Autoreferat rozprawy habilitacyjnej

Wrocław, 5 lipca 2011r.
Paweł Sztonyk
Instytut Matematyki i Informatyki
Politechniki Wrocławskiej
Autoreferat rozprawy habilitacyjnej
”Własności funkcji harmonicznych i gęstości
prawdopodobieństw przejścia dla procesów skokowych”
W skład rozprawy habilitacyjnej wchodzą cztery prace:
[ PS1 ] Estimates of the potential kernel and Harnack’s inequality for the
anisotropic fractional Laplacian, Studia Math. 181 (2007), No. 2, 101123 (praca wspólna z K. Bogdanem).
[ PS2 ] Regularity of harmonic functions for anisotropic fractional Laplacians,
Math. Nachr. 283 (2010), No. 2, 289-311.
[ PS3 ] Approximation of stable-dominated semigroups, Potential Anal. 33(3)
(2010), 211-226.
[ PS4 ] Transition density estimates for jump Lévy processes, Stochastic Process. Appl. 121 (2011), 1245-1265.
Spis treści:
1. Teoria potencjału dla anizotropowego ułamkowego laplasjanu
2. Oszacowania gęstości przejścia procesów skokowych
3. Dorobek naukowy nie wchodzący w skład rozprawy habilitacyjnej
4. Bibliografia
1
1
1.1
Teoria potencjału dla
ułamkowego laplasjanu
anizotropowego
Wstęp
Niech d ∈ N, α ∈ (0, 2), oraz µ będzie skończoną, symetryczną miarą na
sferze jednostkowej S w Rd . Rozważmy miarę Lévy’ego ν daną wzorem
ν(D) =
Z Z ∞
S
0
1D (rξ) r−1−α drµ(dξ) ,
D ⊂ Rd .
(1)
W pierwszych dwóch omawianych pracach rozważamy operator
Aϕ(x) =
Z ϕ(x + y) − ϕ(x) − y · ∇ϕ(x) 1|y|<1 ν(dy)
Rd
=
lim
Z
ε→0+
(ϕ(x + y) − ϕ(x)) ν(dy),
ϕ ∈ Cc∞ (Rd ) .
|y|>ε
Z charakteryzacji podanej przez Ph. Courrég, ([26, Proposition 2.10] lub [29,
Chapter 4.5]) oraz wyników zawartych w [29, str. 251] i [26, Corollary 2.14]
wynika, że operatory tej postaci są jedynymi symetrycznymi, niezmienniczymi na przesunięcia i nielokalnymi operatorami zdefiniowanymi na Cc∞ (Rd ),
które są jednorodne: A(ϕr ) = r−α (Aϕ)r , gdzie fr (y) = f (y/r), oraz spełniają
zasadę maksimum:
Jeżeli
sup ϕ(y) = ϕ(x) > 0,
y∈Rd
to Aϕ(x) 6 0 .
Zasada maksimum oraz niezmienniczość na przesunięcia dla operatorów
zdefiniowanych na Cc∞ (Rd ) gwarantują istnienie splotowej półgrupy miar probabilistycznych {Pt , t > 0}, której generatorem jest domknięcie operatora A
(zobacz np. [29, Rozdział 3]). Ze względu na jednorodność tę półgrupę nazywamy stabilną półgrupą miar.
Szczegółowa konstrukcja półgrupy {Pt , t > 0} przedstawiona jest w pracy
[PS4, Rozdział 2]. Mianowicie, półgrupę można otrzymać przez przejście
graniczne dla eksponent splotowych (skończonych) miar t(ν − δ0 |ν |), gdzie
ν = 1B(0,)c ν.
2
Funkcja chrakterystyczna miary Pt dana jest wzorem F(Pt )(ξ) =
exp(−tΦ(ξ)), gdzie
Φ(ξ) = −
= −
Z Z
eiξy − 1 − iξ · y1B(0,1) (y) ν(dy)
Z
π
|ξ · θ|α µ(dθ) .
(cos(ξ · y) − 1) ν(dy) =
πα
2 sin 2 Γ(1 + α) S
Stąd łatwo wynika własność skalowania:
Pt (A/r) = Prα t (A) ,
r > 0, t > 0.
(2)
Jeżeli tylko miara spektralna µ jest niezdegenerowana, tzn. jej nośnik nie zawiera się w żadnej właściwej podprzestrzni liniowej Rd , to |Φ(ξ)| > c|ξ|α ,
a stąd wynika istnienie gładkiej funkcji gęstości pt (x), t > 0, dla której własność skalowania można wyrazić wzorem
pt (x) = t−d/α p1 (t−1/α x),
t > 0, x ∈ Rd .
(3)
Stabilna półgrupa miar w sposób jednoznaczny wyznacza α–stabilny proces Lévy’ego {Xt , t > 0}, poprzez prawdopodobieństwa przejścia dane wzorem Pt (x, A) = Pt (A − x). Wprowadzenie procesu {Xt , t > 0} pozwala na
wygodne zdefiniowanie funkcji harmonicznych względem generatora A oraz
badanie ich własności przy użyciu pojęć i narzędzi rachunku prawdopodobieństwa.
Jako reprezentatywny przykład półgrup stabilnych rozważmy półgrupę
izotropową (niezmienniczą na obroty) α-stabilną {P̃t , t > 0} w Rd , dla której
F(P̃t )(ξ) = exp(−t|ξ|α ) ,
t > 0, ξ ∈ Rd ,
oraz odpowiadający jej izotropowy proces {X̃t , t > 0}. W przypadku procesu {X̃t , t > 0} znanych jest wiele jawnych wzorów, które nie są dostępne
w ogólnej teorii. Znana jest na przykład postać jądra potencjału (dla α < d):
K̃(y) = cd,α |y|α−d ,
y ∈ Rd ,
gdzie cd,α > 0. Ponadto podstawowe własności nieujemnych funkcji α harmonicznych, m.in. nierówność Harnacka i gładkość na obszarze α harmoniczności, wynikają z jawnej postaci funkcji gęstości miary α harmonicznej (tzw. jądra Poissona) dla kuli B(0, r) = {x ∈ Rd : |x| < r}:
"
P̃r (x, y) =
Cαd
r2 − |x|2
|y|2 − r2
#α/2
|y − x|−d
3
dla |y| > r,
(4)
gdzie Cαd = Γ(d/2)π −d/2−1 sin(πα/2) oraz x ∈ B(0, r) jest punktem startu
procesu ([7], zob. też [49, 50] oraz [22]). Teoria potencjału dla izotropowych
procesów stabilnych była w ostatnich latach intensywnie badana (np. [2, 19,
20, 35, 58, 8])
Dla α = 1, {X̃t , t > 0} jest procesem Cauchy’ego o gęstości prawdopodobieństa przejścia
pt (x) = cd
(|x|2
t
,
+ t2 )(d+1)/2
x ∈ Rd , t > 0 .
(5)
Ogólnie, dla stabilnych procesów izotropowych mamy ([6])
C −1 t−d/α (1 + t−1/α |x|)−d−α 6 pt (x) 6 Ct−d/α (1 + t−1/α |x|)−d−α ,
x ∈ Rd ,
(6)
dla każdego α ∈ (0, 2) i pewnej stałej C = C(d, α).
Dla procesów stabilnych symetrycznych ale nieizotropowych, brak jawnych oszacowań i wzorów powoduje, że konieczne staje się znalezienie nowych metod badania teorii potencjału tych procesów. Anizotropowość może
również powodować, że własności funkcji harmonicznych różnią się istotnie
od przypadku procesu {X̃t , t > 0}. Na przykład dowód nierówności Harnacka dla funkcji nieujemnych harmonicznych, która dla procesów izotropowych
łatwo wynika ze wzoru (4), sprawia tutaj poważne trudności. Co więcej, ta
nierówność nie zachodzi dla pewnych procesów z omawianej klasy.
W dalszym ciągu przedyskutowane zostaną główne wyniki prac [PS1]
i [PS2].
1.2
Jądro potencjału
Miarą potencjału dla półgrupy {Pt , t > 0} jest
V(D) =
Z ∞
0
Pt (D) dt,
D ⊂ Rd .
Z własności skalowania (3) łatwo wynika, że miara potencjału jest skończona
na zbiorach ograniczonych, o ile tylko d > α (proces stabilny jest w tym
przypadku tranzytywny). Funkcję
V (x) =
Z ∞
0
pt (x) dt,
4
x ∈ Rd ,
(7)
nazywamy jądrem potencjału. Mamy oczywiście
V(D) =
Z
V (x) dx,
D
D ⊂ Rd .
Z własności skalowania wynika również, że
V (x) = |x|α−d V (x/|x|) ,
x 6= 0 .
(8)
Zauważmy, że mimo iż miara V jest skończona na zbiorach ograniczonych
dla d > α, to jednak jądro potencjału może byc nieskończone na pewnych
prostych.
Rozpatrzmy dla przykładu miarę spektralną µ postaci
µ=
d
X
(δei + δ−ei ),
i=1
gdzie {ei }di=1 jest standardową bazą w Rd . Wówczas odpowiadające jej gęstości dane są w postaci iloczynu
pt (x) = p̂t (x1 )p̂t (x2 )...p̂t (xd ) ,
x = (x1 , x2 , . . . , xd ) .
(9)
p̂t (·) oznacza tutaj gęstość 1-wymiarowego symetryczengo rozkładu αstabilnego. Mamy p̂t (0) = const. t−1/α . Jest też dobrze znanym faktem
(zob. np. [46], [6]), że granica limr→∞ r1+α p̂1 (r) jest skończona i dodatnia. Stąd i z własności skalowania otrzymujemy oszacowanie pt (rei ) >
ct−d/α (t−1/α r)−1−α dla odpowiednio małych t > 0. W szczególności dla
α 6 (d − 1)/2 mamy V (x) = ∞ dla, np., x = re1 , gdzie r > 0.
Z drugiej strony, z własności skalowania i z faktu, że pt (x) > 0 dla wszystkich x ∈ Rd , t > 0 (zobacz np. [45] lub [62]) wynika łatwo, że
V (x) > c|x|α−d ,
x ∈ Rd ,
dla pewnej stałej c, zależnej tylko od α i miary µ. Celem rozważań trzeciego
rozdziału pracy [PS1] jest otrzymanie analogicznego oszacowania z góry przy
odpowiednich warunkach na miarę Lévy’ego ν.
