rozdział 13 współzale ność kosztów i czasu w projektach

Józef Wilk Wspólzależność kosztu I czasu w projektach długookresowych inwestycji rzeczowych; [w:] A.
Balcerak, W. Kwaśnicki (red.) Metody symulacyjne w badaniu organizacji i w dydaktyce menedżerskiej. Oficyna
Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2008, ss. 201-216
ROZDZIAŁ 13
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ KOSZTÓW I CZASU W PROJEKTACH
DŁUGOOKRESOWYCH INWESTYCJI RZECZOWYCH
Dla rozpatrywanej długookresowej inwestycji rzeczowej pokazano zasadę prognozowania różnych
wariantów funkcji PV(W, WACC,Tz) oznaczającej bieżące wartości przyszłych wpływów (W) zdyskontowanych przez średnią ważoną stopę zwrotu (WACC), gdzie Tz jest czasem ukończenia projektu. Ponieważ wartości PV jak również wartości kosztów realizowanych inwestycji KI(Tz) są silnie nieliniowymi funkcjami czasu (Tz), przeto zarówno badanie współzależności pomiędzy czasem i kosztami,
a w konsekwencji uzyskanie maksymalnej bieżącej wartości inwestycji netto (NPV) wymaga zastosowania specjalnego modelu symulacyjnego. W konsekwencji nasz problem optymalizacyjny rozwiązujemy poprzez wyznaczanie funkcji KI(Tz), w której dla każdego założonego czasu (Tz) uzyskujemy minimalny koszt działań na całej ścieżce krytycznej projektu inwestycyjnego.
Słowa kluczowe: zarządzanie projektami, PERT, ryzyko, ścieżka krytyczna
13.1. UWAGI WSTĘPNE
Do typowych i najważniejszych decyzji w procesach zarządzania strategicznego
należy projekt wprowadzenia na rynek nowego, unikalnego i innowacyjnego produktu.
Jednak wprowadzenie nowego produktu wiąże się często z koniecznością zaplanowania
i wdrożenia dużej inwestycji rzeczowej (np. nowego oddziału produkcyjnego) dla której
zakładamy pewien czas Tz (zakończenia projektu inwestycyjnego), a następnie czas Te
(eksploatacji inwestycji), ustawiony zwykle na długi horyzont w którym zyski
i amortyzacja powinny zrównoważyć (lub przekroczyć) poniesione nakłady rzeczowe.
W praktyce, aby uzyskać możliwie maksymalną bieżącą wartość inwestycji netto
(NPV), musimy przede wszystkim uwzględnić czynnik czasu, gdyż projekt wprowadzenia nowego produktu powinien zakończyć się możliwie szybko, a z pewnością przed
terminem ukończenia analogicznych działań realizowanych przez konkurencję. Tutaj
jednak należy zdawać sobie sprawę z faktu, że ewentualne skrócenie terminu zakończenia inwestycji musi się łączyć z dodatkowymi kosztami. Tematem niniejszego rozdziału
jest nie tyle wyeliminowanie tych zwiększonych kosztów, co jest oczywiście nierealne,
co ograniczenie ich rozmiarów wraz z zagwarantowaniem ich sterowalności w oparciu o
stosowny model symulacyjny.
202
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
Sterowanie przebiegiem działań projektowych, zwłaszcza związanych z realizacją
dużych inwestycji produkcyjnych, należy do najbardziej złożonej problematyki z zakresu zarządzania. Wynika to z faktu, że termin ukończenia realizacji, koszty i wyniki
finansowe związane z dużymi inwestycjami są zwykle uzależnione od bardzo licznych
czynników, a zwłaszcza: od umiejętności rozróżniania i klasyfikowania różnorodnych
aspektów technologiczno–ekonomicznych; od umiejętności wyznaczania bardzo skomplikowanych zależności wiążących koszty, czas i ryzyko; od możliwości ewentualnego
obniżania kosztów lub skracania terminów działań na tzw. ścieżce krytycznej oraz od
precyzyjnego szacowania prawdopodobieństwa realizacji całego przedsięwzięcia.
