej
znaczenie? Czyjej rozstrzygnięcie poza satysfakcją wiedzy da matematyce konkret­
ne korzyści? A poza matematyką? Są to ważne pytania, na które nie jest tak łatwo
odpowiedzieć bez odwoływania się do nieelementarnej matematyki.
Trudnego zadania odpowiedzi na te i inne jeszcze pytania podjął się John Derby­
shire w książce, której pełny polski tytuł brzmi Obsesja liczb pierwszych. Bernhard
Riemann i największy nierozwiązany problem w matematyce. Nie jest to książka
z historii matematyki w klasycznym tego słowa znaczeniu. Nie ma w niej precyzyj­
nej analizy tekstów oryginalnych, częstego odwoływania się do źródeł. Autor sporo
miejsca poświęca wyjaśnieniu pojęć niezbędnych do zrozumienia hipotezy Rieman­
na oraz trudności związanych z jej rozstrzygnięciem. Cierpliwie tłumaczy własności
liczb zespolonych i szeregów, wyjaśnia na czym polega przedłużenie analityczne
funkcji, co to są funkcje eliptyczne, symbole Landaua oraz wiele innych pojęć i pro­
cedur z analizy zespolonej. Robi to bardzo przystępnie i pomysłowo. Zwraca uwagę
na trudne momenty rozumowań lub konstrukcji uprzedzając czytelnika, gdzie może
mieć problemy ze zrozumieniem. Dla znawców tematu, niektóre wyjaśnienia mogą
wydawać się zbędne albo przydługie. Wydaje się jednak, że Derbyshire odpowied­
nio dobrał proporcje i tłumaczy to, co konieczne. Głównym bohaterem książki jest
hipoteza Riemanna i sam Riemann. Autor nie ogranicza się tylko do przedstawienia
życiorysu tego wielkiego matematyka. Na podstawie jego listów i wspomnień przy­
jaciół oraz działających w tym czasie matematyków dokonuje drobiazgowej anali­
zy psychologicznej osobowości Riemanna. Przedstawione jest tło historyczne i syl­
wetki matematyków w taki czy inny sposób związanych z hipotezą. Czytelnik ma
okazję poznać sporo mało znanych szczegółów z życia Eulera, Legendre’a, Gaussa,
Dirichleta, Landaua, Hardy’ego i wielu innych.
Pierwotna wersja pracy ukazała sie w Wiesław, Witold (ed.) History of Polish Mathematics. (Dzieje matematyki polskiej.)(po polsku),
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 2012, 311 p. (ISBN 978-83-910055-4-5). ZBL1258.01002.
308
Zdzisław Pogoda
Bardzo dokładnie opisane są dzieje samej hipotezy oraz jej powiązania z innymi
problemami matematyki, przede wszystkim z twierdzeniem o liczbach pierwszych,
którego historia jest także przedstawiona ze szczegółami. Nie brakuje informacji
0 zaskakujących powiązaniach hipotezy Riemanna z mechaniką kwantową. Derbyshire omawia rozmaite uogólnienia problemu i przypuszczenia, z których hipoteza
mogłaby być wnioskiem. Nie zapomina wspomnieć również o nieudanych próbach
rozstrzygnięcia hipotezy. Swoją opowieść doprowadza do czasów najnowszych, kie­
dy książka powstała.
Konstrukcja książki jest oryginalna i zaskakująca. W rozdziałach o numerach
nieparzystych Derbyshire opisuje różne zagadnienia matematyczne dotyczące hipo­
tezy Riemanna, natomiast rozdziały o numerach parzystych poświęcone są ludziom
1wydarzeniom historycznym towarzyszącym opisywanym faktom matematycznym.
Czytelnik zainteresowany głównie stroną historyczną problemu może w zasadzie
czytać tylko rozdziały parzyste. Szybko jednak zechce zajrzeć do „rozdziałów mate­
matycznych”, aby bliżej zapoznać się z samą hipotezą.
Autor, z wykształcenia matematyk (choć nie specjalista w dziedzinie teorii liczb)
i lingwista, z dużą swobodą prowadzi narrację gładko przechodząc od informacji
o charakterze historycznym do konkretnych, a czasem nawet drobiazgowych, rozwa­
żań matematycznych. Jednak i te bardziej techniczne fragmenty napisane są z pasją
dobrego popularyzatora. Czytelnik nie będzie się nudził próbując zrozumieć własno­
ści szeregu harmonicznego, logarytmu całkowego, problemów związanych z prze­
dłużaniem funkcji, czy też konstrukcji ciała liczb /?-adycznych. Nawet zawodowy
matematyk z przyjemnością przeczyta na przykład sugestywne i poglądowe wytłu­
maczenie, dlaczego iloczyn liczb ujemnych jest dodatni.
