Wykªad 1. Caªki niewªa±ciwe. Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warun

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia,
wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 1. Caªki niewªa±ciwe. Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i warunkowa. Warto±¢ gªówna Cauchy'ego.
Na potrzeby dzisiejszego wykªadu zakªadamy, »e wszystkie funkcje s¡ funkcjami rzeczywistymi
lokalnie caªkowalnymi, tzn. »e s¡ caªkowalne na dowolnym przedziale domkni¦tym zawartym w ich
dziedzinie.
Denicja caªki niewªa±ciwej pierwszego rodzaju
Denicja
[ a, ∞)
Niech
f : [ a, ∞) → R.
Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji
f
na póªprostej
deniujemy wzorem:
Z∞
ZT
def
f (x) dx = lim
f (x) dx.
T →∞
a
a
1. Je»eli granica po prawej stronie nierówno±ci istnieje i jest sko«czona, to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa jest zbie»na, w przeciwnym przypadku mówimy, »e jest rozbie»na.
2. Dokªadniej, je»eli powy»sza granica istnieje, ale jest niewªa±ciwa (tzn. jest równa
to mówimy, caªka jest rozbie»na odpowiednio do
∞
−∞.
lub
∞
lub
−∞),
Je±li za± granica ta nie istnieje, to
mówimy, »e caªka jest rozbie»na.
Uwaga Analogicznie deniujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ na póªprostej (−∞, a ]:
Za
def
f (x) dx =
Za
lim
f (x) dx.
T →−∞
−∞
T
Przykªady Korzystaj¡c z denicji zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
Z∞
1.
dx
,
(x + 2)2
Z∞
2.
(−∞, ∞)
Niech
−∞
π
1
Denicja
x sin x dx,
f : (−∞, ∞) → R.
Z0 π
3.
+ arctg x dx.
2
Caªk¦ niewªa±ciw¡ pierwszego rodzaju funkcji
f
na prostej
deniujemy wzorem:
Z∞
def
f (x) dx =
−∞
Z∞
Za
f (x) dx +
−∞
f (x) dx,
a
Za
gdzie
a oznacza dowoln¡ liczb¦ rzeczywist¡. Caªka na prostej jest zbie»na, gdy obie caªki
f (x) dx
−∞
Z∞
Z∞
f (x) dx
oraz
a
f (x) dx
s¡ zbie»ne. W przeciwnym przypadku caªka
−∞
jest rozbie»na
Uwaga Je»eli caªka niewªa±ciwa
Z∞
f (x) dx
jest zbie»na dla pewnego
a ∈ R,
to jest zbie»na dla
−∞
dowolnego
a∈R
a.
i jej warto±¢ nie zale»y od wyboru
Przykªady Korzystaj¡c z denicji zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
Z∞
1.
Z∞
dx
,
2
x − 4x + 13
2.
−∞
e|x| dx.
−∞
Fakt Caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju
Z∞
dx
,
xp
gdzie
a > 0,
jest zbie»na dla
p>1
i rozbie»na
gdzie
a < 0,
a
dla
p ≤ 1.
Uwaga Analogiczny fakt jest prawdziwy tak»e dla caªek niewªa±ciwych
Za
dx
,
xp
o ile
−∞
funkcja podcaªkowa jest poprawnie okre±lona.
Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych pierwszego rodzaju
Kryterium porównawcze
Niech funkcje
f
i
g
b¦d¡ okre±lone na póªprostej
0 ≤ f (x) ≤ g(x). Wówczas:
Z∞
caªka
g(x) dx jest zbie»na, to
[ a, ∞)
nierówno±¢
1. Je»eli
a
Z∞
a
x ∈ [ a, ∞)
Z∞
f (x) dx
tak»e caªka
a
f (x) dx
2. Je»eli caªka
i niech dla ka»dego
jest zbie»na.
Z∞
g(x) dx
jest rozbie»na, to tak»e caªka
a
jest rozbie»na.
zachodzi
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
Z∞ √
( 2 + cos x) dx
√
1.
,
x−1
2
Z∞
2.
Z∞
dx
√
,
x( x + 1)
3.
(x2 + 1) dx
.
x4 + x2 + 1
−∞
4
Kryterium ilorazowe
Niech funkcje
f
i
g
b¦d¡ obie dodatnie (lub obie ujemne) na póªprostej
lim
x→∞
Z∞
gdzie
oraz niech
k ∈ (0, ∞).
Z∞
g(x) dx
Wówczas caªki
f (x)
= k,
g(x)
[ a, ∞)
f (x) dx
oraz
a
s¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne.
a
Uwaga Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla caªek niewªa±ciwych na póªprostej (−∞, a ].
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
Z∞
1.
5
x2 dx
√
,
x5 − 3
Z∞
2.
sin2
1
dx.
x
1
Zbie»no±¢ bezwzgl¦dna i zbie»no±¢ warunkowa
Denicja Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa pierwszego rodzaju z funkcji f
|f |
gdy caªka niewªa±ciwa z funkcji
jest zbie»na bezwzgl¦dnie,
jest zbie»na. Mówimy, »e caªka jest zbie»na warunkowo, gdy
jest zbie»na, ale nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie.
Przykªad Caªka niewªa±ciwa
Z∞
sin x
dx
x
jest zbie»na, ale nie jest zbie»na bezwzgl¦dnie.