Z uwagi na wieloaspektowość powyżej wymienionych czynników, sterowanie przebiegiem projektu inwestycyjnego ma charakter w wysokim stopniu interdyscyplinarny,
a więc co najmniej kierownictwo przedsięwzięcia powinno dysponować jak najszerszą
wiedzą i umiejętnościami w zakresie powyżej wymienionej problematyki. Rozpatrując
zagadnienia sterowania przebiegiem dużego projektu, problem lokalizacji inwestycji
urasta zazwyczaj do zagadnień pierwszoplanowych. Lokalizacja powinna zostać jak
najlepiej dostosowana do wymogów ochrony środowiska podczas przyszłego uruchomienia procesu produkcyjnego i nie powinna kolidować z bieżącymi i przyszłymi (raczej bardziej restrykcyjnymi) normami prawnymi. W tym względzie szczególnie ważna
jest problematyka badań przedinwestycyjnych, która w sposób istotny rzutuje na ryzyko, koszt inwestycji oraz czas realizacji budowy i dochodzenia do zdolności produkcyjnych. W celu dokładnego określenia najbardziej realnego czasu realizacji inwestycji
rzeczowych (jak również czasów optymistycznego i pesymistycznego) niezbędne jest
wnikliwe prognozowanie (w wyniku rozwiązywania równań różniczkowych fizyki matematycznej) procesów ekologicznych, hydrotechnicznych, budowlanych itp. [Wilk
1978]. Dla każdego zidentyfikowanego ryzyka należy, w drodze odrębnej analizy, ocenić potencjalne skutki jego wystąpienia. Najczęściej dotyczą one dwóch głównych parametrów projektu: dodatkowych kosztów lub zwiększenia czasu realizacji. Dzięki planowaniom sieciowym CPM/PERT oraz matematycznemu modelowaniu kosztów działań, mamy znacznie ułatwione możliwości:
•
skrócenia czasu realizacji całego przedsięwzięcia, często bez nadmiernych dodatkowych nakładów,
•
dokonania niezbędnych zmian organizacyjnych,
•
bardziej racjonalnego wykorzystania rezerw czasowych,
•
koncentracji uwagi na czynnościach (ulokowanych na ścieżce krytycznej) limitujących czas całego przedsięwzięcia.
W ten sposób łatwiej jest ustanowić podstawy do kontroli przebiegu prac w każdym
momencie ich prowadzenia. Jednak zakładany w projekcie czas ukończenia całego
przedsięwzięcia nigdy nie może być całkowicie pewny. Dlatego bardzo dużo tu zależy
od precyzji w prognozowaniu czasów realizacji: realnego, optymistycznego i pesymistycznego. Precyzja w prognozowaniu tych trzech wymienionych czasów przekłada się
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
203
bezpośrednio na dokładność oszacowań dotyczących prawdopodobieństwa ukończenia
realizacji projektu w założonym terminie.
Dla przeprowadzenia oceny efektywności ekonomicznej projektu konieczne jest
przeprowadzanie wielu skomplikowanych analiz szczegółowych i globalnych dotyczących modelowania [Wilk 2001b, s. 137] i prognozowania kosztów, wyników i ryzyka.
Współzależność kosztów i czasu w tego typu projektach uwidacznia się na wzystkich
etapach wzmiankowanych powyżej analiz. Efektem końcowym, bardzo przydatnym dla
ewentualnej optymalizacji procesu inwestycyjnego, jest zazwyczaj uzyskiwanie minimalnych kosztów rzeczowych KI dla założonego czasu ukończenia inwestycji (Tz) lub
też, dla założonego KI, zrealizowanie inwestycji przy możliwie minimalnej wielkości
Tz.
13.2. BIEŻĄCA WARTOŚĆ PRZYSZŁYCH WPŁYWÓW
Zgodnie z powszechnie obowiązującym na rynku kapitałowym [Haugen 1996,
s. 217] modelem oceny aktywów kapitałowych CAPM (ang. Capital Assets Pricing Model) rynek finansowy określa dla każdej firmy wymaganą długookresową roczną stopę
zwrotu z inwestycji, dla której prognozuje się bieżącą wartość przyszłych wpływów
(PV). Dla przeprowadzenia oceny efektywności inwestycji bazującej na tym modelu
konieczne jest przeprowadzanie (na poziomie operacyjnym) wielu skomplikowanych
analiz szczegółowych i globalnych dotyczących modelowania [Wilk 2001a] i prognozowania kosztów, wyników i ryzyka. Analizy powinny być przeprowadzane dla wielkiej liczby wariantów dla ewentualnego przeprowadzenia maksymalizacji bieżącej
wartości netto NPV (ang. Net Present Value)
NPV(W ,WACC ,Tz) = PV(W ,WACC ,Tz) − KI(Tz)>= 0
(13.1)
prognozowanych wpływów z rozpatrywanych projektów, gdzie W (cash flow) jest sumą
rocznych zysków i amortyzacji, Tz jest czasem zakończenia inwestycji rzeczowej
o koszcie KI(Tz) (maszyny i instalacje, koszty budowlane, geotechniczne, ekologiczne,
rozbudowa kanałów dystrybucyjnych itp.). W równaniu 13.1 PV(W,Tz) oznacza bieżącą
wartość przyszłych wpływów zdyskontowanych przez stopę zwrotu WACC (średni
ważony koszt kapitału),
WACC = R _ F =
B
S
*R_B+
*R_S
S+B
S+B
(13.2)
gdzie R_B jest stopą zwrotu z zadłużenia firmy B, R_S jest średnią roczną stopą zwrotu
(od kapitału akcyjnego S). Średnia roczna stopa R_S jest traktowana jako suma rynkowej rocznej zmiany wartości akcji i wypłaconej dywidendy. W praktyce przyjmuje się,
204
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
że R_B=R_TB (R_TB jest stopą zwrotu z obligacji skarbowych) oraz koszt kapitału
firmy R_F równa się WACC jeśli NPV równa się zeru (por. rysunek 13.1.).