W tym celu wprowadzamy odpowiednią skalę regularności dla miary ν.
Definicja 1. Mówimy, że ν jest γ-miarą na S, jeżeli
ν(B(x, r)) 6 crγ ,
|x| = 1 , 0 < r < 1/2 .
5
(10)
Ponieważ ν(drdθ) = r−1−α drµ(dθ), więc ν jest co najmniej 1-miarą i co
najwyżej d-miarą na sferze S, przy czym ν jest d-miarą wtedy i tylko wtedy, gdy jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a i jej gęstość jest
lokalnie ograniczona na Rd \ {0}.
Ze względu na to, że jądro potencjału dane jest wzorem (7), droga do jego
oszacowań z góry wiedzie przez odpowiednie oszacowania miar Pt . Głównym
technicznym wynikiem tej części pracy są następujace lematy.
Niech ν̂ε = 1B(0,ε)c ν. Oznaczmy ν̂εn = (ν̂ε )∗n .
Lemat 1. ([PS1, Lemma 1])
Załóżmy, że ν jest γ-miarą na S. Istnieje stała C = C(α, µ) taka, że dla
ε > 0, n = 1, 2, . . ., i 0 < r < max(ε/3, 1/5n ) mamy
ν̂εn (B(x, r)) 6 C n rγ ε−(n−1)α ,
|x| = 1 .
Lemat 2. ([PS1, Lemma 6])
Jeżeli ν jest γ-miarą na S, to
P1 (B(z, ρ)) 6 C|z|−α−γ ρd
dla z ∈ Rd oraz 0 < ρ 6 1.
Z własności skalowania (2) otrzymujemy nastepujący wniosek.
Wniosek 3. ([PS1, Corollary 8])
Jeżeli ν jest γ-miarą na S, to
Pt (B(x, ρ)) 6 Ct1+
γ−d
α
ρd ,
dla |x| = 1, t > 0, oraz 0 6 ρ 6 t1/α .
Wynik ten został osiągnięty poprzez podział miary stabilnej Pt na dwie
części, których splot daje Pt : część generowaną przez ν̂t1/α oraz generowaną przez ν − ν̂t1/α . Dla tej pierwszej części odpowiedni rezultat otrzymujemy przez indukcyjne szacowanie splotowych potęg jej (ograniczonej) miary
Lévy’ego (Lemat 1), a drugą część badamy poprzez analizę jej funkcji charakterystycznej. Zauważmy, że z Lematu 2 można też otrzymać oszacowania
z góry dla gęstości prawdopodobieństw przejścia. Te oszacowania szczegółowo
omówimy poniżej w Rozdziale 2.
W pracy [63], za pomocą innych metod, otrzymano niezależnie podobne oszacowania gęstości prawdopodobieństw przejścia procesów stabilnych
6
(patrz Rozdział 2.4). Korzystając z nich też można otrzymać zawarte tutaj
własności jądra potencjału.
Korzystając z powyższych lematów i wzoru (7) otrzymujemy główny wynik tej części pracy.
Twierdzenie 1. ([PS1, Theorem 1])
Jeżeli d > α oraz ν jest γ-miarą na S, gdzie γ > d − 2α, to V jest funkcją
ograniczoną i ciągłą na S.
Bezpośrednim wnioskiem z Twierdzenia 1 oraz (8) jest oszacowanie
c−1 |x|α−d 6 V (x) 6 c|x|α−d ,
x ∈ Rd \ {0},
dla pewnej stałej c.
Analizując własności generatora A półgrupy stabilnej, który dlaRfunkcji
próbkowych jest operatorem odwrotnym do operatora −Vf (x) = − f (x −
y)V(dy) ([PS1, Lemma 9]), dowodzimy również, że próg d−2α jest dokładny.
Twierdzenie 2. ([PS1, Theorem 2])
Jeżeli V jest κ-miarą na S, to ν jest (κ − 2α)-miarą na S. W szczególności,
jeżeli V jest ograniczona na S, to ν jest (d − 2α)-miarą na S.
1.3
Nierówność Harnacka
Funkcje harmoniczne na obszarze D ⊂ Rd względem operatora A oraz
odpowiadającego mu procesu {Xt , t > 0} definiujemy za pomocą własności
średniej względem rodziny miar harmonicznych
ωUx (A) = P x (XτU ∈ A),
(11)
dla wszystkich warunkowo zwartych podobszarów U ⊂ D. Tutaj τU jest
czasem pierwszego wyjścia Xt z U :
τU = inf{t > 0 : Xt ∈
/ U }.
Definicja 2. Borelowska funkcja u, określona w Rd , jest harmoniczna na
zbiorze otwartym D ⊂ Rd , gdy
u(x) = E x u(XτU ) , x ∈ U,
dla każdego ograniczonego zbioru otwartego U takiego, że U ⊂ D.
Funkcja u jest regularnie harmoniczna na D, gdy
u(x) = E x u(XτD ) =
Z
Dc
7
x
u(y)ωD
(dy), x ∈ D.
Ważnymi przykładami funkcji harmonicznych są jądro potencjału V (x)
oraz funkcja Greena (patrz np. [PS2, Section 2]). Ponadto, jeżeli funkcja
ϕ należy do dziedziny generatora A0 , który jest domknięciem operatora A,
oraz A0 ϕ(x) = 0 dla x ∈ D, to ϕ jest funkcją harmoniczną na D. Wynika to
z faktu, że
Z
t
ϕ(Xt ) − ϕ(x) −
0
A0 ϕ(Xs ) ds,
jest martyngałem względem P x (patrz np. [21]).
Głównym wynikiem [PS1] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 3. ([PS1, Theorem 3])
Istnieje stała C taka, że dla każdej nieujemnej funkcji u, która jest harmoniczna w kuli jednostkowej B(0, 1) nierówność Harnacka:
u(x1 ) 6 Cu(x2 ) ,
x1 , x2 ∈ B(0, 1/2) ,
(12)
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała K taka, że
Z
|y − v|α−d ν(dv) 6 Kν(B(y, 1/2))dv,
y ∈ Rd .
(13)
B(y,1/2)
Warunek (13) nazywamy relatywnym warunkiem Kato. Z własności skalowania procesu oraz jego przestrzennej jednorodności wynika, że prawdziwość nierówności Harnacka na kuli jednostkowej pociąga jej prawdziwość na
wszystkich kulach w Rd .
W świetle warunku (13) oraz Twierdzenia 4 i wzoru (15) poniżej, nierówność (12) można uważać za efekt uśredniania związany z tym, że odpowiadający proces Lévy’ego odwiedza z dodatnim prawdopodobieństwem zbiory
o dodatniej mierze Lebesgue’a niezależnie od położenia punktu startu. Takie
zachowanie procesu wymaga pewnej regularności i niezdegenerowania miary
Lévy’ego, które są zagwarantowane przez relatywny warunek Kato.
Pierwsze dowody nierówności Harnacka dla nieizotropowych procesów
stabilnych zostały uzyskane w pracach [11], [5] oraz [13]. Zauważmy, że
w tych, jak i innych najnowszych pracach na ten temat: [11, 5, 57, 60, 3],
zawsze zakłada się, że intensywność νx (dy) skoków procesu z x do dy ma
gęstość względem miary Lebesgue’a, która jest lokalnie ograniczona z dołu
przez c|y − x|−d−β dy, gdzie 0 < β < 2. To założenie jest tu zastąpione przez
charakteryzację (13).
8
Dla kompletności opisu wspomnijmy, że wcześniejsza praca [11] koncentruje się na brzegowej zasadzie Harnacka dla obszarów Lipschitza, a nasze
zainteresowanie zwykłą nierównością Harnacka wywołała dopiero praca [5].
Podobna metoda została też użyta w pracach [10, 12] dla dowodu nierówności Harnacka dla procesu stabilnego na fraktalach, takich jak dywan czy
trójkąt Sierpińskiego.
Nasze rozważania w [PS1] oparte są na analizie funkcji nadharmonicznych i zasadzie maksimum. Rozwijamy tutaj metodologię używaną wcześniej
w pracy [13]. Niech s(v) = E v τB(0,1) będzie czasem wyjścia procesu z kuli
jednostkowej. Ponadto,
GD (x, v) = V (x, v) − E x V (XτD , v) = V (x, v) −
Z
Dc
x
(dz) ,
V (z, v) ωD
(14)
gdzie V (x, v) = V (v − x), jest funkcją Greena obszaru D. Ważnym technicznym wynikiem pracy jest następujące oszacowanie funkcji Greena G dla kuli
jednostkowej B (zasugerowane przez [30]).
Twierdzenie 4. ([PS1, Proposition 1])
G(x, v) ≈ s(v)|v − x|α−d dla |x| < 1/2, v ∈ B.
Poza przypadkiem izotropowym (patrz (4)) nie znamy dokładnego wzoru
na jądro Poissona dla kuli. Jego zamiennikiem jest wzór Ikedy–Watanabe
([28]),
Z
PB (x, y) =
G(x, y − z)ν(dz) ,
x∈B.
(15)
y−B
Ponieważ ωBx (∂B) = 0 (patrz [59]), więc z [28] wynika, że
h(x) =
Z
Bc
h(y)PB (x, y)dy,
x ∈ B,
dla funkcji regularnie harmonicznej w B. Dlatego nierówność Harnacka wystarczy badać dla funkcji x → PB (x, y), dla której używamy Twierdzenia 4
oraz (13) i (15). W najogólniejszym zarysie, jest to dowód Twierdzenia 3.
Warto dokonać tu pewnego porównania. Symetryczny operator eliptyczny drugiego rzędu w Rd jest liniową transformacją laplasjanu. Natomiast
mechanizm skoków dany przez miarę Lévy’ego ν powyżej jest na ogół zupełnie różny od mechanizmu skoków ν̃(dy) = c|y|−d−α dy procesu izotropowego.
