ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 3

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA
Lista 3 - Twierdzenie Baire’a
1. Niech A będzie domkniętym podzbiorem w unormowanej przestrzeni liniowej X.
Udowodnić, że A jest nigdziegęsty wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego x ∈ A i
każdego > 0 istnieje y ∈
/ A, taki że k x − y k≤ .
2. Uzasadnić, że zbiór A jest nigdziegęsty w przestrzeni metrycznej X wtedy i tylko
wtedy gdy X \ A jest gęsty w X.
3. Niech a < b, L > 0, x0 ∈ [a, b) oraz 0 < r < b − x0 . Niech A będzie zbiorem
złożonym z funkcji f ∈ C[a, b], dla których zachodzi nierówność
|f (x) − f (x0 )| ≤ L|x − x0 |
dla każdego x ∈ [x0 , x0 + r]. Pokazać, że zbiór A jest nigdziegęsty w C[a, b].
4. Pokazać, że jesli A jest zbiorem 1-ej kategorii w przestrzeni metrycznej X oraz
B ⊂ A, to B jest także zbiorem 1-ej kategorii w X.
5. Pokazać, że przeliczalna suma podzbiorów 1-ej kategorii w przestrzeni metrycznej
X jest zbiorem 1-ej kategorii w X.
6. Pokazać, że jeżeli A jest zbiorem 1-ej kategorii w zupełnej przestrzeni metrycznej
X, to X \ A jest gęsty w X (przestrzeń zupełna jest tzw. przestrzenią Baire’a).
7. Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha. Pokazać, że jeżeli T ∈ B(X, Y ) oraz
Z = Ran(T ) jest zbiorem 1-ej kategorii, to Z jest domknięty w Y .
8. Niech 1 ≤ p ≤ q < ∞. Wiemy, że `p ⊂ `q . Wykazać, że
(a) zbiór A = {x ∈ `q :k x kp ≤ 1} jest domknięty i ma puste wnętrze w `q ,
(b) `p jest zbiorem 1-ej kategorii w `q .
9. Niech X = C[a, b], gdzie a < b, z normą typu L1 na X, tzn
Z
b
|f (x)|dx
k f k=
a
Wykazać, że
(a) zbiór A = {f ∈ X :k f k∞ ≤ 1} jest domknięty i ma puste wnętrze w X,
(b) przestrzeń X jest zbiorem 1-ej kategorii.
10. Pokazać, że nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha nie ma przeliczalnej
bazy.
11. Uzasadnić, że przestrzeń liniowa wszystkich wielomianów (rzeczywistych bądź zespolonych) nie jest przestrzenią Banacha w żadnej normie.
1
12. Niech A ⊂ X = C[0, 1] będzie zbiorem wszystkich funkcji, które nie mają pochodnej w żadnym punkcie przedziału [a, b] (w punktach a i b przyjmujemy pochodną
jednostronną). Udowodnić, że zbiór A jest zbiorem 2-ej kategorii w X.
Wskazówka: Dla każdego n naturalnego oraz u, w wymiernych rozważyć zbiór
funkcji
D(n, u, w) = {f ∈ C[a, b] : ∃x0 ∈ [u, w]∀x ∈ [u, x0 ]∀y ∈ [x0 , w] takie ze
|f (x) − f (y)| ≤ n|x − y|},
pokazać, że każdy taki zbiór jest nigdziegęsty w C[a, b] (zad.3), a następnie
pokazać, że jeżeli f ma pochodną w x0 , to f ∈ D(n, u, w) dla odpowiednio dobranych u < x0 < w oraz n.
R. Lenczewski
2