Modelling of sewing machines - Katedra Mechaniki Maszyn

Modelling of sewing machines - Katedra Mechaniki Maszyn

Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, nr 17/2001
XL Symposium PTMTS Modeling in Mechanics, ISBN 83-911764-8-7
MODELLING OF SEWING MACHINES
J. Zajaczkowski
http://bhp-k412.p.lodz.pl/
Summary. An algorithm of creating mathematical model of a sewing machine
is described in this paper. The electric motor, the belt drive, the linkage and cam
mechanisms are taken into account. The equations of the motion are derived by
the use of the principle of virtual work together with d’Alambert principle. The
kinematics relationships were found by the utilization of Brent method. Their
discrete form was replaced by a continuous one using polynomials. The
approximations of attractors were found by integrating the set of differential
equations for sufficiently long time.
Zeszyty Naukowe Katedry Mechaniki Stosowanej, Politechnika Śląska, z. Nr 17,(2001), str.
231-236, XL Sympozjon PTMTS Modelowanie w Mechanice, ISBN 83-911764-8-7
MODELOWANIE MASZYN SZYJĄCYCH
Jerzy ZAJĄCZKOWSKI
Katedra Mechaniki Maszyn Włókienniczych, Politechnika Łódzka
1. WSTĘP
Maszyny szyjące charakteryzują się występowaniem ruchu zwrotnego elementów
roboczych. Ruch ten jest generowany za pomocą złożonych mechanizmów dźwigniowych
i krzywkowych. Wały łączące mechanizmy poddane są skręcaniu, co jest wynikiem różnic
pomiędzy charakterystykami dynamicznymi poszczególnych mechanizmów. Powstający
moment skręcający może być znacznie większy od momentu napędowego silnika [1]. Można
go zmniejszyć zapewniając dużą bezwładność korby a małą koła zamachowego. Dla wałów
o małych sztywnościach, w obszarach rezonansowych mogą współistnieć alternatywne orbity
okresowe [2]. Obszary te ograniczone są przez dwie katastroficzne bifurkacje, gdzie następuje
gwałtowny skok układu z jednej orbity na drugą. Jeżeli mechanizmy połączone wałem są
identyczne, to możliwy jest ruch bez skręcania wału. Jednak, ze względu na to, że sztywność
układu jest funkcją kąta obrotu, powierzchnia energii potencjalnej może mieć zagłębienia
tworzące pułapki dla ruchu obrotowego, przekształcające go w chaotyczny ruch drgający [3].
W maszynach szyjących częstość drgań wymuszonych wału korbowego jest dwukrotnie
większa od jego prędkości [4]. Dla wału chwytacza jest ona równa prędkości kątowej wału
korbowego. W maszynach typu zygzak dwa kolejne obroty wału różnią się, co powoduje
dwukrotne zwiększenie okresu drgań [5]. Ruch zwrotny igielnicy powoduje fluktuacje
prędkości wału korbowego. Fluktuacje te za pośrednictwem pasa zębatego przenoszą się na
J.. Zajączkowski
chwytacz i mogą być źródłem niezgodności ruchu elementów roboczych maszyny [6].
Badania doświadczalne sił w niciach szwalniczych oraz tkaninie w czasie szycia opisane są
w pracach [7,8].
W obecnej pracy zaprezentowany jest model matematyczny maszyny szyjącej
uwzględniający napęd silnikiem asynchronicznym oraz interakcję mechanizmów igielnicy,
chwytacza, zygzaka i transportu. Pominięty jest wpływ nici z podciągaczem i napinaczem
oraz wpływ tkaniny. Pominięte są też siły tarcia, a funkcję rozpraszania energii pełnią jedynie
siły wewnętrzne proporcjonalne do prędkości odkształceń.
2. RÓWNANIA RUCHU
Schemat maszyny szyjącej pokazany jest na rys. 1. Wał korbowy  napędzany jest
przekładnią pasową za pomocą silnika indukcyjnego m. Za pośrednictwem mechanizmów
dźwigniowych nadaje on ruch obrotowo-zwrotny wałowi chwytacza  oraz posuwistozwrotny igielnicy Y. Dodatkowo, zarówno chwytacz X, jaki i igielnica  wprawiane są w ruch
boczny za pośrednictwem przekładni śrubowej, krzywki trójkątnej oraz mechanizmów
dźwigniowych. Dwie krzywki trójkątne zamocowane na wale korbowym, obrócone
względem siebie o /2, napędzają mechanizm transportu. Jedna za pośrednictwem wahacza
nadaje listewce zębatej ruch pionowy v, druga za pośrednictwem mechanizmu nadaje ruch
poziomy o regulowanym skoku h.
Rys. 1. Mechanizm igielnicy i chwytacza, mechanizm zygzaka,
mechanizm transportu oraz uzwojenia silnika napędowego
Aby napisać równania dynamiczne ruchu maszyny przecinamy myślowo te elementy,
które traktujemy jako podatne. Tutaj przyjmiemy, że będzie to pas napędowy, wał korbowy
oraz wał chwytacza. Suma momentów sił działających na wirnik silnika wynosi
Modelowanie maszyn szyjących
Am
d 2m
d 
 d
 Db  m rb 
ra rb  sb m rb   ra rb  M m  0
2
dt
dt 
 dt
(1)
gdzie (ra, rb) oznaczają promienie kół pasowych, Am oznacza masowy moment bezwładności,
Mm -moment silnika napędowego, sb oznacza sztywność, a Db współczynnik tłumienia pasa.
Dla mechanizmów napędzanych sztywnym zespołem (A1) złożonym z korby, koła
zębatego oraz układu krzywek suma prac wirtualnych może być zapisana następująco
M A1 d1  M B1 d1  M N d  FH dX  M v dv  M hd h  0
(2)
gdzie
M A 1   A1
d 21
 s 1  2   sb 1 ra  m rb  ra 
dt 2
d
 d d 
 d