Rozważmy dwa przykłady na R2 . Niech ν1 będzie zdefiniowana przez
ν1 (dy) = |y|−2−α 1{y1 y2 >0} dy ,
9
i niech ν2 będzie produktem we współrzędnych biegunowych miary
µ2 = δ(1,0) + δ(−1,0) + δ(0,1) + δ(0,−1)
na sferze jednostkowej {|ξ| = 1} ⊂ R2 , i miary r−1−α dr wzdłuż promieni. Żaden z odpowiadających procesów nie skacze do {y = (y1 , y2 ) ∈ R2 :
y1 > 1 , y2 < −1} w momencie pierwszego wyjścia z B(0, 1). To kontrastuje
mocno z przypadkiem izotropowym. Warto zauważyć, że, w miary ν1 oraz ν̃
implikują nierówność Harnacka, ale nie zachodzi ona dla miary ν2 , gdy α 6 1.
Relatywny warunek Kato (13) jest spełniony przez każdą miarę ν, o ile
tylko d − 1 < α ([PS1, Corollary 19]). Ponadto, jeżeli ν jest γ-miarą w sensie
Definicji 1, gdzie γ > d − α, oraz
ν(B(x, r)) > rγ ,
dla
x ∈ supp ν , |x| = 1 , 0 < r < 1/2 ,
to relatywny warunek Kato jest spełniony ([PS1, Corollary 20]) i nierówność
Harnacka zachodzi. W szczególności miara ν2 pociąga nierówność Harnacka
dla α > 1, ale nie zachodzi ona dla ν2 w przypadku α 6 1.
Można podać przykład miary Lévy’ego, która jest absolutnie ciągła względem miary Lebesque’a na Rd \ {0}, a nawet jest d-miarą na S, dla której nie
zachodzi nierówność Harnacka. W tym celu rozważmy kule Bn ⊂ Bn0 o środkach na S, i promieniach, odpowiednio, 4−n i 2−n , i takie że {Bn0 } są parami
S
rozłączne. Niech C = n>n0 Bn oraz ν3 (dy) = 1C (y/|y|)|y|−d−α dy. Jeżeli
d − 1 > α, to relatywny warunek Kato nie zachodzi dla ν3 ([PS1], [13]).
1.4
Regularność jądra potencjału i funkcji harmonicznych
Badania teorii potencjału dla anizotropowego laplasjanu kontynuowane są
w pracy [PS2]. Pierwszym zagadnieniem w niej poruszonym jest regularność
jądra potencjału V . W przypadku niezmienniczym na obroty jądro potencjału dane jest wzorem Ṽ (x) = cd,α |x|α−d , jest zatem funkcją gładką na Rd \{0}.
Przypomnijmy, że w ogólnym przypadku mamy V (x) = |x|α−d V (x/|x|), ale
V może być nieskończone w niektórych kierunkach. Ponadto, V jest funkcją
ciągłą i lokalnie ograniczoną na Rd \ {0}, gdy miara Lévy’ego ν jest γ-miarą
na sferze S oraz 2α > d − γ.
Definiujemy κ0 = 2α − (d − γ).
10
Twierdzenie 5. ([PS2, Theorem 1.1])
Załóżmy, że κ0 > 0. Jądro potencjału V (x) należy do lokalnej przestrzeh
ni Höldera Cloc
(Rd \ {0}) dla każdego h < κ0 . Dla każdego multiindeksu β
takiego, że 0 6 |β| < κ0 istnieje stała c = c(β) taka, że
|Dβ V (x)| 6 c|x|α−d−|β| ,
|x| > 0.
κ0
Jeżeli κ0 6∈ N, to mamy również V ∈ Cloc
(Rd \ {0}).
h
Przynależność do przestrzeni Höldera Cloc
(D) oznacza, że pochodna rzędu
[h] jest funkcją hölderowsko ciągłą z wykładnikiem h − [h] na zbiorze D.
Szczegółowe definicje zawarte są w rozdziale 2. pracy [PS2].
W szczególności otrzymujemy tutaj różniczkowalność jądra potencjału
gdy κ0 > 1 (przy pewnym doborze α i d otrzymujemy nawet dwu lub trzykrotną różniczkowalność jądra potencjału).
Droga do dowodu Twierdzenia 5 wiedzie przez oszacowanie pochodnych
gęstości prawdopodobieństw przejścia zawarte w nastepującym lemacie.
Lemat 4. ([PS2, Lemma 3.1])
Jeżeli ν jest γ-miarą, to dla każdego β ∈ Nd0 istnieje stała c = c(β) taka, że
|Dβ p1 (y)| 6 c(1 + |y|)−α−γ ,
y ∈ Rd .
Nieco słabsze oszacowania pochodnych gęstości dane były wcześniej
w pracy [36] dla ogólnych procesów stabilnych, a dla przypadku izotropowego dokładne oszacowania podane są w pracy [9]. Ostatnio podobne wyniki
zostały również otrzymane dla szerszej klasy procesów w [53].
Ważnymi wnioskami z Twierdzenia 5 są wyniki dotyczące regularności
funkcji Greena i jądra Poissona kuli jednostkowej. Otrzymujemy je za pomocą
wzorów (14) i (15). Dla kazdego v ∈ B(0, 1) funkcja Greena GB (·, v) jest
funkcją hölderowską rzędu κ0 , a nawet funkcją różniczkowalną, jeżeli κ0 > 1
([PS2, Proposition 4.2]). Podobnie jądro Poissona, PB (·, z), jest, dla każdego
z ∈ B(0, 1)c hölderowskie z wykładnikiem κ1 = α − (d − γ) ([PS2, Lemma
5.2]). Zmiana wykładnika κ0 na mniejszy, κ1 = κ0 − α, wynika z obecności
funkcji Greena we wzorze Ikedy - Watanabe (15) i z nierówności GB (x, v) >
c|v − x|α−d .
Warto tutaj przypomnieć, że jądro potencjału oraz funkcja Greena są
ważnymi przykładami funkcji harmonicznych względem operatora A w sensie Definicji 2. Fakt ten pokazuje, że Definicja 2 stosuje się do szerszej klasy funkcji niż definicja harmoniczności wyrażona bezpośrednio w terminach
11
operatora A (Af (x) = 0 dla x ∈ D). Mianowicie jądro potencjału i funkcja
Greena mogą nawet być nieskończone na zbiorze harmoniczności. Głównym
wynikiem pracy [PS2] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 6. ([PS2, Theorem 1.2])
Jeżeli κ1 > 0, to istnieje stała ρ ∈ (0, κ1 ] taka, że każda funkcja u ograniczona na Rd i harmoniczna w B(0, 1) należy do lokalnej przestrzeni Höldera
ρ
Cloc
(B(0, 1)) oraz
kukC ρ (B(0,1−r)) 6 cr−ρ kuk∞ ,
r ∈ (0, 1/2].
Jeżeli κ1 6 α < 1, to możemy wziąć ρ = κ1 , a jeśli κ1 > 1, to ρ ∈ (1, κ1 ).
Zauważmy, że dla κ1 > 1 otrzymujemy różniczkowalność funkcji harmonicznych.
1.5
Omówienie innych prac związanych z tematem badań
Nierówność Harnacka dla operatorów całkowych postaci
Lf (x) =
Z
Rd \{0}
f (x + h) − f (x) − ∇f (x) · h1B(0,1) (h)
a(x, h)
dh,
|h|d+α
(16)
gdzie a(x, −h) = a(x, h) i a jest jednostajnie ograniczona z góry i z dołu przez
dodatnie stałe, została udowodniona najpierw w pracy R. Bassa i D. Levina
[5] oraz dla procesów Lévy’ego i α 6 1 w [11] (patrz też Rozdział 3). Metoda zastosowana w [5] była później wykorzystywana w kolejnych pracach,
w których stopniowo poszerzano klasę rozważanych procesów. I tak R. Bass
i M. Kassmann udowodnili w [3] nierówność Harnacka dla operatorów
Lf (x) =
gdzie
Z
Rd \{0}
f (x + h) − f (x) − ∇f (x) · h1B(0,1) (h) n(x, h) dh,
κ2
κ1
6 n(x, h) 6 d+β ,
d+α
|h|
|h|
(17)
x ∈ Rd , |h| 6 2
oraz 0 < α < β < 2 i β − α < 1. Kontynuacją tych badań była praca R. Songa i Z. Vondračka [57], w której podane zostały jeszcze ogólniejsze warunki,
przy których zachodzi nierówność Harnacka. A. Mimica w [41] otrzymał ją dla
12
procesów o mierze Lévy’ego postaci c|x|−d−α 1B(0,1) (x)dx+f (|x|)1B(0,1)c (x)dx,
gdzie 0 6 f (r) 6 cr−d−α dla r > 1. M. Rao, R. Song i Z. Vondraček uzyskali w [48] nierówność Harnacka dla procesów otrzymanych przez subordynację ruchu Browna przy odpowiednich założeniach na używany subordynator.
Autorzy wszystkich wspomnianych tutaj prac zakładają, że badany system
skoków ma gęstość względem miary Lebesquea.
Hölderowską ciągłość funkcji harmonicznych względem operatorów postaci (16) udowodniono po raz pierwszy również w pracy [5]. Później wyniki te
były stopniowo uzupełniane w pracach [3, 54, 1, 4].
W [42] A. Mimica otrzymuje zarówno nierówność Harnacka jak
i hölderowską ciągłość funkcji harmonicznych dla procesów Lévy’ego o funkcji
charakterystycznej
|ξ|2
− 1.
Φ(ξ) =
ln(1 + |ξ|2 )
Najnowszą z prac poświęconych tej tematyce jest [31]. M. Kassmann proponuje w niej nową (”słabą”) wersję nierówności Harnacka i udowadnia, że
pociąga ona hölderowska ciągłość funkcji harmonicznych.
2
2.1
Oszacowania gęstości przejścia procesów
skokowych
Wstęp
W przypadku izotropowego α– stabilnego procesu Lévy’ego prosty wzór
na gęstość prawdopodobieństw przejścia dany jest tylko w przypadku procesu
Cauchy’ego, czyli dla α = 1 (patrz (5)). Jednakże znane są dobrze dokładne
oszacowania gęstości dla każdego α ∈ (0, 2) (patrz (6)). Dla d = 1 zostały
one podane przez G. Polya w 1923 roku ([46]), a dla wszystkich wartości
wymiaru d w pracy R. Blumenthala i R. Getoora [6].