Jak wiadomo [Wilk 2001a], w świetle metody CAPM, warunkowi efektywnościowemu (1) powinien towarzyszyć warunek uzupełniający
BETA( I ) <= BETA( F )
(13.3)
gdzie względny parametr ryzyka BETA(I) rzeczowego projektu inwestycyjnego powinien mieścić się [Ross i Westerfield 1988, s. 182] w klasie ryzyka BETA(F) (historyczne ryzyko względne firmy). Proces maksymalizacji NPV jest uzależniony od uzyskania możliwie minimalnej wartości KI oraz możliwie maksymalnej wielkości PV ale,
jak wynika to z formuły 13.2, sytuację bardzo komplikuje fakt, że do podstawowych
wymagań rynku finansowego należy równoczesne przestrzeganie dość złożonych warunków i zasad dotyczących ryzyka.
Model oceny aktywów kapitałowych CAPM klasyfikuje kapitał akcyjny spółek
S w zależności od ryzyka względnego (BETA_S) według wymaganej przez mechanizmy
rynku finansowego wielkości średniej rocznej stopy zwrotu
R _ S = R _ TB + BETA _ S ⋅ ( R _ IG − R _ TB )
(13.4)
gdzie R_IG jest średnią roczną stopą zwrotu odpowiadającą indeksowi giełdowemu IG.
Wielkość średniej rocznej stopu zwrotu R_S, dla akcji wybranej spółki, zależy również
od miary historycznego ryzyka wyrażonego poprzez parametr ryzyka względnego akcji
BETA_S, który definiujemy jako stosunek stosownych odchyleń standardowych
BETA _ S =
STD ( R _ S )
STD ( R _ IG )
(13.5)
zaś dla całej firmy parametr ryzyka względnego
BETA _ F =
STD( R _ F )
.
STD( R _ IG )
(13.6)
Jeżeli firma giełdowa uzyskuje, w dłuższych odcinkach czasowych, stopę zwrotu
z inwestycji R_I>R_F (przy założeniu, że ryzyko BETA<=BETA_F), to wówczas uaktywnia się obszar akumulacji kapitału intelektualnego (por. rysunek 13.1.). W szczególnych przypadkach, gdy R_I>R_F i równocześnie BETA >BETA_F, wówczas dodatnia
wartość kapitału intelektualnego [Wilk 2004] jest akumulowana w okresach, gdy stopa
zwrotu firmy R_F# przebija od dołu krzywą użyteczności inwestora (R_I > KUI).
W świetle modelu CAPM projekt inwestycyjny może ewentualnie zapewnić utrzymanie (lub zwiększenie) wartości rynkowej firmy, jeśli ryzyko przedsięwzięcia jest
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
205
równe lub mniejsze od parametru BETA_F oraz wartość bieżąca zdyskontowanych
(przy użyciu WACC) wpływów
m
Wi
WKI
PV ( W ,WACC ,Tz ) = ∑
+
i
i = n ( 1 + WACC ) ( 1 + WACC )m
(13.7)
jest równa lub większa od bieżącej wartości nakładów inwestycyjnych KI(Tz).
Stopy zwrotu R[%]
Krzywa użyteczności inwestora (KUI)
Obszar akumulacji kapitału deltaR_F#
intelektualnego
Teoretyczna linia
rynku kapitałowego (CML)
deltaR_F
R_TB
R_F=WACC
R_IG
R_S
R_F#
0.5
0.75
1.0
1.25
1.5
BETA_F BETA_IG
BETA_S
STD(R_F) STD(R_IG)
STD(R_S)
2.0
BETA
STD_R(%)
Rys. 13.1. Linia rynku kapitałowego i graficzna interpretacja modelu CAPM
Opracowanie własne
We wzorze 13.7 WKI oznacza wartość końcową inwestycji (po m okresach eksploatowania inwestycji), okres eksploatacji inwestycji wynosi m - n okresów, natomiast
n oznacza liczbę okresów w których inwestycja jest projektowana, realizowana
i wyposażana w odpowiednie instalacje technologiczne a więc n jest bezpośrednio
związane z zakończeniem inwestycji w czasie Tz. Kryterium efektywności decyzji inwestycyjnej powinno więc uwzględniać równocześnie trzy podstawowe parametry:
BETA_F, BETA_I oraz NPV. Parametr ryzyka BETA_I rzeczowego projektu inwestycyjnego powinien mieścić się w klasie ryzyka BETA_F przy czym BETA_I
206
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
wyznaczamy na podstawie formuły [Wilk 2001a, s. 313] opisującej wartość bieżącą
wariancji zdyskontowanych przyszłych zysków (Zi)
PV (VAR( Z )) =
∑ (1 + WACC )
m
VAR( Z i )
2i
(13.8)
i =n
a więc bieżąca wartość odchylenia standardowego przyszłych zysków
2
PV ( STD ( Z ))[%] =
PV (VAR( Z ))
K (I )
* 100
(13.9)
a zatem względna wartość ryzyka inwestycji
BETA _ I =
PV ( STD( Z )
STD( R _ IG )
(13.10)
Obecnie dysponujemy wszystkimi już parametrami potrzebnymi zarówno do wyznaczenia kryterium efektywności inwestycji długookresowej. Jeżeli WACC <> R_F,
wówczas średnia ważona stopa zwrotu przyjmuje nazwę wewnętrznej stopy zwrotu IRR
(ang. internal rate of return).