 D  1  2   Db  1 ra  m rb  ra ,
 dt
 dt

dt 
dt
M B1   B1
 d d 
d 21
 k 1  3   H  1  3 ,
2
dt
dt 
 dt
M N  B N
d2
,
dt 2
FH  m H
M b  B v
d 2 v
,
dt 2
M h   Bh
d2 X
,
dt 2
d 2 h
.
dt 2
(3)
Stałe ( BH, A1, B1, BN, Bv, Bh ) oznaczają masowe momenty bezwładności, (k, s) -sztywności
wałów, (D, H) -współczynniki tłumienia. Podstawiając wyrażenia (3) do równania (2) oraz
wykorzystując wzór na pochodną funkcji złożonej
d d d

,
d t d t d
d 2 d 2 d  d


d t 2 d t 2 d  d t
2
 d2

2
 d
(4)
otrzymujemy równanie
2
2
2
2
2

 2
 A  B  dΓ 1  B  dξ v   B  dζ h  B  dξ   m  dX   d Φ1 
1
v
h
N
H
2





 1
 dΦ1 
 dΦ1 
 dΦ1 
 dΦ1 
 dΦ1   dt

2
 dΓ d 2 Γ1
dξ v d 2ξ v
dζ h d 2 ζ h
dξ d ξ
dX d 2 X
  B1 1

B

B

B

m
v
h
N
H
2
dΦ1 dΦ12
dΦ1 dΦ12
dΦ1 dΦ12
dΦ1 dΦ12
 dΦ1 dΦ1
 dΦ1 2

 dt  

J.. Zajączkowski
d 
 d
 d d 
 Db  1 r1  m rb  ra  D 1  2  
 dt
 dt
dt 
dt 
 sb Φ1ra Φmrb  sΦ1 Φ2 k  Γ1  Γ 3 
dΓ1
 0.
dΦ1
(5)
Dla mechanizmu igielnicy możemy napisać równanie
M A 2 d2  FN dY  0
(6)
gdzie
M A 2   A2
d 22
 d2 d1 