Pierwszy znany wynik dla ogólnych procesów stabilnych pochodzi z pracy
[47]. Dla procesu o mierze Lévy’ego danej wzorem (1) gęstości prawdopodobieństw przejścia spełniają
pt (x) 6 ct−d/α (1 + t−1/α |x|)−1−α ,
t > 0, x ∈ Rd .
Jest to oszacowanie słabsze niż (6), jednak w tak ogólnym przypadku nie
można go poprawić, co pokazuje powyżej przykład (9). Ponadto w pracach
13
[24, 25] S. Hiraba udowodnił, że jeżeli µ(θ0 ) > 0 dla pewnego θ0 ∈ S, to
pt (rθ0 ) > ct−d/α (1 + t−1/α r)−1−α dla wszystkich t, r > 0.
Przy dodatkowych założeniach na regularność miary spektralnej µ możemy oczekiwać dokładniejszych oszacowań. S. Głowacki i W. Hebisch udowodnili w pracy [23], że jeżeli µ jest absolutnie ciągła względem izotropowej
miary na sferze jednostkowej i jej gęstość jest ograniczona z góry, to
pt (x) 6 ct−d/α (1 + t−1/α |x|)−d−α ,
t > 0, x ∈ Rd ,
podobnie jak to jest w przypadku procesu izotropowego (tu jednak nie mamy
oszacowania z dołu).
Dokładniejsze wyniki dla procesów stabilnych można znaleźć w pracy
[63] i omawianej już powyżej [PS1]. W szczególności wnioskiem z Lematu 2
powyżej jest oszacowanie
pt (x) 6 ct−d/α (1 + t−1/α |x|)−γ−α ,
t > 0, x ∈ Rd ,
zachodzące dla każdej miary Lévy’ego ν, która jest γ– miarą na S (patrz
(10)).
W pracach [PS4] oraz [PS3] otrzymujemy oszacowania gęstości dla dużo
szerszej klasy procesów skokowych. Motywacją do wyjścia poza klasę procesów stabilnych była praca J. Rosińskiego [51], w której omówione zostały
tzw. procesy temperowane. Ze względu na to, że łączą one w sobie pewne cechy procesów skokowych oraz ruchu Browna (patrz np. [51, Theorem
3.1]), są często wykorzystywane w literaturze fizycznej oraz finansowej (np.
[38, 44, 34, 64, 14]). Obecnie prowadzone są szeroko zakrojone badania teorii
potencjału tych procesów. Pierwszym krokiem w tym kierunku są oszacowania gęstości prawdopodobieństw przejścia.
Procesy temperowane są jednym z przykładów procesów rozpatrywanych
w [PS4]. W odróżnieniu od przypadku stabilnego, nie dysponujemy tu własnością skalowania. Ponadto obecność funkcji temperującej zdecydowanie
zmienia asymptotykę miary Lévy’ego w nieskończoności. Powoduje to, że
konieczna staje się znacząca modyfikacja technik szacowania gęstości wprowadzonych w [PS1] i [PS2].
W pracy [PS3] rozpatrujemy mechanizm skoków, który nie jest niezmienniczy na przesunięcia. Odpowiedni proces stochastyczny nie jest wtedy już
procesem Lévy’ego lecz bardziej ogólnym procesem Markowa. Analiza jego
własności staje się dużo trudniejsza ze względu na brak bezpośrednich metod fourierowskich, które były ważne w poprzednich pracach. Nawet sam fakt
14
istnienia odpowiadających półgrupy i procesu nie jest tutaj oczywisty i nie
doczekał się jeszcze satysfakcjonującego rozwiązania.
2.2
Gęstości przejścia skokowych procesów Lévy’ego
Niech d ∈ {1, 2, . . . }, b ∈ Rd , i niech ν będzie miarą Lévy’ego na Rd , tzn.,
Z
Rd
1 ∧ |y|2 ν(dy) < ∞.
Warto zauważyć, że nie zakładamy już tutaj symetrii miary ν.
Rozważamy półgrupę miar probabilistycznych {Pt , t > 0} o funkcji charakterystycznej F(Pt )(ξ) = exp(−tΦ(ξ)), gdzie
Φ(ξ) = −
Z eiξ·y − 1 − iξ · y1B(0,1) (y) ν(dy) − iξ · b,
ξ ∈ Rd .
(18)
Głównym wynikiem pracy [PS4] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 7. ([PS4, Theorem 1])
Załóżmy, że ν jest miarą Lévy’ego taką, że
ν(A) 6
Z Z ∞
S
0
1A (sθ) s−1−α q(s) φ(s) dsµ(dθ),
A ∈ B(Rd ),
gdzie α ∈ (0, 2), µ jest ograniczoną, nieujemną miarą na sferze jednostkowej
S, oraz q : [0, ∞) → (0, ∞) jest funkcją ograniczoną i nierosnącą, taką, że
q(s) 6 κ1 q(2s),
s > 0,
(19)
dla pewnej dodatniej stałej κ1 , oraz φ : [0, ∞) → (0, ∞) jest ograniczoną
i nierosnacą funkcją spełniającą warunek
φ(s1 ) φ(s2 ) 6 κ2 φ(s1 + s2 ),
s1 , s2 > 0,
(20)
gdzie κ2 > 0.
Ponadto zakładamy, że istnieje stała β ∈ [α, 2] oraz stałe c1 , c2 > 0 takie,
że
Z r
φ(s)
ds 6 c1 r2−β , r > 1,
s1−α q(s)
φ(s/2)
0
oraz
Re(Φ(ξ)) > c2 |ξ|α ∧ |ξ|β , ξ ∈ Rd .
(21)
15
Niech µ będzie γ − 1-miarą na S dla pewnego γ ∈ [1, d], tzn.
µ(S ∩ B(θ, ρ)) 6 cργ−1 ,
θ ∈ S, ρ > 0.
(22)
Wtedy miary Pt są absolutnie ciągłe względem miary Lebesgue’a i ich
gęstości pt spełniają
n
γ
o
pt (x + tbt1/α ) 6 ct−d/α min 1, t1+ α |x|−γ−α q(|x|)φ (|x|/4) ,
dla t ∈ (0, 1], x ∈ Rd , oraz
n
γ
o
pt (x + tbt1/β ) 6 c1 t−d/β min 1, t1+ β |x|−γ−α q(|x|)φ (|x|/4)
−1/β |x| log(1+c
+ e−c2 t
−1/β |x|)
3t
,
dla t > 1, x ∈ Rd , gdzie
(
br =
b − r<|y|<1 y ν(dy)
R
b + 1<|y|<r y ν(dy)
R
dla
dla
r 6 1,
r > 1.
Zwróćmy uwagę, że (21) jest tutaj jedynym warunkiem, w którym potrzebne są pewne oszacowania z dołu na ν. Dla przykładu, jeżeli µ jest miarą
niezdegenerowaną, tzn. jej nośnik nie jest zawarty w żadnej liniowej podprzestrzeni Rd , oraz dla pewnej stałej r0 > 0 mamy
ν(dsdθ) > c1(0,r0 ] (s)s−1−α dsµ(dθ),
to Re(Φ(ξ)) > c (|ξ|α ∧ |ξ|2 ). Ponadto, jeżeli dla β ∈ [α, 2) zachodzi
h
i
ν(dsdθ) > c 1(0,r0 ] (s)s−1−α + 1(r0 ,∞) (s)s−1−β dsµ(dθ),
to Re(Φ(ξ)) > c |ξ|α ∧ |ξ|β . Warto dodać, że (21) gwarantuje w szczególności istnienie i gładkość gęstości pt (x),
ze względu na wzór na odwrotną
R −tΦ(ξ) −ix·ξ
−d
transformatę Fouriera pt (x) = (2π)
e
e
dξ.
Z kolei przykładami funkcji q, które spełniają warunek (19) są q(s) =
(1 + s)−a oraz q(s) = (log(e + s))a (1 + s)−ma , dla dowolnych a > 0, m > 1.
Jeżeli funkcja φ spełnia (20), to φ(s) > c1 e−c2 s ([52, Lemma 25.5]). Takimi
funkcjami są np. exp(−msa ), oraz 1/ logm (s + e), dla każdego m > 0 i 0 <
a 6 1. Zauważmy, że iloczyn dwóch funkcji spełniających (20) również spełnia
(20).
16
Twierdzenie 7 stosuje się na przykład do procesów stabilnych omówionych
już wyżej (patrz też rozdział 6.1 pracy [PS4]). Stosuje się ono również do tzw.
procesów warstwowych, badanych wcześniej w [27], czyli procesów o mierze
Lévy’ego
Z ∞Z
ν(A) =
1A (sθ) Q(θ, s) dsµ(dθ), A ⊂ Rd ,
(23)
S
0
gdzie
Q(θ, s) ≈ s−α−1 1(0,1] (s) + s−m−1 1(1,∞) (s),
oraz m > 2. Otrzymujemy dla nich następujące oszacowanie
Wniosek 5. ([PS4, Corollary 10])
Jeżeli ν jest dana przez (23), µ jest niezdegenerowana i spełnia (22) dla
pewnego γ ∈ [1, d], to
γ
n
o
pt (x + tbt1/α ) 6 ct−d/α min 1, t1+ α |x|−γ−α (1 + |x|)α−m ,
dla t ∈ (0, 1], x ∈ Rd , oraz
n
1+ γ2
pt (x + tb√t ) 6 c1 t−d/2 min 1, t
o
|x|−γ−α (1 + |x|)α−m + e
−c2 |x|
√
t
log 1+
c3 |x|
√
t
dla t > 1, x ∈ Rd .
Innym przykładem są, wspomniane już wcześniej, procesy temperowane,
dla których
ν(A) =
Z ∞Z
0
S
1A (sθ)s−1−α Q(θ, s) dsµ(dθ),
A ⊂ Rd ,
(24)
oraz Q(θ, s) ≈ e−cs .