Książkę Derbyshire’a czyta się niemal jak powieść sensacyjną z zaskakującymi
zwrotami akcji i pojawiającymi się nagle nowymi wątkami. Mimo iż jest to pozycja
popularnonaukowa, to zawiera dużą ilość konkretnych informacji. Dlatego może być
ciekawą lekturą dla wszystkich, którzy chcą się dowiedzieć czegoś o problemach
teorii liczb i historii matematyki.
Studiując monografie i prace specjalne poznajemy same problem^, których głębo­
ki sens dostępny jest tylko dla specjalistów. Książka Derbyshire’a może być przystęp­
nym przygotowaniem (i zachętą) do sięgnięcia po pozycje bardziej zaawansowane.
Zdzisław Pogoda
Instytut Matematyki UJ
ul. Profesora Stanisława Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
email: [email protected]
Zdzisław Pogoda (Kraków)
OSWAJANIE NIESKOŃCZONOŚCI
łan Stewart, Oswajanie nieskończoności. Historia matematyki. Prószyński
Media Sp. z o. o. Warszawa 2009. Tytuł oryginału: Taming the Infinite. The Story
o f Mathematics. [Tłumaczenie: Bogumił Bieniok, Ewa L. Łokas]
łan Stewart jest znany polskiemu czytelnikowi interesującemu się popularyzacją ma­
tematyki, gdyż ostatnio wydano w Polsce sporo jego książek. Bardzo dobrze zostały
przyjęte Listy do młodego matematyka, a niemal bestsellerem stała się książka ma­
jąca już kilka wydań Czy Bóg gra w kości? Miłośnicy Świata Dysku zapewne nie
przeoczyli Nauki Świata Dysku I i II, których Stewart jest współautorem. Zaliczany
jest do najlepszych popularyzatorów matematyki, jest również czynnym, wysokiej
klasy matematykiem.
Ostatnio ukazała się nowa książka Stewarta Oswajanie nieskończoności. W pod­
tytule umieszczono: Historia matematyki.
Tym razem więc Stewart postanowił sięgnąć do historii matematyki. Nie był­
by sobą, gdyby nie postąpił niekonwencjonalnie. Bardzo sugestywnie, jak w wielu
poprzednich książkach, nie tylko przedstawia rozmaite zdarzenia na przestrzeni
dziejów: od Pitagorasa do czasów najnowszych, lecz także zwraca uwagę na zasto­
sowania. Stara się (z powodzeniem) odpowiedzieć na delikatne i trudne, ale często
zadawane pytania: co dały twórcom i im współczesnym tworzone teorie, a co dają
nam obecnie. Nazwisko Stewarta powinno więc gwarantować znakomitą lekturę
i rzetelne informacje, a z tym jest jednak pewien problem.
Mylący przede wszystkim jest podtytuł Historia matematyki. W oryginale czy­
tamy The story o f Mathematics. Słowo “story” można przetłumaczyć różnie i wydaje
się, że tłumacze wybrali wersję nie całkiem adekwatną. Tym bardziej, że sam Ste­
wart napisał we wstępie:
[...] jest to książka o historii matematyki, a nie wyczerpujący jej wykład. Jest to książ­
ka historyczna jedynie w tym sensie, że opowiada o dawnych wydarzeniach. Nie jest
adresowana do zawodowych historyków, ponieważ nie zawiera tak ważnych dla nich
subtelnych rozróżnień i często opisuje stare idee z punktu widzenia współczesnego
człowieka.
Tłumaczenie i, ogólniej, redakcja nie jest najmocniejszą stroną książki. To prawda,
że Stewart jest dla tłumaczy trudnym autorem, często wykorzystuje subtelności języ­
ka angielskiego i chętnie posługuje się alegoriami. Wydaje się jednak, że wielu nie­
zręczności można by uniknąć, jak choćby określenia liczby %jako stosunku obwodu
okręgu do jego przekątnej (!). Z pewnością przejęzyczenie, lecz takich „drobiazgów”
jest więcej. W innym miejscu na przykład czytamy:
Inna grupa przekształceń, zwana przekształceniami Móbiusa, wykorzystuje również
geometrię eliptyczną.
310
Zdzisław Pogoda
Komentarz jest chyba zbyteczny. Uśmiech wzbudza portret Sophie Germain,
na którym jest ona łudząco podobna do Sofii Kowalewskiej. Gdy zajrzymy na ko­
niec książki, gdzie podane są źródła ilustracji, to odkrywamy, że numeracja stron
z umieszczonymi rysunkami dotyczy zapewne oryginału, bowiem zupełnie nie zga­
dza się numeracją w tłumaczeniu.
Niestety również Autor pozwolił sobie na uchybienia już natury merytorycznej.