13.3. KOSZTY INWESTYCJI JAKO FUNKCJA CZASU
Koszty projektu inwestycyjnego niewątpliwie zależą w pierwszej kolejności od
ustawienia zakresu problematyki ogólnobudowlanej związanej z wielkością konstrukcji
wraz z jej lokalizacją i towarzyszącymi jej aspektami ekologicznymi oraz od potencjału
i jakości maszyn oraz instalacji technologicznych. Jeśli już powyżej wymienione parametry zostaną ustalone, to zasadniczy wpływ na oszacowanie kosztu inwestycji wywiera czas zakończenia projektu Tz. Zasady wyznaczania zależności kosztu (pełnej
inwestycji lub tylko jej dowolnego wybranego odcinka) od czasu Tz pokazuje rysunek
13.2.
Pokazuje on, między innymi, możliwości znalezienia optymalnych czasów (To) realizacji, poszczególnych odcinków inwestycji na drodze krytycznej (critical path) CP,
przy których uzyskuje się minimalne koszty działań w projekcie (koszty całkowite Kc).
Koszty całkowite [Engler 1988] są sumą kosztów pośrednich (stałych) Ks i kosztów
zmiennych (Kz). Koszty pośrednie Ks narastają równomiernie w czasie i stanowią głównie zasadnicze płace pracowników i amortyzację stałych aktywów przedsiębiorstwa
realizującego projekt inwestycyjny. Koszty zmienne Kz to koszty całkowite Kc minus
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
207
koszty stałe Ks i obejmują głownie zużycie surowców, materiałów, podzespołów, części
zamiennych, energii itp.
Koszty
Koszt
całkowity Kc
(minimalny)
Koszty
pośrednie Ks
(stałe)
Koszty
zmienne Kz
To (czas optymalny)
Czas zakończenia(Tz)
Rys. 13.2. Ilustracja graficzna kosztów realizacji projektu lub jego odcinków
Opracowano na podstawie [Del Mar 1985]
Jeśli projekt realizujemy zgodnie z góry nakreślonym planem, wówczas optymalny
czas (zapewniający minimalne koszty Kc) zakończenia inwestycji w To występuje podczas zrównania się kosztów stałych i zmiennych (por. rysunek 13.2.). Jeśli jednak
w trakcie realizacji inwestycji występują nieprzewidziane opóźnienia, wówczas koszty
stałe Ks przekraczają swoje wartości planowane i wówczas czas zakończenia projektu
Tz jest większy od wielkości To, a ponadto koszt Kc jest powiększony głównie o dodatkowe koszty stałe Ks.
Z kolei ewentualne przyśpieszenie terminu ukończenia inwestycji z reguły wiąże się
wprawdzie z pewnym zmniejszeniem kosztów stałych Ks, lecz równocześnie z bardziej
radykalnym wzrostem kosztów zmiennych Kz, a więc w sumie z dość istotnym zwiększeniem kosztów całkowitych Kc (por. rys. 13.2.). Zwiększenie kosztów zmiennych
(przyspieszających czas Tz) wiąże się zazwyczaj z ponoszeniem dodatkowych funduszy
na droższe materiały (np. szybko wiążący cement), na dodatkowe płace za godziny
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
208
ponadnormatywne, na wynajęcie dodatkowych ekip pracowniczych lub urządzeń, jak
np. dźwigi, koparki itp.
Tabela 13.1. Dane wyjściowe do projektu rozpatrywanej firmy produkcyjnej
1
2
CZYNNOŚCI
Nr
3
Czas To
[m-ce]
4
6
7
(To)CP
5
Nr
odcinka
(Kc)CP
KI
1
Analizy przed-inwestycyjne
0-1
?
?
1
?
?
2
Budowa obiektu
1-2
8
8
2
5,00
5,00
3
Rekrutacja kadry
1-3
3
5
0,50
4
Szkolenia
3-5
4
6
1,00
5
Projektowanie systemu ERP/CRM
2-4
1,5
7
1,00
6
Zakup i instalowanie maszyn
2-5
11
7
Wdrażanie systemu ERP/CRM
4-5
2,5
8
Uruchomienie produkcji
5-6
1
9
11
3
30,00
8
(Suma To)CP=
30,00
1,50
1
4
1,00
1,00
20
Suma=
36,00
40,00
Oopracowanie własne
4
7
2
8
2
0
1
3
5
1
5
4
6
6
3
Rys. 13.3. Ilustracja ścieżki krytycznej CPM/PERT w oparciu o dane z tabeli 13.1.