Przyjmując q ≡ 1 i φ(s) = e−cs w Twierdzeniu 7 otrzymujemy kolejny
wynik.
Wniosek 6. ([PS4, Corollary 11])
Jeżeli ν jest dana przez (24), µ jest niezdegenerowana i spełnia (22) dla
pewnego γ ∈ [1, d], to
γ
n
o
pt (x + tbt1/α ) 6 c1 t−d/α min 1, t1+ α |x|−γ−α e−c2 |x| ,
dla t ∈ (0, 1], x ∈ Rd , oraz
pt (x +
tb√
t)
−d/2
6 c3 t
n
1+ γ2
min 1, t
−γ−α −c4 |x|
|x|
dla t > 1, x ∈ Rd .
17
e
o
+e
−c5 |x|
√
t
log 1+
c6 |x|
√
t
!
,
!
,
Wyniki pracy [PS4] są uzupełnieniem i rozwinięciem rezultatów otrzymanych wcześniej w [61]. Mianowicie oszacowania z góry zawarte w pracy
[61] stosowały się do przypadku symetrycznego i φ(s) = const., w szczególności nie pozwalały na badanie miary Lévy’ego o eksponencjalnej szybkości
zaniku w nieskończoności. Z drugiej strony [61] zawiera pewne oszacowania
od dołu, które pozwalają na dokładniejszy opis gęstości. Jeżeli zatem ν jest
miarą symetryczną,
ν(dx) ≈ |x|−d−α q(|x|)φ(|x|) dx,
x ∈ Rd \ {0},
a funkcje q i φ spełniają założenia Twierdzenia 7 z β = 2 , to z Twierdzenia
7 oraz z [61, Theorem2, Theorem 4] wynika oszacowanie
n
o
c1 min t−d/α , t|x|−d−α q(|x|)φ (2|x|) 6
n
o
pt (x) 6 c2 min t−d/α , t|x|−d−α q(|x|)φ (|x|/4) ,
(25)
dla t ∈ (0, 1], x ∈ Rd oraz
n
o
c3 min t−d/2 , t|x|−d−α q(|x|)φ (2|x|) 6
n
−d/2
pt (x) 6 c4 min t
−d−α
, t|x|
o
−d/2
q(|x|)φ (|x|/4) + t
e
−c5 |x|
√
t
(26)
log 1+
c6 |x|
√
t
!
,
dla t > 1, x ∈ Rd .
W drugim rozdziale [PS4] przywołujemy jeden z możliwych sposobów
konstrukcji splotowej półgrupy miar probabilistycznych o zadanej mierze
Lévy’ego ν. W tym celu używamy eksponenty splotowej miar ograniczonych
νρ,r = 1B(0,r)\B(0,ρ) (y)ν(dy), czyli miary
t(νρ,r −|νρ,r |δ0 )
e
=
∞ n
X
t (νρ,r
n=0
∞ n n∗
X
t νρ,r
− |νρ,r |δ0 )n∗
−t|νρ,r |
=e
.
n!
n=0 n!
(27)
Korzystajac z faktu, że
Z
2
|y|
Ptρ,r (dy)
=
d
X
k=1
"
∂2
− 2 F(Ptρ,r )(ξ)
∂ξk
#
=t
Z
|y|2 νρ,r (dy),
ξ=0
gdzie Ptρ,r = et(νρ,r −|νρ,r |δ0 ) ∗ δtaρ,r , oraz aρ,r = − B(0,1) y νρ,r (dy), możemy
udowodnić słabą zbieżność Ptρ,1 do pewnej miary granicznej Pt0,1 , gdy ρ →
R
18
0. Miary Pt = Pt0,1 ∗ Pt1,∞ ∗ δtb tworzą wówczas półgrupę splotową miar
probabilistycznych o funkcji charakterystycznej danej wzorem (18).
Taka konstrukcja półgrupy (a zatem i związanego z nią procesu Lévy’ego)
sugeruje pewien sposób dowodzenia oszacowań danych w Twierdzeniu 7. Jest
to mianowicie rozbicie miary ν na część o nośniku zawartym w B(0, h(t))
(”małe skoki”) i ograniczoną resztę (”duże skoki”), gdzie h(t) jest liczbą dodatnią odpowiednio dobraną do t. Otrzymujemy w ten sposób dwie miary
probabilistyczne generowane przez odpowiednie części miary Lévy’ego. Dla
tej pierwszej możemy wykorzystać analizę jej funkcji charakterystycznej inspirowaną wynikami zawartymi w Rozdziale 26 książki [52]. Drugą można
zapisać za pomocą eksponenty splotowej (analogicznie do (27)) i oszacować
kolejne potęgi splotowe obciętej miary Lévy’ego.
Realizując ten program, w trzecim rozdziale [PS4] rozważamy rozkłady
nieskończenie podzielne, których miara Lévy’ego ma nośnik zwarty. Głównym
wynikiem tej części pracy jest następujący lemat.
Lemat 7. ([PS4, Lemma 2])
Niech ν0 będzie miarą Lévy’ego o nośniku zwartym oraz π miarą probabilistyczną taką, że
F(π)(ξ) = exp
Z
iξ·y
(e
− 1 − iξ · y1B(0,1) (y)) ν0 (dy) ,
ξ ∈ Rd .
Załóżmy, że π ma ograniczoną gęstość p(x) oraz istnieją i są ograniczone jej
pochodne pierwszego rzędu. Wtedy istnieją stałe c1 , c2 , c3 , c4 takie, że
p(x) 6 c1 exp (−c2 |x| log(c3 |x|)) ,
dla |x| > c4 .
W [PS4, Lemma 2] opisujemy zależności stałych c1 , c2 , c3 , c4 od miary
ν0 , ze względu na ich późniejsze zastosowanie w procedurze rozbicia opisanej
powyżej.
Warto tutaj wspomnieć, że dokładne oszacowania gęstości rozkładów
o ograniczonym nośniku miary Lévy’ego w przypadku stabilnym (νx (dy) ≈
1B(0,1) (y)|y|−d−α dy) ukazały się niedawno w pracy [15].
W rozdziale czwartym podajemy oszacowania kolejnych splotowych potęg
miary ν̄r (dy) = νr,∞ (dy) = 1B(0,r)c (y) ν(dy).
Lemat 8. ([PS4, Corollary 4])
Istnieje stała c taka, że dla każdego x 6= 0, n ∈ N i ρ < 21 |x| mamy
ν̄rn∗ (B(x, ρ)) 6 cn (ψ(r))n−1 |x|−γ−α q(|x|)φ (|x|/4) ργ .
19
ψ(r) jest odpowiednio dobraną stałą zależną od r. Lemat ten stosujemy
do miar {P̄tr , t > 0} takich, że
Z
F(P̄tr )(ξ) = exp t (eiξ·y − 1) ν̄r (dy) ,
ξ ∈ Rd .
Zauważmy bowiem, że
P̄tr
=
Ptr,∞
∗ δ−tar,1 = exp(t(ν̄r − |ν̄r |δ0 )) =
∞ n
X
t (ν̄r
n=0
=
∞ n n∗
X
t ν̄r
e−t|ν̄r |
n=0
n!
,
− |ν̄r |δ0 ))n∗
n!
t > 0.
Otrzymujemy następujący wynik.
Lemat 9. ([PS4, Corollary 5])
Istnieje stała c taka, że
P̄tr (B(x, ρ)) 6 ctet(cψ(r)−|ν̄r |) |x|−γ−α q(|x|)φ (|x|/4) ργ ,
dla każdego x ∈ Rd \ {0} oraz ρ < 21 |x|.
W rozdziale 5 pracy [PS4] wykorzystujemy powyższe oszacowania do dowodu Twierdzenia 7. W tym celu należy odpowiednio dobrać poziom rozbicia
miary Lévy’ego na dwie części: h(t) = t1/α ∧ t1/β (wydaje się, że znalezienie odpowiedniej, ogólnej formuły dla h(t) może pozwolić w przyszłości na
zastosowanie tej metody do szerszej klasy procesów). W przypadku stabilnym własność skalowania umożliwiała ograniczenie rachunków do przypadku
t = 1. Tutaj jednak nie tylko nie możemy skorzystać z takiego uproszczenia, ale również pojawiają się istotne różnice między przypadkami małych
i dużych czasów t. Jak pokazują nierówności (25), (26) oraz wyniki pracy
[16] w przypadku t ∈ (0, 1] dla absoultnie ciągłych miar Lévy’ego uzyskane
oszacowania są optymalne, natomiast badanie zależności oszacowań od t dla
t > 1 nie jest jeszcze zamknięte.
Oszacowania gęstości dla podobnych klas procesów zostały w ostatnich
latach uzyskane również w pracach [17, 18, 16]. Zwłaszcza praca [16] zawiera dokładne obustronne oszacowania gęstości, jednak ogranicza się ona,
podobnie jak pozostałe tu wymienione, do przypadku absolutnie ciągłych
miar Lévy’ego o gęstościach ograniczonych od dołu przez pewne funkcje izotropowe (dokładniejszy opis zamieszczamy w Rozdziale 2.4).
20
2.3
Aproksymacja markowskich półgrup podstabilnych
W przypadku procesów Lévy’ego mechanizm skoków nie zależy od położenia procesu w danej chwili i jest on opisany przez miarę Lévy’ego ν.
Autorzy prac [17, 18, 16] rozpatrują również sytuację ogólniejszą, w której intensywność skoków zależy od aktualnego położenia. W pracy [PS3]
także zajmujemy się tym przypadkiem. Rozważamy intensywność skoków
f (x, y), która jest ograniczona z góry przez gęstość stabilnej miary Lévy’ego,
tj. przez c|y−x|−d−α (są to tzw. jądra podstabilne). W odróżnieniu od autorów
wspomnianych wyżej prac, nie przyjmujemy tu formy Dirichleta jako punktu
wyjścia. Zamiast tego rozważamy procesy o ograniczonych intensywnościach
skoków, które definiują prawdopodobieństwa przejścia procesu Markowa, a
następnie badamy proces graniczny na wzór wspomnianej powyżej konstrukcji półgrup splotowych.