Zaskakuje informacją, że dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata w pewnym istot­
nym przypadku (n = 3) podał sam Fermat i powtarza tę nieprawdziwą wiadomość
dwa razy w różnych miejscach. Nie jest to zatem zwykłe przejęzyczenie. Łatwo moż­
na sprawdzić, że dopiero ponad 100 lat później uczynił to Euler. Czytelnik jest wpro­
wadzony w błąd również czytając o klasyfikacji powierzchni, gdzie Autor pozwala
sobie na pomyłki dość istotne, lecz bardziej subtelne, które mogą wykryć tylko zna­
jący tematykę. I tak przy opisie butelki Kleina ze zdziwieniem czytamy:
Klein poszedł o krok dalej, wyobrażając sobie, że przykleja wzdłuż brzegu wstęgi
Mobiusa okrągły dysk, w wyniku czego brzeg zostaje całkowicie wyeliminowany.
Powstała w ten sposób powierzchnia, żartobliwie nazywana butelką Kleina ma jedną
stronę i zero krawędzi.
Niezorientowany czytelnik przyjmie to za dobrą monetę, a przecież w ten sposób
powstaje płaszczyzna rzutowa - nie butelka Kleina. Dla ścisłości dodajmy, że butelkę
dostaniemy sklejając brzegiem dwie wstęgi Mobiusa. Sugestywny rysunek można
obejrzeć na przykład w klasycznej książce Hilberta i Cohn-Vossena Geometria p o ­
glądową. Nieco dalej Stewart jeszcze raz opisuje konstrukcję butelki Kleina:
Butelka Kleina jest rzeczywistą płaszczyzną rzutową z jednym uchem.
I niestety znów nietrafione. Przyklejenie ucha do płaszczyzny rzutowej jest równo­
ważne przyklejeniu do niej butelki Kleina, a więc dostaniemy coś zupełnie innego.
Tym samym nieprawdziwa jest także opisana klasyfikacja jednostronnych (nieorientowanych) powierzchni: można je utworzyć z powierzchni zwanej rzeczywistą płasz­
czyzną rzutową poprzez dodanie g uszu. Taka konstrukcja pomija szereg przypad­
ków, w szczególności właśnie butelkę Kleina.
Stewart jest fachowcem najwyższej klasy i znakomitym, doświadczonym auto­
rem, więc zdumiewają te potknięcia. Tym bardziej, że w dużo wcześniej napisanej
książce Concepts o f Modern Mathematics te same zagadnienia omówione są przez
Autora bardziej szczegółowo i bezbłędnie. Ciekawe jak to wygląda w oryginale?
Naturalnie to Autor decyduje o doborze tematyki, więc może niestosowne byłoby
wytykanie mu, że pominął jakieś zagadnienie względnie nie wspomniał o tym czy
innym matematyku. Mimo wszystko może zdziwić brak wzmianki o Banachu, choć
przecież pojęcie przestrzeni Banacha odegrało w rozwoju współczesnej matematyki
bardzo ważną rolę, a Banach był postacią niezwykłą. Ale czytelnik nie znajdzie tak­
że nazwiska Talesa, co, szczególnie polskiego czytelnika, może dziwić jeszcze bar­
dziej. Należy tu uczciwie zaznaczyć, że sam Stewart przyznaje, iż lista pominiętych
nazwisk i zagadnień jest znacznie dłuższa od przedstawionych.
Mimo rozlicznych niedociągnięć i sporych uproszczeń zainteresowani populary­
zacją matematyki w tym osoby z wykształceniem humanistycznym oraz uczniowie
i nauczyciele znajdą w Oswajaniu nieskończoności wiele ciekawych informacji nie­
Oswajanie nieskończoności
311
dostępnych w programach szkolnych. Może to być punkt wyjścia do poszukiwań
lektury bardziej ambitnej, dokładniej wprowadzającej w konkretną tematykę. Pewne
propozycje literatury dodatkowej zostały umieszczone na końcu książki. Należy się
domyślać, że literatura w języku polskim została zasugerowana przez redakcję pol­
skiego wydania. Szkoda, że zabrakło w niej wielu ważnych i przystępnych pozycji
poświęconych historii matematyki.
Z pewnością bardziej staranna redakcja i zadbanie, szczególnie w przypadku
tak wymagającego autora, o lepsze i bardziej uważne tłumaczenie zwiększyłyby
atrakcyjność książki. Odpowiednie, kompetentne przypisy mogłyby, bez ingerencji
w oryginalny tekst, wyjaśnić pojawiające się nieścisłości i uchybienia. Można by też
zainteresowanemu czytelnikowi zasugerować w różnych miejscach literaturę uzu­
pełniającą. A tak pozostaje spory niedosyt...
Zdzisław Pogoda
Instytut Matematyki UJ
ul. Profesora Stanisława Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
email: [email protected]