,
2  s 2  1   D 
 dt
dt
dt 
FN   m N
d 2Y
.
dt 2
(7)
A2 oznacza masowy moment bezwładności korby, a mN -masę igielnicy. Podstawiając
zależności (7) do równania (6) i wykorzystując (4) otrzymujemy równanie
2
2
2

 d 2


d
Y
d1 
 d2  dY d Y
 d
2
A m 


m N 
 D 2 

  s2  1   0.
N
2
2

 2

d

d
t
d
t
d

d

dt
dt




 2 
2
2

(8)
Suma momentów sił działających na chwytacz wynosi
BH
 d Γ d Γ dΦ 
d 2 Γ3
 H  3  1 1  k  Γ 3  Γ 1   0.
2
dt
 d t d Φ1 d t 
(9)
Aby określić funkcje 1=1 (1),v=v (1), h=h (1), = (1), X=X(1), Y=Y(2)
zastępujemy mechanizmy pokazane na rys. 1 zamkniętymi wielobokami wektorów [5,6].
Żądając, aby składowe wypadkowych tych wieloboków były równe zeru, otrzymujemy
układy równań algebraicznych nieliniowych. Rozwiązując ten układ metodą Brenta
znajdujemy postać dyskretną poszukiwanych funkcji. Postać ciągłą otrzymujemy zastępując
lokalnie funkcje dyskretne wielomianami przechodzącymi przez pięć sąsiednich punktów.
Jako pochodne funkcji przyjmujemy pochodne reprezentujących je wielomianów.
Moment napędowy silnika asynchronicznego dany jest zależnością
1 L
M m  iT
i
2  m
(10)
gdzie L oznacza macierz indukcyjności
 L11
L
 L21
L12 
,
L22 
L11  Lsrdiag 1  Lsg c0,
L12  LM cm ,
L21  LT12 ,
L22  Lwrdiag 1  Lwg c0,
Modelowanie maszyn szyjących
cos  m
cos  m  0  cos  m  20 


c m   cos  m  0 
cos  m
cos  m  0  .