Przyjmujemy następujące założenia o nieujemnej, borelowskiej funkcji f :
d
R × Rd 7→ [0, ∞].
(A.1) Istnieje stała M > 0 taka, że
f (x, y) 6
M
,
|y − x|α+d
x, y ∈ Rd , y 6= x.
(A.2) α < 1, lub f (x, x + h) = f (x, x − h) dla wszystkich x, h ∈ Rd .
(A.3) f (x, y) = f (y, x) dla wszystkich x, y ∈ Rd .
(A.4) Istnieje stała a > 0 taka, że
infd
Z
x∈R
|y−x|>ε
f (x, y) dy > aε−α ,
ε > 0.
Dla dyskusji wspomnianej powyżej procedury oznaczamy
bε (x) =
Z
f (x, y) dy,
|y−x|>ε
ε > 0, x ∈ Rd .
Z (A.1) wynika, że istnieje stała A > 0 taka, że
b̄ε := sup bε (x) 6 Aε−α ,
x∈Rd
21
ε > 0.
Zatem (A.4) jest częściowym odwróceniem (A.1) i otrzymujemy
bε := infd bε (x) > aε−α ,
ε > 0.
x∈R
Przy założeniach (A.1) i (A.2) rozważamy operator
Aϕ(x) = lim
Z
ε↓0
ϕ ∈ Cc2 (Rd ).
(ϕ(y) − ϕ(x)) f (x, y) dy,
|y−x|>ε
Zauważmy, że dla α < 1 mamy
Aϕ(x) =
Z
Rd
(ϕ(x + h) − ϕ(x)) f (x, x + h) dh,
podczas gdy dla α > 1 i f (x, x + h) = f (x, x − h) otrzymujemy
Aϕ(x) =
Z
Rd
ϕ(x + h) − ϕ(x) − h · ∇ϕ(x)1|h|<1 f (x, x + h) dh.
Dalej już zawsze zakładamy, że warunek (A.1) jest spełniony. Dla każdego
ε > 0 oznaczamy
fε (x, y) = 1B(0,ε)c (y − x)f (x, y),
oraz
Aε ϕ(x) =
Z
(ϕ(y) − ϕ(x)) fε (x, y) dy,
x, y ∈ Rd ,
ϕ ∈ Bb (Rd ).
Operatory Aε są ograniczone, ponieważ |Aε ϕ(x)| 6 2kϕk∞ bε (x) 6
2kϕk∞ b̄ε . Dlatego operator
∞ n n
X
t Aε
etAε =
n=0
n!
,
t > 0, ε > 0,
jest dobrze zdefiniowany i również ograniczony: Bb (Rd ) → Bb (Rd ). Dla każdego ε > 0 rodzina {etAε , t 6 0} jest półgrupą operatorów na Bb (Rd ), tzn.
e(t+s)Aε = etAε esAε dla wszystkich t, s > 0, ϕ ∈ Bb (Rd ). Tutaj Bb (Rd ) oznacza
zbiór funkcji borelowskich i ograniczonych na Rd .
Głównym wynikiem pracy [PS3] jest następujące twierdzenie.
Twierdzenie 8. ([PS3, Theorem 1])
Jeżeli warunki (A.1) – (A.4) są spełnione, to istnieje stała C taka, że dla
każdej funkcji nieujemnej ϕ ∈ Bb (Rd ) i ε > 0 mamy
tAε
e
ϕ(x) 6 C
Z
!
−d/α
ϕ(y) min t
t
,
dy + e−tbε (x) ϕ(x),
α+d
|y − x|
22
x ∈ Rd .
Dla funkcji ϕ ∈ Cc2 (Rd ) zachodzi zbieżność limε→0 kAϕ − Aε ϕk∞ = 0
([PS3, Lemma 12]), zatem Aε jest przybliżeniem A. Analogiczna zależność
zachodzi między odpowiednimi półgrupami, o ile wiemy, że operator A faktycznie jest generatorem pófgrupy fellerowskiej. Ponieważ w momencie powstawania pracy [PS3] nie były znane satysfakcjonujące warunki wystarczające na istnienie półgrup generowanych przez A, odnajdujemy w niej następujące dodatkowe założenia.
(A.5) Funkcja x → f (x, y) jest ciągła na Rd \ {y} dla każdego y ∈ Rd .
(A.6) Operator A na C∞ (Rd ) jest domykalny i jego domknięcie Ā jest
generatorem mocno ciągłej półgrupy operatorów {Pt , t > 0} na C∞ (Rd ).
Twierdzenie 9. ([PS3, Theorem 2])
Jeżeli zachodzą warunki (A.1)–(A.6), to istnieje funkcja p : (0, ∞) × Rd ×
Rd → [0, ∞) taka, że
Pt ϕ(x) =
Z
Rd
ϕ(y)p(t, x, y) dy,
oraz
x ∈ Rd , t > 0, ϕ ∈ C∞ (Rd ),
!
t
,
p(t, x, y) 6 C min t−d/α ,
|y − x|α+d
x, y ∈ Rd , t > 0,
dla pewnej stałej C > 0.
Dowód Twierdzenia 8 opiera się na spostrzeżeniu, że
etAε ϕ(x) = et(Γε −b̄ε I) ϕ(x) = e−tb̄ε etΓε ϕ(x),
gdzie
Γε ϕ(x) =
Z
ϕ(y)ν̃ε (x, dy),
ϕ ∈ Bb (Rd ), x ∈ Rd ,
oraz
ν̃ε (x, dy) = fε (x, y) dy + (b̄ε − bε (x))δx (dy).
Ponieważ Γε jest operatorem nieujemnym, to możliwe jest skuteczne szacowanie kolejnych jego potęg. Można je mianowicie wyrazić w postaci
Γnε ϕ(x) =
Z
ϕ(z)fn,ε (x, z) dz + b̄ε − bε (x)
23
n
ϕ(x),
ϕ ∈ Bb (Rd ),
gdzie fn,ε jest zdefiniowanym indukcyjnie jądrem:
fn+1,ε (x, y) =
Z
fn,ε (x, z)fε (z, y) dz
n
+ b̄ε − bε (y) fn,ε (x, y) + b̄ε − bε (x)
fε (x, y),
oraz f1,ε = fε .
Jądro fn+1,ε szacujemy indukcyjnie. Warto jeszcze wspomnieć, że kluczowym dla tego dowodu jest następujący lemat. Nierówność (28) można
interpretować jako podharmoniczność funkcji z → 1B(y,κ|y−x|) (z)|z − x|−α−d
w punkcie y względem wszystkich operatorów Aε .
Lemat 10. ([PS3, Lemma 4])
Jeżeli warunki (A.1), (A.2) i (A.4) są spełnione, to istnieje stała κ ∈ (0, 1)
taka, że
Z
|z − x|−α−d fε (y, z) dz 6 bε (y)|y − x|−α−d
(28)
B(y,κ|y−x|)
dla wszystkich x, y ∈ Rd , ε > 0.
Warto dodać, że wkrótce po przyjęciu do druku pracy [PS3] jej wyniki
zostały uzupełnione w [56]. W [56] zostało mianowicie dowiedzione, że (A.6)
wynika z warunków (A.1) - (A.5) (patrz Theorem 2.2, Theorem 3.3 i Proposition 4.5 w [56]). W świetle tych wyników można opuścić założenie (A.6)
w Twierdzeniu 9, które tutaj podaliśmy jeszcze wiernie w wersji z pracy
[PS3].
2.4
Omówienie innych prac związanych z tematem badań
T. Watanabe w [63] podał obustronne oszacowania stabilnych gęstości
przejścia. Mianowicie z [63, Theorem 1.1] wynika, że
p1 (x) 6 c(1 + |x|)−1−α µ∗ (1 + |x|),
x ∈ Rd ,
gdzie
µ∗ (r) = sup µ(B(θ, 1/r)).
θ∈S
Z drugiej strony
−1−α
p1 (rθ0 + y) > c(1 + r)
24
1
µ B(θ0 ,
) ,
1+r
dla odpowiednio małych y, przy odpowiednich założeniach na θ0 i miarę
spektralną µ.
Asymptotyczne własności gęstości dla stabilnych procesów Lévy’ego badał również A. Zaigraev w [65]. Otrzymał on rozwinięcia gęstości w szereg
przy założeniu, że miara spektralna µ jest absolutnie ciągła i jej gęstość jest
odpowiednio regularna.
Oszacowania gęstości dla szerszej niż stabilna klasy procesów są zawarte
w serii prac Z.-Q. Chena, P. Kima i T. Kumagai [17, 18, 16]. Rozważają oni
w [16] system skoków νx (dy) = J(x, y)dy taki, że J(x, y) jest symetryczna
oraz
c
c−1
6 J(x, y) 6
.
d
d
|x − y| φ1 (|x − y|)ψ1 (κ1 |x − y|)
|x − y| φ1 (|x − y|)ψ1 (κ2 |x − y|)
Funkcja ψ1 jest niemalejąca na [0, ∞) i taka, że ψ1 (r) = 1 dla 0 < r 6 1,
oraz
β
β
c1 eγ1 r 6 ψ1 (r) 6 c2 eγ2 r , 1 < r < ∞,
dla pewnych stałych γ2 > γ1 > 0 oraz β > 0. Funkcja φ1 jest rosnąca na
[0, ∞), φ1 (0) = 0, φ1 (1) = 1, oraz
c1
R
r
β1
φ1 (R)
R
6
6 c2
φ1 (r)
r
β2
,
0 < r < R < ∞,
dla pewnych stałych 0 < β1 6 β2 < 2. Ponadto zakłada się, że
Z r
0
s
r2
ds 6 c3
,
φ1 (s)
φ1 (r)
r > 0,
oraz J(x, y) 6 cr−d B(x,r) J(z, y) dz dla r 6 12 |x − y|. Punktem wyjścia jest
R
tutaj forma Dirichleta E(u, u) = Rd ×Rd (u(x) − u(y))2 J(x, y) dxdy, dla której, przy podanych wyżej założeniach, istnieje stowarzyszony z nią proces
fellerowski. W [16] dowodzi się, że istnieją dla niego ciągłe gęstości przejścia
p(t, x, y), takie, że
R
C
−1
t
1
∧
−1
d
d
φ (t)
|x − y| φ(c1 |x − y|)
!