Opracowanie własne
W tabeli 13.1. pokazano dane wyjściowe do prostego projektu inwestycji dotyczącej
pewnego hipotetycznego oddziału produkcyjnego i składającego się z ośmiu podsta-
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
209
wowych działań (odcinków). Odcinek numer 1 (por. rys. 13.3.) jest opcjonalny, gdyż
badania przedinwestycyjne są z reguły realizowane jeszcze przed podpisaniem zasadniczego kontraktu dotyczącego pozostałych odcinków (por. tab. 13.1., wiersz 1). O terminie realizacji projektu decyduje tu ścieżka krytyczna CP, gdyż suma czasów (To)CP jest
na niej największa i wynosi 20 miesięcy. Optymalne czasy To zapewniają minimalne
koszty Kc, których suma na ścieżce krytycznej (por. kolumna 6) wynosi Kc#=36 [mln
zł], zaś suma wszystkich kosztów Kc równa się (por. kolumna 7) minimalnemu kosztowi inwestycji KI#=40 [mln zł].
Filozofia konstruowania sieci CPM/PERT polega na uwzględnianiu właściwej kolejności ustawiania działań, co wynika bezpośrednio z założonej technologii projektu
i organizacji działań inwestycyjnych. Dla przykładu, przeprowadzanie szkoleń (odcinek
6 na rys. 13.3.) jest uwarunkowane zakończeniem rekrutacji (odcinek 5), wdrażanie systemu ERP/CRM (odcinek 8) musi być poprzedzone zakończeniem stosownych prac
projektowych (odcinek 7) w tym względzie, a w końcu uruchomienie produkcji (odcinek nr 4) jest zdeterminowane wcześniejszym zakupem i zainstalowaniem maszyn
i urządzeń (odcinek nr 3). Generalnie, ścieżka krytyczna charakteryzuje się następującymi cechami:
• każde kolejne działanie na ścieżce krytycznej zaczyna się dopiero po zakończeniu poprzedniego,
• zakończenie ostatniego zadania ścieżki krytycznej oznacza zakończenie projektu,
• czas trwania ścieżki krytycznej determinuje czas trwania całego projektu,
• ścieżka krytyczna może się zmienić w czasie trwania projektu, jeśli czasy
wykonania poszczególnych zadań będą się różniły od zakładanych początkowo
(tutaj jednak oczywiście należy się liczyć ze stosowną zmianą kosztów).
13.4. MAKSIMUM BIEŻĄCEJ WARTOŚCI INWESTYCJI NETTO
13.4.1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
Jak już wzmiankowano w podrozdziale 13.3, ścieżka krytyczna dotycząca projektu
opisanego w tabeli 13.1. jest wyznaczona przez działania nr 2, nr 3 i nr 4 (por. rysunek
13.3.). Gdyby w praktyce założyć na tych odcinkach optymalne czasy zakończenia poszczególnych działań czyli Tzi=Toi, gdzie i=2,3 i 4 (których suma wynosi Tz=To=20
miesięcy), wówczas minimalny koszt realizacji inwestycji wyniesie KI#=40 [mln zł].
Jednak takie ustawienie problemu, polegające na minimalizacji kosztów inwestycji,
może przynieść wynik daleki od oczekiwań z punktu widzenia wymagań rynku finansowego.
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
210
Aby uzyskać rozwiązanie globalnie optymalne ze strategicznego punktu widzenia,
należy uzyskać maksimum wartości NPV wyrażonego przez formułę 13.1 przy równoczesnym spełnieniu warunku, dotyczącego ryzyka, opisanego przez wzór 13.3.
Na rys. 13.4. pokazano (linią przerywaną) hipotetyczna krzywą PV(W,WACC,Tz),
gdzie Tz jest czasem zakończenia projektowanej inwestycji. Widać wyraźnie, że tylko
w przypadku szybkiego zakończenia projektu możemy liczyć na stosunkowo duże wartości PV(W,WACC,Tz). Tymczasem terminy ukończenia inwestycji (jeśli ma ona spełniać minimalne kryteria efektywnościowe) są określone punktami przecięcia krzywej
PV(W,WACC,Tz) z hipotetyczną (dotychczas) krzywą kosztów inwestycji KI(Tz). Dla
optymalnego (z punktu widzenia minimum kosztów KI(Tz)) czasu zakończenia projektu
To=Tz=20 [miesięcy] koszt inwestycji KI(20)=40 [mln zł] i jest rzeczywiście minimalny, jednak uzyskane NPV wynosi około -5,0 [mln zł] i ten wynik jest oczywiście w
wysokim stopniu niezadowalający. Wynika to z faktu, że wprawdzie dla optymalnego
czasu To=20 [miesięcy] uzyskujemy minimalny koszt inwestycji KI(20), lecz z drugiej
strony wartość PV, dla tego stosunkowo długiego czasu zakończenia, jest niewielka i
wynosi tylko 35 [mln zł]. Natomiast dla czasu Tz=14 [miesięcy] koszt inwestycji
KI(14)=44,97 [mln zł] jest wprawdzie nieco większy lecz równocześnie mamy niewspółmiernie większą wartość PV=56,20 [mln zł], co przekłada się na uzyskanie maksymalnej wartości NPV=11,23 [mln zł].