cos  m  20  cos  m  0 

cos  m
(11)
Subskrypt g dotyczy strumieni głównych, r -rozproszonych, c jest macierzą kosinusów kątów
pomiędzy uzwojeniami, a kąt 0=2. Wektor natężeń prądów i=(i1s, i2s, i3s, i1w, i2w, i3w)T
w uzwojeniach stojana s i wirnika w znajdujemy całkując macierzowe równanie napięć
d
Li   Ri  u.
dt
(12)
Tutaj R=diag(Rs, Rs, Rs, Rw, Rw, Rw) jest macierzą diagonalną oporności uzwojeń, u=(u1s, u2s,
u3s, u1w, u2w, u3w)T oznacza wektor napięć zasilania uzwojeń stojana i wirnika. Dla wirnika
zwartego wektor napięć ma postać u=(Ucos( t), Ucos( t-0), Ucos(t-20), 0, 0, 0)T.
Układ równań różniczkowych (1, 5, 8, 9, 10-12) całkujemy korzystając z metody RungeKutta. Obliczenia realizujemy tak długo, aż trajektorie w przestrzeni fazowej staną się w
przybliżeniu krzywymi zamkniętymi.
Rys. 2. Odkształcenia kątowe (rad) w funkcji prędkości kątowej (rad/s) dla różnych wartości
prędkości synchronicznej  (rad/s)
3. WYNIKI OBLICZEŃ I WNIOSKI
J.. Zajączkowski
Obliczenia przeprowadzono przyjmując napięcie zasilania u=220V, oporności uzwojeń
Rs=9.1, Rw=9, indukcyjności LM=Lsg=Lwg=0.096H, Lsr=Lwr=0.034H, masowe momenty
bezwładności Am=0.025kgm2, B1=0.00001kgm2, A1=50B1, A2=5B1, BH=4B1, Bh=BH, Bv=5B1,
BN=2.5B1, masę igielnicy mN=0.03kg, masę chwytacza mH=0.1kg, promienie kół pasowych
ra=rb, sztywność pasa sbra2=20Nm/rad, współczynniki tłumienia Dbra2=1Nms/rad,
D=H=1Nms/rad, sztywność wałów s=k=150Nm/rad. Wymiary mechanizmów przyjęto
według [5,6]. Dla drgań będących rezultatem sprężystości pasa, wału korbowego i wału
chwytacza przybliżone częstości drgań własnych wynosiły odpowiednio: 1=179rad/s,
2=1734rad/s i H=1936rad/s. Wyniki obliczeń pokazane są na rys. 2.
Z rysunku widzimy, że wzrost prędkości powoduje wzrost średniego odkształcenia pasa
napędowego 01 przy niewielkim wzroście amplitudy części zmiennej. Oznacza to, że
maszyna może pracować przy prędkości wału korbowego wyższej od prędkości
rezonansowej napędu pasowego. Pozwala to na stosowanie przekładni z elastycznym pasem,
łagodzącym kolizję pomiędzy prawie stałą prędkością kątową wirnika silnika a pulsującą
prędkością wału korbowego.
Wzrost prędkości powoduje znaczący wzrost amplitudy drgań skrętnych wału chwytacza
31, co oznacza, że prawidłowa praca wymaga, aby sztywność tego wału była wystarczająco
duża.
Zbudowanie matematycznego modelu maszyny pozwala na komputerową symulację jej
pracy, co umożliwia dobór prawidłowych parametrów konstrukcyjnych przy minimalnych
kosztach projektu.
LITERATURA
[1] Zajączkowski J.: Computer modelling of textile machines. Fibres & Textiles in Eastern
Europe Vol. 8, No. 3 (30), s. 59-62, No. 4(31), 2000, s. 78.
[2] Zajączkowski J.: Resonances of symmetric modes in shafts coupled by mechanisms.
Journal of Sound and Vibration 197(5), 1996, s. 519-525.
[3] Zajączkowski J.: Torsional buckling of shafts coupled by mechanisms. Journal of Sound
and Vibration. 173(4), 1994, s. 449-455.
[4] Zajączkowski J.: Torsional vibrations of a hook shaft in a sewing machine. Fibers &
Textiles in Eastern Europe. Vol.7, No.1 (24) 1999, s. 51-51.
[5] Zajączkowski J.: Vibrations of a crank-shaft in a sewing machine induced by a zigzag
mechanism. International Journal of Clothing Science and Technology, Vol. 11, No 1,
1999, s. 53-59.
[6] Zajączkowski J.: Effect of belt extensibility on variation of the relative position of a
needle and a hook in a sewing machine. International Journal of Clothing Science &
Technology, 12:5 2000, s. 303-310.
[7] Ferreira F.B.N., Harlock S. C., Grosberg P.: A study of thread tension on a lockstitch
sewing machine. Part I. International Journal of Clothing Science and Technology, Vol. 6
No. 1, 1994, s. 14-19.
[8] Clapp, T.G., Little, T.J., Thiel, T.M., Vass, D.J.: Sewing dynamics - objective
measurement of fabric/machine interaction. International Journal of Clothing Science and
Technology, Vol. 4 No. 2/3, 1992, s. 45-53.
Modelowanie maszyn szyjących
MODELOWANIE MASZYN SZYJĄCYCH
Streszczenie. W pracy opisano algorytm tworzenia modeli matematycznych
maszyn szyjących. Uwzględniono silnik indukcyjny, przekładnię pasową oraz
mechanizmy dźwigniowe i krzywkowe. Równania dynamiczne ruchu
wyprowadzono korzystając z zasady prac wirtualnych i zasady d’Alamberta.
Związki kinematyczne znaleziono wykorzystując metodę Brenta. Ich postać
dyskretną zastąpiono funkcjami ciągłymi korzystają z wielomianów. Przybliżenia
atraktorów znaleziono całkując układ równań numerycznie przez odpowiednio
długi czas.