Estymacja parametrów modeli liniowych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości
dopasowania modeli do danych empirycznych
3.1.
Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną
23. Właściciel komisu w celu zbadania jak kształtują się ceny rynkowe samochodów średniej
klasy [w zł] w zależności od ich wieku [w latach] wybrał losowo 13 ofert. Dane dotyczące
ceny i wieku samochodu przedstawia tabela poniżej:
Wiek
12
9
10
6
8
4
Cena 10,5 14,6 11,8 21,3 11,9
8
7
5
6
1
1
35,2 20,8 25,0 27,6 32,6 36,4 42,9 38,7
Na podstawie posiadanych informacji:
a) wprowadzić dane do programu Gretl,
b) dokonać estymacji parametrów modelu yt   0  1 xt   t ,
Parametr
3
Wartość
Błąd standardowy
a0
a1
Oszacowany model ma postać:
yˆt  ...................................................................
c) podać interpretację parametru a1 i dokonać jego oceny merytorycznej,
Interpretacja parametru a1:
Ocena merytoryczna parametru a1:
Interpretacja standardowego błędu szacunku parametru a1 – S(a1):
1
d) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej,
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji,
e) przyjmując krytyczną wartość współczynnika determinacji R 2*  0,90 zbadać zgodność
otrzymanego modelu z danymi empirycznymi,
f) przyjmując krytyczną współczynnika zmienności losowej V *  10% zbadać wyrazistość
otrzymanego modelu,
g) podać interpretację wyników,
Interpretacja
Odchylenie standardowe reszt wynosi …………. Oznacza to, że teoretyczne ceny
samochodów wyznaczone na podstawie modelu różnią się od wartości empirycznych średnio
o ……… tys. zł. Odchylenie standardowe reszt stanowi ……% średniej ceny samochodów.
Świadczy to o ………….……………………… zmienności resztowej. Zmienność ceny
samochodów została w ……% wyjaśniona przez ich wiek, natomiast nie została wyjaśniona
w ………%.
h) zbadać istotność parametru strukturalnego α1,
I.
Sformułowanie hipotez statystycznych:
H0:
[α1=0] – wiek samochodu nie miał istotnego wpływu na jego cenę
H1:
[α1≠0] – wiek samochodu miał istotny wpływ na jego cenę
II.
Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p:
Ustalamy poziom istotności  = ……… a następnie odczytujemy wartość komputerowego
poziomu istotności p………
2
III.
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej:
24. W pliku test.gdt znajdują się dane dotyczące kształtowania się wyników testu
z matematyki w zależności od ilorazu inteligencji w próbie złożonej z 19 uczniów. Na
podstawie posiadanych informacji:
a) dokonać estymacji parametrów modelu liniowego yt   0  1 xt   t ,
Parametr
Wartość
Błąd standardowy
a0
a1
Oszacowany model ma postać:
yˆt  ...................................................................
b) podać interpretację parametru a1 i dokonać jego oceny merytorycznej,
Interpretacja parametru a1:
Ocena merytoryczna parametru a1:
Interpretacja standardowego błędu szacunku parametru a1 – S(a1):
c) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej,
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji,
3
d) ustalić krytyczną wartość współczynnika determinacji R 2* , a następnie zbadać zgodność
tego modelu z danymi empirycznymi,
e) ustalić krytyczną współczynnika zmienności losowej V * , a następnie zbadać wyrazistość
modelu ekonometrycznego,
f) podać interpretację wyników,
Interpretacja
g) zbadać istotność parametru strukturalnego α1,
I.
Sformułowanie hipotez statystycznych:
H0:
[α1=0] – ……………………………………………………………………………………………...…
H1:
[α1≠0] – ……………………………………………………………………………………………...…
I.
Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p:
Ustalamy poziom istotności  = ……… a następnie odczytujemy wartość komputerowego
poziomu istotności p………
II.
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej:
4
3.2.
Estymacja parametrów i ocena dopasowania liniowych funkcji trendu
25. W poniższej tabeli znajdują się dane dotyczące kształtowania się liczby wypadków
drogowych w Polsce w latach 1998 – 2006.
Rok
Liczba wypadków
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
61588 55106 57331 53799 53559 51078 51069 48100 47120
Na podstawie posiadanych informacji:
a) wprowadzić dane do programu Gretl,
b) dokonać estymacji i interpretacji parametrów liniowej funkcji trendu yt   0  1t   t ,
Parametr
Wartość
Błąd standardowy
a0
a1
Oszacowana funkcja trendu ma postać:
yˆt  ...................................................................
Interpretacja parametru a1:
c) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej,
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji,
d) przyjmując krytyczną wartość współczynnika determinacji R 2*  0,90 zbadać zgodność
otrzymanej funkcji trendu z danymi empirycznymi,
5
e) przyjmując krytyczną współczynnika zmienności losowej V *  10% zbadać wyrazistość
otrzymanej funkcji trendu,
f) podać interpretację wyników,
Interpretacja
Zaobserwowana liczba wypadków drogowych w Polsce w latach 1998 – 2006 różni się
przeciętnie (w sensie oceny odchylenia standardowego składnika resztowego) o ………
wypadków od teoretycznych wartości tej zmiennej, wynikających z oszacowanej funkcji
trendu. Udział odchylenia standardowego składnika resztowego w przeciętnej liczbie
wypadków drogowych w Polsce w latach 1998 – 2006 wyniósł ………. Świadczy to
o …………………………………. zmienności resztowej. Zmienność analizowanej liczby
wypadków drogowych a została wytłumaczona ……… trendem liniowym, natomiast nie
została wyjaśniona w ……….
g) zbadać istotność parametru strukturalnego α1,
I.
Sformułowanie hipotez statystycznych:
H0:
[α1=0] – zmienna czasowa nie miała istotnego wpływu na liczbę wypadków
H1:
[α1≠0] – zmienna czasowa miała istotny wpływ na liczbę wypadków
II.
Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p:
Ustalamy poziom istotności  = ……… a następnie odczytujemy wartość komputerowego
poziomu istotności p………
III.
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej:
26. W pliku studenci.gdt znajdują się dane dotyczące kształtowania się liczby studentów
w Polsce w latach 1998 – 2006. Na podstawie posiadanych informacji:
a) dokonać estymacji i interpretacji parametrów liniowej funkcji trendu yt   0  1t   t ,
Parametr
Wartość
a0
6
Błąd standardowy
a1
Oszacowana funkcja trendu ma postać:
yˆt  ...................................................................
Interpretacja parametru a1:
b) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej,
współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji,
c) ustalić krytyczną wartość współczynnika determinacji R 2* , a następnie zbadać zgodność
otrzymanej liniowej funkcji trendu z danymi empirycznymi,
d) ustalić krytyczną współczynnika zmienności losowej V * , a następnie zbadać otrzymanej
funkcji trendu,
e) podać interpretację wyników,
Interpretacja
7
b) zbadać istotność parametru strukturalnego α1,
I.
Sformułowanie hipotez statystycznych:
H0:
[α1=0] – ……………………………………………………………………………………………...…
H1:
[α1≠0] – ……………………………………………………………………………………………...…
II.
Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p:
Ustalamy poziom istotności  = ……… a następnie odczytujemy wartość komputerowego
poziomu istotności p………
III.
Podjęcie decyzji weryfikacyjnej:
8