Koszty i PV[mln zł]
70
PV(W,WACC, Tz)
60
KI(Tz)
50
40
NPV(W,WACC,Tz=14)=max
NPV(W,WACC,To=20)=-5,0[mln zł.]
30
20
10
0
Tz[miesiące]
5
10
15
20
25
30
35
40
Rys. 13.4. Zależność pomiędzy kosztami inwestycji KI, czasem zakończenia projektu Tz, PV i NPV
Opracowanie własne
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
211
Tak więc, jeśli prognoza krzywej PV(W,WACC,Tz) jest już wcześniej ustalona, to
kluczem do uzyskania maksymalnej wartości NPV(W,WACC,Tz) jest wyznaczenie,
w oparciu o stosowny model optymalizacyjny, minimalnych wartości funkcji KI(Tz) dla
różnych opcji czasu ukończenia inwestycji (Tz).
13.4.2. ALGORYTM OPTYMALIZACJI FUNKCJI KOSZTÓW
Ponieważ w rozważanych przez nas czterech odcinkach (por. rysunek 13.3.) na
ścieżce krytycznej segment nr 1 został wyeliminowany z uwagi na to, że dotyczy on
badań przedinwestycyjnych – a te nie są objęte kontraktem inwestycyjnym, to celem
naszego rozwiązania analitycznego jest poszukanie takiego wektora odcinkowych czasów zakończenia działań projektowych Tz2, Tz3 i Tz4 (przy ograniczeniu ΣTz = Tz#),
który pozwoli uzyskać minimalną sumę kosztów (na ścieżce krytycznej) Kc#. W tym
celu w pierwszej kolejności przeprowadzimy, dla wymienionych trzech segmentów,
aproksymację Kci = f(Tzi) przy zastosowaniu następującej funkcji kwadratowej:
Kci = ai * Tzi2 + bi * Tzi + ci
(13.11)
gdzie wskaźnik i oznacza numer odcinka na ścieżce krytycznej. Zaproponowanie wielomianu drugiego stopnia jest tu całkiem naturalne, gdyż zależność kosztów od czasu
przybiera zawsze postać funkcji wklęsłej [Del Mar 1985] w kształcie litery U (por.
rysunek 13.2.). Według schematu obliczeniowego (aproksymacji punktowej) pokazanego w tabeli 13.2. wypełniamy kolejno tabele; 13.3a, 13.3b i 13.3c w oparciu o założone dane pokazane na rys. 13.5a, 13.5b i 13.5c.
Z kolei przedstawione na rys. 13.5a, 13.5b i 13.5c wykresy stanowią konkretne
przykłady zależności Kci=f(Tzi), aproksymowane za pomocą formuły 13.11, opracowane według zasad zaproponowanych na rysunku 13.2. Każda tabela tworzy układ
trzech równań algebraicznych dla wyznaczenia współczynników aproksymacji; ai, bi i ci
dla każdego odcinka projektu. Rozwiązania tych układów równań zamieszczone są
w tabeli 13.4., gdzie otrzymaliśmy trzy komplety parametrów aproksymacyjnych
funkcji Kci = f(Tzi). Teraz, aby uzyskać rozwiązanie globalnej minimalizacji funkcji
kosztów, formułujemy funkcjonał:
4
Kc# = ∑ Kci
i =2
(13.12)
który stanowi sumę trzech kosztów Kci aproksymowanych przez wzór 13.11. Ze
względu na znaną wartość ograniczenia Tz# w funkcjonale 13.12, możemy wyeliminować zmienną Tz4 ,ponieważ:
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
212
Tz 4 = Tz # − Tz 2 − Tz3
(13.13)
Tabela 13.3a. Dane dla aproksymacji Kc2=f(Tz)
na podstawie rys. 13.3a
Tabela 13.2. Schemat aproksymacji Kci=f(Tzi)
k
1
Tzi,j
2
ai
3
bi
4
ci
5
Kci,k
k
1
Tz2,k
2
a2
3
b2
4
c2
5
Kc2,k
1
2
3
Ti,1
Ti,2
Ti,3
(Ti,1)2
(Ti,2)2
(Ti,3)2
Ti,1
Ti,2
Ti,3
1
1
1
Kci,1
Kci,2
Kci,3
1
2
3
2
8
14
4
64
196
2
8
14
1
1
1
12
5
12
Tabela 13.3b. Dane dla aproksymacji Kc3=f(Tz)
na podstawie rys. 13.3b
1
Tz3,k
7
11
15
k
1
2
3
2
a3
49
121
225
3
b3
7
11
15
4
c3
1
1
1
Tabela 13.3c. Dane dla aproksymacji Kc4=f(Tz)
na podstawie rys. 13.3c
5
Kc3,k
40
30
40
k
1
2
3
Tabela 13.4. Parametry aproksymacji Kci = f(Tzi)
dla trzech rozpatrywanych odcinków
1
ai
0,19444
0,62500
2,04082
i
2
3
4
2
bi
-3,1111
-13,750
-4,0816
3
ci
17,444
105,62
3,0408
Kc2
10
8
6
4
2
4
1
Tz4,k
0,3
1
1,7
12
16
Tz
Rys. 13.5a. Funkcja Kc2=f(Tz)
3
b4
0,3
1
1,7
4
c4
1
1
1
5
Kc4,k
2
1
2
Tabela 13.5. Współczynniki układu dwóch równań
algebraicznych ze względu na Tz2 i Tz3
1
Tz2
2a2+2a3
2a4
nr
1
2
2
Tz3
2a4
2a3+2a4
3
Prawa strona
b4-b2+2a4Tz#
b4-b3+2a4Tz#
Opracowanie własne
Kc3
50
40
30
20
10
8
2
a4
0,09
1
2,89
7
Kc4
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
9
11
13
Tz
Rys. 13.5b. Funkcja Kc3=f(Tz)
0,2
0,6
1,0
1,4
Tz
Rys. 13.5c. Funkcja Kc4=f(Tz)
Warunkiem uzyskania rozwiązania optymalnego jest równoczesne zerowanie się
dwóch pochodnych cząstkowych (13.14 i 13.15).
