Inwersja - wybór zadań 1. Proste k i l s a wzajemnie prostopadłe i

Inwersja - wybór zadań
1. Proste k i l sa, wzajemnie prostopadłe i przecinaja, sie, w punkcie P . Okregi
α1 i α2
,
przechodza, przez P i sa, styczne do prostej k, zaś okregi
β
i
β
przechodz
a
przez
P i sa,
1
2
,
,
styczne do prostej l. Oprócz punktu P , pary okregów
αi i βj przecinaja, sie, w punkcie Aij , gdzie
,
i, j ∈ {1, 1}. Pokazać, że punkty Aij leża, na jednym okregu.
,
2. Okregi
o1 i o2 sa, styczne zewnetrznie.
Prosta k jest styczna do o1 w A i do a2 w B
,
,
przy czym A 6= B. Odcinek AC jest średnica, o1 , prosta CE jest styczna do o2 . Pokazać, że
CE = AC.
3. Okregi
o1 i o2 przecinaja, sie, w punktach A i B. Okrag
do
, o3 jest styczny zewnetrznie
,
,
okregów
o1 i o2 w odpowiednio punktach C i D, zaś okrag
, o4 również, ale w punktach E i F .
,
Pokazać, że okregi
opisane
na
trójk
atach
ACD
i
AEF
s
a
,
, styczne.
,
4. Okrag
, γ, wpisany w trójkat
, ABC styczny jest do boków AC i BC odpowiednio w
punktach E i F . Prosta EF przecina dwusieczna, kata
BAC w punkcie P . Pokazać, że ∠AP B =
,
90◦ .
5. Dany jest półokrag
γ1 i γ2 maja, jako średnice odcinki AC i
, Γ o średnicy AB. Półokregi
,
CB, gdzie C należy do odcinka AB, oraz leża, po tej samej stronie AB co Γ. Rodzina okregów
,
αi spełnia:
(a) Okrag
do Γ i zewnetrznie
do γ1 i γ2 .
, α1 jest styczny wewnetrznie
,
,
(b) Okrag
do Γ i zewnetrznie
do γ1 i αi−1 dla i > 1.
, αi jest styczny wewnetrznie
,
,
Pokazać, że jeśli ri to promień okregu
αi zaś hi to odległość jego środka od prostej AB, to
,
zachodzi hi = 2iri .
6. Sfery γ1 i γ2 sa, styczne wewnetrznie
do sfery Γ. Sfery α1 , α2 , . . . , αk sa, styczne wewnetrznie
,
,
do Γ, zewnetrznie
do
γ
i
γ
oraz
dla
każdego
i
sfera
α
jest
styczna
do
α
i
α
,
1
2
i
i−1
i+1 gdzie
,
indeksowanie zachodzi cyklicznie. Pokazać, że k = 6.
1