!
1
t
6 p(t, x, y) 6 C
∧
,
−1
d
d
φ (t)
|x − y| φ(c2 |x − y|)
25
dla t ∈ (0, 1], 0 < β 6 1, gdzie φ = φ1 ψ1 . Podane są również odpowiednie
oszacowania dla wartości β > 1 oraz dużych czasów t.
A. Mimca w [43] otrzymuje oszacowania gęstości z góry dla procesu z systemem skoków νx (dy) = J(x, y)dy, gdzie J(x, y) jest symetryczna oraz
c−1
2
|x − y|d+2 ln |x−y|
1+β
6 J(x, y) 6
sup
x∈Rd
Z
|x−y|>1
c
2
|x − y|d+2 ln |x−y|
1+β ,
|x − y| 6 1,
J(x, y) dy 6 M,
dla pewnych stałych c, M > 0 oraz β ∈ (0, 1].
V. Knopova i R. Schilling otrzymują w [32] i [33] pewne oszacowania gęstości przy użyciu nierówności typu Nasha dla formy Dirichleta oraz metod
analizy zespolonej dla funkcji charakterystycznej badanego procesu Lévy’ego.
Uzyskują również warunki równoważne istnieniu różniczkowalnej gęstości
procesu.
3
Dorobek naukowy nie wchodzący w skład
rozprawy habilitacyjnej
Praca [59] dotyczy pewnych własności miar harmonicznych dla procesów
Lévy’ego w Rd . Miarą harmoniczną zbioru D ⊂ Rd jest rozkład procesu
zatrzymanego w momencie wyjścia z D (patrz (11)).
Trajektorie ruchu Browna w Rd są ciągłe, zatem w momencie wyjścia
z dowolnego zbioru z prawdopodobieństwem 1 znajduje się on na jego brzegu. Jednak w ogólnym przypadku trajektorie procesów Lévy’ego mają punkty
nieciągłości (skoki), mogą zatem, w momencie wyjścia ze zbioru, nie trafiać
w jego brzeg. Pojawia się tutaj naturalny problem nieciągłego wyjścia ze
x
zbioru: przy jakich warunkach dotyczących procesu i zbioru ωD
(∂D) = 0.
Szczegółowe rozwiązanie tego problemu na prostej możemy znaleźć w [39].
Analogiczne zagadnienie w przestrzeni Rd wymiaru d > 2 jest znacznie trudniejsze, ponieważ napotykamy na pewne problemy związane z geometrią zbiorów, które nie występują na prostej. Ciekawy przykład podał P.W. Millar
w [40]. Opisuje w nim proces Lévy’ego w R2 , który uderza w brzeg kwadratu jednostkowego w momencie wyjścia z tego kwadratu. Ten sam proces nie
uderza w brzeg kwadratu obróconego o dowolnie mały kąt. Z przykładu tego
26
wynika, że nawet drobna zmiana geometrii zbioru może wpłynąć na własność
nieciągłego wyjścia ze zbioru.
x
W pracy [59] uzupełniono wyniki [40] i udowodniono, że ωD
(∂D) = 0
dla każdego zbioru lipschitzowskiego D i procesu spełniającego odpowiednie
warunki (patrz [59, Theorem 1]).
Założenia dotyczące procesu podane w [59, Theorem 1] są spełnione między innymi przez procesy niezmiennicze na obroty bez składowej gaussowskiej i o nieskończonej masie miary Lévy’ego oraz procesy stabilne takie, że
ν(D) > 0 dla każdego zbioru D ⊂ Rd \ {0} o dodatniej mierze Lebesguea.
W pracach [11] i [60] rozpatrujemy procesy stabilne, dla których ν(dx) =
f (x/|x|)|x|−d−α dx oraz c−1 6 f (θ) 6 c dla pewnej stałej c > 0 i każdego θ ∈ S. W [11] stosując metodę regularyzacji jądra Poissona otrzymujemy
nierówność Harnacka, oszacowanie Carlesona i brzegową zasadę Harnacka dla
nieujemnych funkcji harmonicznych w przypadku α < 1. Wyniki te zostały
później uzupełnione w [60] o dowody tych twierdzeń
dlaα > 1 oraz o analizę
R
t
funkcjonału multiplikatywnego eq (t) = exp 0 q(Xs ) ds i związanych z nim
funkcji q - harmonicznych. Funkcją q-harmoniczną na otwartym zbiorze D
nazywamy taką funkcję u, że u(x) = E x [eq (τU )u(XτU )], dla każdego x ∈ U
i każdego ograniczonego zbioru otwartego U , takiego że Ū ⊂ D. W [60] otrzymujemy nierówność Harnacka dla funkcji q - harmonicznych oraz dowodzimy
ich ciągłość w obszarze harmoniczności.
Nierówność Harnacka jest też jednym z głównych wyników [12]. Praca ta
dotyczy procesów “stabilnych” na d-zbiorach (fraktalnych) F , tj. takich, że
c1 rd 6 m(B(x, r)) 6 c2 rd ,
x ∈ F, 0 < r 6 r0 ,
(29)
gdzie r0 jest średnicą F , B(x, r) oznacza kulę (euklidesową) o środku w x
i promieniu r a m jest miarą Haussdorffa rzędu d w Rn , n > d.
Procesy stabilne otrzymujemy tu przez podporządkowanie tzw. dyfuzji
słabo skalującej na F . Otrzymuje się ostre oszacowania dla prawdopodobieństwa przejścia procesu stabilnego [12, Theorem 3.1], czasu wyjścia z kul
[12, Proposition 4.4] i jądra potencjału [12, Lemma 5.3]. W konsekwencji
otrzymuje sie oszacowania z góry dla funkcji Greena i jądra Poissona kul
[12, Lemma 6.5], które pozwalają na procedurę regularyzacji jądra Poissona
w pewnym zakresie parametrów procesu i fraktala [12, Rozdział 5]. Geometria fraktalna stanowi tu znaczne utrudnienie.
W szczególnym przypadku trójkąta Sierpińskiego otrzymujemy nawet
brzegową zasadę Harnacka, ale ten wynik mocno zależy od prostej geometrii
tego zbioru.
27
Praca [10] anonsuje opisane powyżej wyniki.
W pracy [13] otrzymano opisaną już wyżej charakteryzację nierówności
Harnacka dla procesów stabilnych na Rd poprzez realtywny warunek Kato
przy założeniu, że miara Lévy’ego jest postaci ν(dx) = f (x/|x|)|x|−d−α dx
oraz f (θ) 6 M , θ ∈ S, dla pewnej stałej M > 0. W tym przypadku znane były
wcześniej oszacowania gęstości przejścia dane w pracy [23], które są jednym
z kluczowych faktów wykorzystywanych w dowodzie nierówności Harnacka
w [13]. Ich brak dla ogólnych stabilnych miar Lévy’ego był dla nas powodem
podjęcia tego tematu w [PS1].
Obustronne oszacowania gęstości prawdopodobieństw przejścia dla szerszej niż stabilna klasy procesów Lévy’ego otrzymaliśmy najpierw w pracy
[61]. Jej wyniki (w zakresie oszacowań z góry) zostały później poszerzone
w [PS4]. W [61] zakładamy, że miara Lévy’ego jest symetryczna, a oszacowania z góry wymagają również warunku podwajania funkcji ”temperującej”, zatem wykluczają jeszcze obecność funkcji znikającej eksponencjalnie
w nieskończoności.
Praca [53] dotyczy własności sprzęgania (coupling property) procesów stochastycznych. Sprzężeniem procesu Markowa (Xt )t>0 w Rd nazywamy proces
(Xt0 , Xt00 )t>0 o wartościach w R2d , gdzie zarówno (Xt0 )t>0 , jak i (Xt00 )t>0 są procesami Markowa o tych samych prawdopodobieństwach przejścia Pt (x, ·) co
proces (Xt )t>0 (mogą się natomiast różnić rozkładem początkowym). Procesy (Xt0 )t>0 i (Xt00 )t>0 nazywamy procesami brzegowymi procesu sprzężenia.
Czasem sprzęgania nazywamy T = inf{t > 0 : Xt0 = Xt00 }, a sprzężenie
(Xt0 , Xt00 )t>0 nazywamy udanym jeśli czas T jest prawie na pewno skończony. Jeżeli dla dowolnych dwóch rozkładów µ1 i µ2 istnieje udane sprzężenie
o procesach brzegowych z rozkładami początkowymi µ1 i µ2 odpowiednio, to
mówimy, że Xt ma własność sprzęgania. Jest ona równoważna warunkowi:
lim kPt (x, ·) − Pt (y, ·)kVar = 0,
t→∞
dla wszystkich x, y ∈ Rd (patrz [37] oraz [55, Theorem 4.1]). Sprzęganie jest
ważnym narzędziem w badaniu własności procesów Markowa. Na przykład,
z własności sprzęgania wynika własność Liouville’a, tzn. fakt, że każda ograniczona funkcja harmoniczna względem procesu na całym Rd jest funkcją
stałą. W pracy [53] otrzymujemy oszacowanie ([53, Theorem 1.1])
kPt (x, ·) − Pt (y, ·)kVar 6 c f −1 (1/t) ,
gdzie
Re Φ(ξ) f (|ξ|)
28
dla |ξ| → 0,
oraz f spełnia pewne dodatkowe założenia. W [53, Theorem 1.2] otrzymujemy
też oszacowania gradientowe półgrupy:
k∇Pt uk∞ ¬ c kuk∞ f −1 (1/t) ,
u ∈ Bb (Rd ),
przy odpowiednich założeniach na f , gdzie
∇u(x)
4
:= lim sup
y→x
|u(y) − u(x)|
,
|y − x|
x ∈ Rd .
Bibliografia
Literatura
[1] R. F. Bass. Regularity results for stable-like operators. J. Funct. Anal.,
257(8):2693–2722, 2009.
[2] R. F. Bass and M. Cranston. Exit times for symmetric stable processes
in Rn . The Annals of Probability, 11(3):578–588, 1983.
