1 Wektory, pochodne, układy współrzędnych

Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
1
1
Wektory, pochodne, układy współrzędnych
1.1
alfabet
Proszę się nauczyć jak się pisze i nazywa litery greckie, małe i duże, a przynajmniej α, β, γ, δ, ǫ,
ζ, η, θ, λ, µ, ν, ξ, π, ρ, σ, τ , φ, ϕ, χ, ψ, ω, Γ, ∆, Θ, Λ, Ξ, Π, Σ, Φ, Ψ, Ω.
1.2
wektory
Dane są trzy wektory þa = (0, 2, −1), þb = (2, −1, 1), þc = (1, 3, 0). Oblicz:
a) iloczyn skalarny þa · þb,
b) długość wektora c = |þc | =
√
√
þc · þc = þc 2 ,
c) kąt zawarty pomiędzy wektorami þb i þc,
d) þa + þb − þc,
e) (þa · þc)þb − (þa · þb)þc,
f) iloczyn wektorowy þa × þb,
g) iloczyn mieszany (þb × þc) · þa, oraz (þa × þb) · þc
h) rzut wektora þb na kierunek wektora þc,
i) þa · (þb × þa),
j) wektor jednostkowy normalny (tzn. prostopadły) do płaszczyzny w której leżą wektory þa i
þb.
W każdym przypadku podaj czy wynik jest skalarem, wektorem, czy czymś innym.
1.3
wersory kartezjańskie i iloczyny wektorów
Przez x̂ oznaczany jest wersor (wektor jednostkowy) w kartezjańskim układzie współrzędnych w
kierunku osi x. Analogiczna jest definicja ŷ oraz ẑ. Każdy wektor þa można zapisać poprzez jego
składowe i wersory jako þa = ax x̂ + ay ŷ + az ẑ.
a) Wersory są znormalizowane, tzn.
x̂ · x̂ = ŷ · ŷ = ẑ · ẑ = 1,
oraz ortogonalne, tzn.
x̂ · ŷ = ŷ · ẑ = ẑ · x̂ = 0.
Korzystając z tego uzasadnij sposób obliczania iloczynu skalarnego w poprzednim zadaniu.
b) Policz x̂ × ŷ. Narysuj kartezjański układ współrzędnych (x, y, z) i sprawdź czy zwrot otrzymanego wersora ẑ jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej dla mnożenia wektorowego.
Policz pozostałe iloczyny wektorowe dla par wersorów.
c) Uzasadnij sposób obliczania iloczynu wektorowego w poprzednim zadaniu.
Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
2
Uwaga:
W podręcznikach używane są różne notacje wektorów i wersorów:
x + ayŷy + azẑz (Kittel, Mechanika, Taylor, Mechanika klasyczna),
a = axx̂
þa = ax î + ay ĵ + az k̂ (Resnick&Halliday, Kleppner&Kolenkow, Young&Freedman),
a = axi + ayj + azk (Feynman, Lectures on Physics),
þa = ax iþx + ay iþy + az iþz (wykład A.M.)
1.4
kąty w tetraedrze
Molekuła metanu CH4 ma symetrię tetraedryczną, jak na rysunku. Jaki jest kąt H–C–H?
Wskazówka: Taką molekułę można wpisać w sześcian tak, że atomy wodoru są w czterech spośród
ośmiu wierzchołków sześcianu, a atom węgla w środku. Można przyjąć układ współrzędnych tak,
żeby węgiel był w punkcie (0, 0, 0), a wodory były w punktach (±1, ±1, ±1) i policzyć odpowiedni
iloczyn skalarny.
1.5
pochodne funkcji
Notacja: c – stała, f = f (x), g = g(x) – funkcje zmiennej x. Poprzez znak ′ oznacza się pochodną,
gdy są funkcje jednej zmiennej i jest oczywiste po której zmiennej liczy się pochodną.
f′ ≡
d
df
df
f (x) ≡
(x) ≡
≡ ∂x f
dx
dx
dx
Korzystając z podstawowych reguł różniczkowania
d
d
(c · f ) = c · f
dx
dx
mnożenie przez stałą,
d
d
d
(f + g) =
f+ g
pochodna sumy,
dx
dx
dx
df
dg
d
f (g(x)) = (g(x)) · (x)
pochodna funkcji złożonej,
dx
dg
dx
d
d
d
(f · g) =
f ·g+f g
dx
dx
dx
A B′
f
g
df
=
dx
A
dx
df
B−1
=
f ′g − f g′
g2
pochodna iloczynu,
pochodna ilorazu,
pochodna funkcji odwrotnej f = f (x), x = x(f ),
oraz kilku wzorów na pochodne elementarnych funkcji
d a
(x ) = axa−1
dx
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x
dx
Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
3
d
1
d x
ln x = ,
e = ex
dx
x
dx
wylicz pochodne następujących funkcji po zmiennej x
√
x,
1
,
x
(1 + 2x2 )3 ,
tan x,
xeiax ,
1
,
A sin(þkþr) = A sin(kx x + ky y + kz z).
r
Dla osób które czują potrzebę poćwiczenia liczenia pochodnych: Policz drugie pochodne powyższych funkcji, jako pochodną pierwszej pochodnej
r=
ñ
x2 + y 2 + z 2 ,
d
d2 f
≡
2
dx
dx
A
B
d
f .
dx
Dla wszystkich: Pochodne po czasie t czasem oznacza się kropkami np. dla y = y(t),
ẏ ≡
d
y,
dt
ÿ ≡
d2 y
.
dt2
Policz pierwsze i drugie pochodne po zmiennej t dla następujących funkcji
y = x2 ,
y = x2 ,
x = const,
x = x(t),
s = at2 /2 + v0 t + x0 ,
þr = (x(t), y(t), z(t)),
z = A sin(ωt),
u = exp(iþkþr − iωt).
1.6
biegunowy układ współrzędnych
Niektóre problemy wygodnie opisuje się w biegunowym układzie współrzędnych, jak na rysunku
poniżej. Znajdź związki pomiędzy współrzędnymi w układzie kartezjańskim (x, y), a współrzędnymi w układzie biegunowym (r, θ).
1.7
obrót układu współrzędnych
Wektor Fþ ma współrzędne (Fx , Fy ). Jeżeli inaczej przyjmiemy układ odniesienia, to współrzędne
tego samego wektora będą inne. Jakie będą współrzędne wektora Fþ w układzie (x′ , y ′ ) obróconym
o kąt θ = π/6, jak na rysunku? Żeby to policzyć można zapisać współrzędne wersorów x̂′ , ŷ ′ w
układzie (x, y), a następnie zrzutować wektor Fþ na te wersory, żeby otrzymać (Fx′ , Fy′ ).
Mechanika MT, ćwiczenia, Michał Rams, IF UJ, 2016/17
1.8
4
iloczyn skalarny jako niezmiennik przy obrotach
Iloczyn skalarny dwu wektorów þa i þb liczony jest jako
þa · þb = ax bx + ay by + az bz .
Jeżeli obrócimy układ odniesienia tak jak w poprzednim zadaniu, to współrzędne wektorów będą
inne i iloczyn skalarny powinien być liczony jako
þa · þb = ax′ bx′ + ay′ by′ + az′ bz′
Czy zmieni to wartość iloczynu skalarnego?
1.9
dla znudzonych powtórką z matematyki
Policz ile jest molekuł w ziemskiej atmosferze.