1
Twierdzenie Je»eli caªka niewªa±ciwa jest zbie»na bezwzgl¦dnie, to jest zbie»na. Ponadto zachodzi
nierówno±¢:
∞
Z
Z∞
f (x) dx ≤ |f (x)| dx.
a
a
Przykªad Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ caªki niewªa±ciwej
Z∞
cos 2x dx
.
ex + 1
1
Denicja caªki niewªa±ciwej drugiego rodzaju
Denicja
Niech funkcja
f
okre±lona na przedziale
stronnym s¡siedztwie punktu
a.
(a, b]
b¦dzie nieograniczona tylko na prawo-
Caªk¦ niewªa±ciw¡ drugiego rodzaju funkcji
f
na przedziale
(a, b]
deniujemy wzorem:
Zb
Zb
def
f (x) dx = lim+
f (x) dx.
T →a
a
T
1. Je»eli granica po prawej stronie nierówno±ci istnieje i jest sko«czona, to mówimy, »e caªka
niewªa±ciwa funkcji
f
na
(a, b]
jest zbie»na, w przeciwnym przypadku mówimy, »e jest rozbie»na.
2. Dokªadniej, je»eli powy»sza granica istnieje, ale jest niewªa±ciwa (tzn. jest równa
to mówimy, caªka jest rozbie»na odpowiednio do
∞
lub
−∞.
∞
lub
−∞),
Je±li za± granica ta nie istnieje, to
mówimy, »e caªka jest rozbie»na.
Uwaga Analogicznie deniujemy caªk¦ niewªa±ciw¡ funkcji f
ograniczonej tylko na lewostronnym s¡siedztwie punktu
Zb
okre±lonej na przedziale
[a, b)
i nie-
b:
ZT
def
f (x) dx = lim
f (x) dx.
T →b−
a
a
Przykªady Korzystaj¡c z denicji, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju.
Zπ
1.
dx
,
sin x
Ze
2.
π
2
Fakt Caªka niewªa±ciwa drugiego rodzaju
Za
p ≥ 1.
dx
,
xp
Z0
3.
−1
0
0
dla
ln x dx
,
x
gdzie
a > 0,
dx
√
.
5
x2
jest zbie»na dla
p<1
i rozbie»na
Kryteria zbie»no±ci caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju
Kryterium porównawcze
f
Niech funkcje
g
i
b¦d¡ nieograniczone tylko na prawostronnym s¡siedztwie punktu
x ∈ (a, b) speªniaj¡ nierówno±¢ 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Wówczas:
Zb
Zb
g(x) dx jest zbie»na, to tak»e caªka f (x) dx jest
Je»eli caªka
a
i niech dla
ka»dego
1.
Zb
Zb
f (x) dx
2. Je»eli caªka
zbie»na.
a
a
g(x) dx
jest rozbie»na, to tak»e caªka
a
jest rozbie»na.
a
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium porównawczego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju.
√
Z2
1.
1
1
√ arctg dx,
x
x
0
Zπ
2.
Z4
cos2 x dx
√
,
3
x−π
3.
0
dx
√ .
x2 + x
0
Kryterium ilorazowe
Niech funkcje dodatnie (ujemne)
punktu
a.
f
i
b¦d¡ nieograniczone tylko na prawostronnym s¡siedztwie
Ponadto niech
lim
x→a+
Zb
f (x)
= k,
g(x)
gdzie
k ∈ (0, ∞).
Zb
g(x) dx
Wówczas caªki
a
Uwaga
g
f (x) dx
oraz
s¡ jednocze±nie zbie»ne lub jednocze±nie rozbie»ne.
a
Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe tak»e dla caªek niewªa±ciwych drugiego rodzaju
na przedziale
[a, b).
Przykªady Korzystaj¡c z kryterium ilorazowego, zbada¢ zbie»no±¢ podanych caªek niewªa±ciwych.
Z1
1.
Zπ
dx
,
arcsin2 x
2.
√
3
dx
.
cos x
π
2
0
Warto±¢ gªówna Cauchy'ego
Denicja
Z∞
1) Niech
f : R → R.
Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa
f (x) dx
jest zbie»na w sensie
−∞
warto±ci gªównej Cauchy'ego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sko«czona granica
P.V.
Z∞
def
ZT
f (x) dx = lim
−∞
T →∞
−T
f (x) dx,
Z∞
f (x) dx.
któr¡ nazywamy warto±ci¡ gªówn¡ caªki niewªa±ciwej
−∞
Zb
2) Niech
f : [a, c) ∪ (c, b] → R.
f (x) dx
Mówimy, »e caªka niewªa±ciwa
jest zbie»na w sensie
a
warto±ci gªównej Cauchy'ego, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje sko«czona granica
P.V.
Zb

 c−δ
Zb
Z
f (x) dx +
f (x) dx ,
f (x) dx = lim+ 
def
δ→0
a
a
c+δ
Zb
f (x) dx.
któr¡ nazywamy warto±ci¡ gªówn¡ caªki niewªa±ciwej
a
Przykªady Wyznaczy¢ warto±ci gªówne caªek niewªa±ciwych:
Z∞
1.
−∞
ex dx
,
ex + 1
Z9
2.
−4
dx
p ,
|x|
Z1
3.
−2
1
dx.
x