Pobierz PDF
Transkrypt
Pobierz PDF
Ściąga eksperta Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa Pitagoras z Samos żył w latach 572 p. n. e do 497 p. n. e , założył Bractwo Pitagorejskie, które prowadziło działalność naukową; ludzie wchodzący w skład tego bractwa uważali głównie, że świat można opisać za pomocą liczb; twierdzenie Pitagorasa używane było już wcześniej przez Babilończyków; od Pitagorejczyków pochodzi podobno tylko ogólny dowód i nazwa twierdzenia Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej Załóżmy, że trójkąt przedstawiony na rysunku jest prostokątny, twierdzenie wynikające z 2 2 twierdzenia Pitagorasa sprowadza się do napisania równania: z = x + y www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line 2 Strona 1/5 Ściąga eksperta Zadanie 1. Jaką wysokość ma romb o przekątnych długości Oznaczmy długości przekątnych rombu jako: 8 cm i 6 cm? e = 8 cm, f = 6 cm www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line Strona 2/5 Ściąga eksperta Ponieważ przekątne w rombie przecinają się pod kątem prostym, to stosując twierdzenie Pitagorasa możemy obliczyć długość boku rombu a. a2 = (e/2)2 + (f/2)2 =42 + 32 ⇒ a2 = 25 ⇒ a = 5 Nie możemy obliczyć długość wysokości h rombu stosując twierdzenie Pitagorasa, bo nie wiemy w jakim stosunku wysokość pada na bok a; możemy policzyć pole rombu na dwa sposoby: P = a ∙ h = (e ∙ f)/2 Dostaniemy: P = (e ∙ f)/2 = (8∙6)/2 = 24 cm2 A z drugiej strony: P = a ∙ h = 5h czyli porównując pola - dostaniemy równanie: 5h = 24 ⇒ h = 4,8 cm 4,8 cm wysokość ma długość Zadanie 2. W pewnym trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 16 cm, ramię jest o 4 cm dłuższe od wysokości padającej na daną podstawę; oblicz pole tego trójkąta Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa: (h + 4)2 = h2 + 82 stosując wzór skróconego mnożenia, dostaniemy: h2 + 8h + 16 = h2 + 64 ⇒ 8h = 48 ⇒h = 6 cm pole: P = (a∙h)/2 = (16∙6)/2 = 48 cm2 pole tego trójkąta wynosi 48 cm2 Zadanie 3. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm; oblicz długości boków tego trójkąta www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line Strona 3/5 Ściąga eksperta niech dany będzie trójkąt prostokątny dla dowolnej liczby x > 32 możemy wprowadzić oznaczenia jak na rysunku zastosujmy twierdzenie Pitagorasa: x2 = (x -32)2 +(x -1)2 x2 = x2 - 64x + 1024 + x2 - 2x + 1 x2 - 66x + 1025 = 0 dostaliśmy równanie kwadratowe, wypisujemy współczynniki: a=1, b=-66, c=1025 i liczymy wyróżnik kwadratowy: ∆ = b2 - 4ac = (-66)2 - 4 ∙ 1 ∙ 1025 = 4356 - 4100 = 256, √∆ = 16 x1 = (-b - √∆)/2a = (66 -16)/2 = 25 x2 = (-b + √∆)/2a = (66 +16)/2 = 41 rozwiązanie x1 = 25 nie spełnia naszych założeń, czyli dostaliśmy długość przeciwprostokątnej: x = 41 cm długości przyprostokątnych wynoszą natomiast 40 cm oraz 9 cm Zadanie 4. Przekątna kwadratu jest o 2 cm dłuższa od jego boku; oblicz pole tego kwadratu. Oznaczmy długość boku literą a > 0, wówczas długość przekątnej wynosi a + 2 rozwiążmy to zadanie dwoma sposobami: 1. bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa: (a + 2)2 = a2 + a2 ⇒ a2 + 4a + 4 = 2a2 ⇒ a2 - 4a - 4 = 0 rozwiążmy otrzymane równanie kwadratowe: ∆ = 42 - 4 ∙ 1 ∙ (-4) = 16 + 16 = 32, √∆ = 4√2 www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line Strona 4/5 Ściąga eksperta a1 = (4 - 4√2)/2 = 2-2√2 a2 = (4 + 4√2)/2 = 2+2√2 pierwsze rozwiązanie jest liczbą ujemną, zatem bok kwadratu ma długość policzymy pole omawianego kwadratu: 2. wzór na długość przekątnej kwadratu: a=(2 + 2√2)cm P = a2 = (2 + 2√2)2 = 4 + 8√2 + 8=(12 + 8√2) cm2 d=a∙√2 (wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa) (a∙√2) przekątna kwadratu ma długość cm z treści zadania wynika, że jest o 2 cm dłuższa od jego boku, czyli ma długość (a+2) cm możemy zapisać równanie: a + 2 = a√2 ⇒ a√2 - a = 2 ⇒ a ∙ (√2 -1) = 2 a = 2/(√2 - 1) = (2 ∙(√2 +1))/(√2 -1)(√2 +1) = 2√2 + 2 www.edudu.pl - filmy edukacyjne on-line Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Strona 5/5