XIII Wojewódzka Gimnazjada Matematyczna Zadania (I etap)

XIII Wojewódzka Gimnazjada
Matematyczna
Zadania (I etap)
MARSZAŁEK WOJEWÓDZTWA
KUJAWSKO – POMORSKIEGO
Piotr Całbecki
I Liceum Ogólnokształcące
im. Jana Kasprowicza
w Inowrocławiu
Zad. 1 [ciekawe równania]
Dla jakich
prawdziwa jest równość:
Zad. 2 [inne równania]
Rozwiąż równania:
a)
b)
c)
Zad. 3 [o rozdzielaniu]
Rada Rodziców przy I Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu postanowiła kupić
pewną liczbę długopisów i rozdać je uczniom trzech klas pierwszych: Ia, Ib, Ic. Wiadomo,
że gdyby długopisy były rozdane po równo wszystkim uczniom tych trzech klas, to każdy
uczeń otrzymałby po 11 długopisów. Gdyby zostały rozdane po równo tylko uczniom
klasy Ia, to każdy dostałby po 22 długopisy. Jeżeli zostałyby rozdane tylko uczniom klasy
Ib, to każdy otrzymałby po 33 długopisy. Po ile długopisów dostałby uczeń klasy Ic,
gdyby postanowiono je rozdać tylko tej klasie?
Zad. 4 [wartość wyrażenia]
Wiedząc, że
, oblicz wartość wyrażenia:
.
Zad. 5 [tajemnicza bryła]
Dany jest sześciokąt foremny o boku długości . Oblicz objętość bryły powstałej przez
obrót wokół jednego z boków tego sześciokąta.
Zad. 6 [ciekawy związek]
W trójkącie ostrokątnym
poprowadzono wysokość
boku
należy do symetralnej odcinka
.
i
. Uzasadnij, że środek
Zad. 7 [największy dzielnik]
Jaka jest największa możliwa wartość wspólnego dzielnika różnych liczb całkowitych
dodatnich
spełniających warunek:
Zad. 8 [pole figury]
Z każdego wierzchołka kwadratu o boku zakreślono łuk okręgu przechodzącego przez
środek kwadratu. Jakie jest pole zacieniowanej figury?
Zad. 9 [o trójkącie prostokątnym]
W trójkącie prostokątnym równoramiennym
o przeciwprostokątnej
poprowadzono wysokość
. W trójkąt
wpisano okrąg, a w trójkącie
poprowadzono wysokość
. Następnie w trójkąt
wpisano okrąg, a w trójkącie
poprowadzono wysokość
. Postępując analogicznie powstało 7 kolejnych okręgów.
Oblicz sumę pól 7 kół powstałych opisanych powyższą metodą.
Zad. 10 [o pewnej klasie]
W klasie I b
uczniów uczy się języka hiszpańskiego,
języka włoskiego. Oszacuj
prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z tej klasy uczy się obu tych języków.