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
213
∂Kc# = 0
∂Tz 2
(13.14)
∂Kc# = 0
∂Tz3
(13.15)
co prowadzi do sformułowania dwóch równań algebraicznych ze względu na niewiadome; Tz2 i Tz3 (por. tab. 13.5.). W wyniku rozwiązania tego układu równań otrzymujemy formuły 13.16 i 13.17 na wyznaczanie Tz2 i Tz3 ,
a ⋅Tz
b −b
Tz 2 = 3 3 + 3 2
a2
2⋅a2
a ⋅ b − a2 ⋅ b3 + 2 ⋅ a2 ⋅ a4 ⋅ Tz # − b3 ⋅ a4 + b2 ⋅ a4
Tz3 = 2 4
2 ⋅ a3 ⋅ a4 + 2 ⋅ a2 ⋅ a3 + 2 ⋅ a2 ⋅ a4
(13.16)
(13.17)
natomiast wartości Tz4 wyznaczamy w oparciu o wzór 13.13.
W tabeli 13.6. przedstawione są, dla założonych z góry czasów zakończenia Tz#
(w kolumnie 1), szczegółowe wyniki obliczeń czasów działań Tzi (w kolumnach 2, 4 i 5)
dla poszczególnych segmentów ścieżki krytycznej wyliczone za pomocą formuł (13.13,
13.16 i 13.17). Natomiast w kolumnach 3, 5 i 7 pokazano, odpowiadające Tzi, wartości
sub-optymalnych kosztów Kci (z wyjątkiem kosztów pokazanych w wierszu 6, które są
globalnie optymalne), które są wyliczone za pomocą formuły 13.11 z wykorzystaniem
współczynników aproksymacyjnych ai ,bi oraz ci umieszczonych w tabeli 13.4.
Jak łatwo jest zauważyć, w tabeli 13.6. przyjęto minimalny czas zakończenia tylko
#
Tz =10 [miesięcy], gdyż założenie krótszego czasu byłoby w rozpatrywanym przypadku sytuacyjnym nierealne z powodu ograniczeń technologicznych (na przykład
z powodu braku na rynku budowlanym jeszcze szybciej wiążącego cementu). Natomiast
zastosowanie w praktyce czasów zakończenia inwestycji Tz#>20 [miesięcy] jest już
zupełnie nieuzasadnione z ekonomicznego punktu widzenia, gdyż w tych sytuacjach, z
powodu gwałtownie malejących wartości PV(W,WACC,Tz) (por. kolumna 5 w tabeli
13.7.), równie szybko maleją i stają się ujemne wartości NPV(W,WACC,Tz) (por.
kolumna 6 w tabeli 13.7.).
W kolumnie 8 w tabeli 13.6. oraz w kolumnie 2 w tabeli 13.7. pokazano, dla założonych wielkości Tz#, wartości Kc# czyli sumę kosztów działań Kci na ścieżce krytycznej.
W kolumnie 3 tab. 13.7. wprowadzono (inne niż na ścieżce krytycznej) minimalne
koszty projektu, czyli koszty na odcinkach działań; 5, 6, 7 i 8 (por. rysunek 13.3.).
W kolumnie 4 w tabeli 13.7. zamieszczone są wartości całkowitych kosztów inwestycji
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
214
KI ( Tz ) = Kc# ( Tz ) + Kc INNE ,
(13.18)
zaś w kolumnie 5 występują założone w przypadku sytuacyjnym (por. rysunek 13.5.)
wartości PV(W,WACC,Tz), natomiast w kolumnie 6 pokazano wyniki obliczeń
NPV(W,WACC,Tz) przy zastosowaniu formuły 13.1.