[3] R. F. Bass and M. Kassmann. Harnack inequalities for non-local operators of variable order. Trans. Amer. Math. Soc., 357(2):837–850 (electronic), 2005.
[4] R. F. Bass, M. Kassmann, and T. Kumagai. Symmetric jump processes:
localization, heat kernels and convergence. Ann. Inst. Henri Poincaré
Probab. Stat., 46(1):59–71, 2010.
[5] R. F. Bass and D. A. Levin. Harnack inequalities for jump processes.
Potential Anal., 17(4):375–388, 2002.
[6] R. M. Blumenthal and R. K. Getoor. Some theorems on stable processes.
Trans. Amer. Math. Soc., 95:263–273, 1960.
[7] R. M. Blumenthal, R. K. Getoor, and D. B. Ray. On the distribution of
first hits for the symmetric stable processes. Trans. Amer. Math. Soc.,
99:540–554, 1961.
[8] K. Bogdan and T. Byczkowski. Potential theory of Schrödinger operator
based on fractional Laplacian. Probab. Math. Statist., 20(2, Acta Univ.
Wratislav. No. 2256):293–335, 2000.
29
[9] K. Bogdan and T. Jakubowski. Estimates of heat kernel of fractional Laplacian perturbed by gradient operators. Comm. Math. Phys.,
271(1):179–198, 2007.
[10] K. Bogdan, A. Stós, and P. Sztonyk. Harnack inequality for symmetric
stable processes on fractals. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 335(1):59–63,
2002.
[11] K. Bogdan, A. Stós, and P. Sztonyk. Potential theory for Lévy stable
processes. Bull. Polish Acad. Sci. Math., 50(3):361–372, 2002.
[12] K. Bogdan, A. Stós, and P. Sztonyk. Harnack inequality for stable
processes on d-sets. Studia Math., 158(2):163–198, 2003.
[13] K. Bogdan and P. Sztonyk. Harnack’s inequality for stable Lévy processes. Potential Anal., 22(2):133–150, 2005.
[14] P. Carr, H. Geman, D. B. Madan, and M. Yor. Stochastic volatility for
Lévy processes. Math. Finance, 13(3):345–382, 2003.
[15] Z.-Q. Chen, P. Kim, and T. Kumagai. Weighted Poincaré inequality
and heat kernel estimates for finite range jump processes. Math. Ann.,
342(4):833–883, 2008.
[16] Z.-Q. Chen, P. Kim, and T. Kumagai. Global heat kernel estimates for
symmetric jump processes. Trans. Amer. Math. Soc., 363:5021–5055,
2011.
[17] Z.-Q. Chen and T. Kumagai. Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets. Stochastic Process. Appl., 108(1):27–62, 2003.
[18] Z.-Q. Chen and T. Kumagai. Heat kernel estimates for jump processes
of mixed types on metric measure spaces. Probab. Theory Related Fields,
140(1-2):277–317, 2008.
[19] Z.-Q. Chen and R. Song. Intrinsic ultracontractivity and conditional
gauge for symmetric stable processes. J. Funct. Anal., 150(1):204–239,
1997.
[20] Z.-Q. Chen and R. Song. Estimates on Green functions and Poisson
kernels for symmetric stable processes. Math. Ann., 312(3):465–501,
1998.
30
[21] S. N. Ethier and T. G. Kurtz. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1986. Characterization and
convergence.
[22] P. Frej. Elementy teorii potencjału symetrycznych procesów stabilnych.
Master’s thesis, Politechnika Wrocławska, 1999.
[23] P. Głowacki and W. Hebisch. Pointwise estimates for densities of stable
semigroups of measures. Studia Math., 104(3):243–258, 1993.
[24] S. Hiraba. Asymptotic behaviour of densities of multi-dimensional stable
distributions. Tsukuba J. Math., 18(1):223–246, 1994.
[25] S. Hiraba. Asymptotic estimates for densities of multi-dimensional stable
distributions. Tsukuba J. Math., 27(2):261–287, 2003.
[26] W. Hoh. Pseudo differential operators generating Markov processes.
Habilitationsschrift, 1998.
[27] C. Houdré and R. Kawai.
13(1):252–278, 2007.
On layered stable processes. Bernoulli,
[28] N. Ikeda and S. Watanabe. On some relations between the harmonic
measure and the Lévy measure for a certain class of Markov processes.
J. Math. Kyoto Univ., 2:79–95, 1962.
[29] N. Jacob. Pseudo differential operators and Markov processes, volume 1.
Imperial College Press, London, 2001.
[30] T. Jakubowski. The estimates for the Green function in Lipschitz domains for the symmetric stable processes. Probab. Math. Statist., 22(2,
Acta Univ. Wratislav. No. 2470):419–441, 2002.
[31] M. Kassmann. Harnack inequalities and Hölder regularity estimates for
nonlocal operators revisited. preprint.
[32] V. Knopova and R. L. Schilling. Transition density estimates for a class
of Lévy and Lévy-type processes. J. Theoret. Probab., pages 1–27, 2010.
10.1007/s10959-010-0300-0.
31
[33] V. Knopova and R. L. Schilling. A note on the existence of transition
probability densities of Lévy processes. Forum Math., 2011.
[34] I. Koponen. Analytic approach to the problem of convergence of truncated lévy flights towards the gaussian stochastic process. Phys. Rev.
E, 52(1):1197–1199, Jul 1995.
[35] T. Kulczycki. Exit time and Green function of cone for symmetric stable
processes. Probab. Math. Statist., 19(2):337–374, 1999.
[36] M. Lewandowski. Point regularity of p-stable density in Rd and Fisher
information. Probab. Math. Statist., 19(2, Acta Univ. Wratislav. No.
2198):375–388, 1999.
[37] T. Lindvall. Lectures on the coupling method. Wiley Series in Probability
and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics.
John Wiley & Sons Inc., New York, 1992. A Wiley-Interscience Publication.
[38] R. N. Mantegna and H. E. Stanley. Stochastic process with ultraslow
convergence to a gaussian: The truncated lévy flight. Phys. Rev. Lett.,
73(22):2946–2949, Nov 1994.
[39] P. W. Millar. Exit properties of stochastic processes with stationary
independent increments. Trans. Amer. Math. Soc., 178:459–479, 1973.
[40] P. W. Millar. First passage distributions of processes with independent
increments. Ann. Probability, 3:215–233, 1975.
[41] A. Mimica. Harnack inequalities for some Lévy processes. Potential
Anal., 32(3):275–303, 2010.
[42] A. Mimica. Harnack inequality and Hölder regularity estimates for a
Lévy process with small jumps of high intensity. J. Theoret. Probab.,
pages 1–20, 2011. 10.1007/s10959-011-0361-8.
[43] A. Mimica. Heat kernel upper estimates for symmetric jump processes
with small jumps of high intensity. Potential Anal., pages 1–20, 2011.
10.1007/s11118-011-9225-1.
[44] E. A. Novikov. Infinitely divisible distributions in turbulence. Phys.
Rev. E, 50(5):R3303–R3305, Nov 1994.
32
[45] J. Picard. Density in small time at accessible points for jump processes.
Stochastic Process. Appl., 67(2):251–279, 1997.
[46] G. Pólya. On the zeros of an integral function represented by Fourier’s
integral. Messenger of Math., 52:185–188, 1923.
[47] W. E. Pruitt and S. J. Taylor. The potential kernel and hitting probabilities for the general stable process in RN . Trans. Amer. Math. Soc.,
146:299–321, 1969.
[48] M. Rao, R. Song, and Z. Vondraček. Green function estimates and
Harnack inequality for subordinate Brownian motions. Potential Anal.,
25(1):1–27, 2006.
[49] M. Riesz. Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. Acta Sci. Math.
Szeged, 1938.
[50] M. Riesz. Rectification au travail “Intégrales de Riemann-Liouville et
potentiels. Acta Sci. Math. Szeged, 1938.
[51] J. Rosiński. Tempering stable processes. Stochastic Process. Appl.,
117(6):677–707, 2007.
[52] K.-I. Sato. Lévy processes and infinitely divisible distributions, volume 68
of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University
Press, Cambridge, 1999. Translated from the 1990 Japanese original,
Revised by the author.
[53] R. L. Schilling, P. Sztonyk, and J. Wang. Coupling property and gradient
estimates for Lévy processes via the symbol. praca przyjeta do druku w
Bernoulli.
[54] R. L. Schilling and T. Uemura. On the Feller property of Dirichlet
forms generated by pseudo differential operators. Tohoku Math. J. (2),
59(3):401–422, 2007.
[55] R. L. Schilling and J. Wang. On the coupling property of Lévy processes.
praca przyjeta do druku w Ann. Inst. Henri Poincar’e: Probab. Stat.
[56] Y. Shiozawa and T. Uemura. On integro-differential operators: Conservativeness and Feller property. preprint.
33
[57] R. Song and Z. Vondraček. Harnack inequality for some classes of Markov processes. Math. Z., 246(1-2):177–202, 2004.
[58] R. Song and J.-M. Wu. Boundary Harnack principle for symmetric stable
processes. J. Funct. Anal., 168(2):403–427, 1999.
[59] P. Sztonyk. On harmonic measure for Lévy processes. Probab. Math.
Statist., 20(2, Acta Univ. Wratislav. No. 2256):383–390, 2000.
[60] P. Sztonyk. Boundary potential theory for stable Lévy processes. Colloq.
Math., 95(2):191–206, 2003.
[61] P. Sztonyk. Estimates of tempered stable densities. J. Theoret. Probab.,
23(1):127–147, 2010.
[62] S. J. Taylor. Sample path properties of a transient stable process. J.
Math. Mech., 16:1229–1246, 1967.
[63] T. Watanabe. Asymptotic estimates of multi-dimensional stable densities and their applications. Trans. Amer. Math. Soc., 359(6):2851–2879
(electronic), 2007.
[64] W. Willinger, M. S. Taqqu, and V. Teverovsky. Stock market prices and
long-range dependence. Finance and Stochastics, 3:1–13, 1999.
[65] A. Zaigraev. On asymptotic properties of multidimensional α-stable
densities. Math. Nachr., 279(16):1835–1854, 2006.
34