Tabela 13.6. Zależność kosztów i czasu na poszczególnych segmentach ścieżki krytycznej
1
#
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
#
Tz
Tz2
Kc2
Tz3
Kc3
Tz4
Kc4
Kc
10
12
14
16
18
20
22
0,89
2,31
3,73
5,16
6,58
8,00
9,42
14,83
11,29
8,54
6,57
5,39
5,00
5,39
8,79
9,23
9,67
10,11
10,56
11,00
11,44
33,06
31,96
31,10
30,49
30,12
30,00
30,12
0,32
0,46
0,60
0,73
0,86
1,00
1,14
1,94
1,60
1,34
1,15
1,04
1,00
1,04
49,82
44,84
40,97
38,21
36,55
36,00
36,55
Oopracowanie własne
Tabela 13.7. Zależności pomiędzy kosztami na ścieżce krytycznej oraz PV i NPV
1
1
2
3
4
5
6
7
Tz#
10
12
14
16
18
20
22
2
Kc#
49,82
44,84
40,97
38,21
36,55
36,00
36,55
3
4
(Kc)INNE
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
KI(Tz)
53,82
48,84
44,97
42,21
40,55
40,00
40,55
5
PV(W,WACC,Tz)
60
58,5
56,2
51,5
40,55
35,00
28,00
6
NPV(W,WACC,Tz)
6,18
9,66
11,23
9,29
0
-5,00
-12,55
Opracowanie własne
Wyniki analiz symulacyjnych zamieszczone w tabeli 13.7. pokazują dwa szczególnie
interesujące aspekty:
• W wierszu 6, dla globalnie optymalnego czasu (ze względu na koszty projektu)
Tz=To=20 [miesięcy], uzyskujemy minimalny koszt inwestycji KI(20), lecz
z drugiej strony, z uwagi na fakt, że wartość PV(W,WACC,Tz) dla tego czasu zakończenia jest raczej niewielka i wynosi tylko 35 [mln zł], w konsekwencji uzyskujemy nie korzystną wartość NPV(W,WACC,Tz)=-5,0 [mln zł], co oczywiście
Rozdział 13. Współzależność kosztów i czasu w projektach długookresowych inwestycji…
•
215
nie spełnia warunku efektywności inwestycji długoterminowej.
W wierszu 3, dla czasu Tz=14 [miesięcy], uzyskany koszt inwestycji
KI(14)=44,97 [mln zł] nie jest wprawdzie minimalny, lecz równocześnie niewspółmiernie większą otrzymujemy wartość PV(W,WACC,Tz) = 56,20 [mln zł],
co przekłada się na uzyskanie globalnie optymalnej (z punktu widzenia wymagań rynku kapitałowego) wartości NPV=11,23 [mln zł].
13.5. UWAGI KOŃCOWE
Przeprowadzone badania symulacyjne współzależności czasu zakończenia projektu
i kosztów inwestycji można potraktować jako tylko wstępny etap dość złożonej problematyki związanej z analizą efektywności ekonomicznej inwestycji długookresowych.
Dotychczas skoncentrowaliśmy się głównie nad uzyskiwaniem minimalnych kosztów
działań projektowych KI dla założonego czasu ukończenia inwestycji Tz oraz nad
analizą warunku efektywnościowego (formuła 13.1) związanego z NPV. Dalsze badania
powinny się skoncentrować nad analizami dotyczącymi warunku efektywnościowego
(formuła 13.2) związanego z szacowaniami wielkości ryzyka rozpatrywanej inwestycji
rzeczowej. W tym względzie szczególnie istotna wydaje się problematyka badań
przedinwestycyjnych, która w sposób istotny może rzutować na tzw. ryzyko niesystematyczne związane zarówno z precyzją oszacowań kosztu inwestycji jak również
czasu realizacji budowy i dochodzenia do zdolności produkcyjnych. W dalszych badaniach dotyczących zasad wyznaczania ryzyka będziemy koncentrować się również nad
problemem jak najbardziej precyzyjnego szacowania prawdopodobieństwa ukończenia
projektu, przy czym termin realizacji i koszty inwestycji należałoby potraktować jako
zmienne losowe o rozkładzie beta.
LITERATURA
DEL MAR D. 1985. Operations and Industrial Management. McGraw-Hill, New York.
ENGLER C. 1988. Managerial accounting. IRWIN, Homewood.
HAUGEN R.A. 1996. Teoria nowoczesnego inwestowania. WIG PRESSJ, Warszawa.
ROSS S.A., WESTERFIELD R.W. 1988. Corporate finance. Tiemes Mirror/Mosby College Pub.,
St. Louis.
WILK J. 1978. Komputerowy system optymalizacji procesów technologicznych dla zagadnień
inwestycyjnych. Monografia nr 42, Akademia Ekonomiczna, Kraków.
WILK J. 2001a. Ocena efektywności inwestycji strategicznych przy zastosowaniu heurystycznych technik informacyjnych; [w:] INFO 2001, Zarządzanie wiedzą i informacją w procesie
doskonalenia jakości, tom 1. Wydawnictwo UMCS, Lublin; ss. 304-316.
WILK J. 2001b. Zintegrowany system zarządzania przedsiębiorstwem. WSHiFM, Warszawa.
216
Część II. Konceptualizacje i aplikacje
WILK J. 2004. Symulacyjny model kapitału intelektualnego przedsiębiorstwa, [w:] Symulacja
systemów gospodarczych, część II. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław; ss. 229-252.