Hipoteza Serre`a

Hipoteza Serre'a
W latach sześćdziesiątych i pierwszej połowie lat siedemdziesiątych XX wieku
najsłynniejszym nierozwiązanym problemem algebraicznym było potwierdzenie bądź
obalenie hipotezy, którą sformułował w roku 1955 znany francuski matematyk Jean-Pierre
Serre:
Hipoteza Serre'a: Jeśli R=K[X1,...,Xn] jest pierścieniem wielomianów n zmiennych nad
ciałem K, to kaŜdy projektywny R-moduł jest wolny.
Przypuszczenie to wywodzi się z pewnego faktu z teorii wiązek wektorowych, który po
przetłumaczeniu na język modułów oznacza, Ŝe jeśli R=C(Rn) jest pierścieniem funkcji
ciągłych rzeczywistych na przestrzeni n-wymiarowej, to kaŜdy skończenie generowany
i projektywny R-moduł jest wolny. W rezultacie hipoteza Serre'a okazuje się algebraiczną
wersją pewnego w istocie topologicznego twierdzenia.
Dla n=1 hipoteza jest słuszna, bo K[X] jest pierścieniem ideałów głównych. Dla n=2
potwierdza ją twierdzenie Seshadri, udowodnione w 1958 roku. Na dowód przypadku n=3
(M. P. Murthy, J. Towber, tylko dla algebraicznie domkniętego ciała K), a następnie n≤5
(A. A. Suslin, I. N. Wasserstein) trzeba było natomiast czekać aŜ do roku 1974. Wreszcie
hipoteza została ostatecznie potwierdzona w styczniu 1976 roku niezaleŜnie przez dwu
matematyków: Daniela Quillena (MIT) i A. A. Suslina (Petersburg).
Od 1958 roku było wiadomo, Ŝe hipotezę Serre'a moŜna sformułować równowaŜnie
w następujący, bardziej elementarny sposób:
Hipoteza o wierszu unimodularnym: KaŜdy ciąg unimodularny elementów pierścienia
R=K[X1,...,Xn] (tzn. taki ciąg, który generuje ideał niewłaściwy R) moŜna włoŜyć jako
pierwszy wiersz w pewną macierz odwracalną nad R.
W tym właśnie języku problem Serre'a był rozwaŜany przez Suslina i jego
współpracowników, natomiast dowód Quillena związany był z wyjściowym sformułowaniem.
Zanim jednak doszło do przekształcenia hipotezy w twierdzenie Quillena-Suslina, kilka
zespołów w róŜnych krajach pracowało nad nią bardzo intensywnie. W Toruniu, gdzie
wówczas mieszkałem, hipotezą Serre'a zajmował się przez dwa lata profesor Edward Sąsiada,
znany z negatywnego rozstrzygnięcia kilku słynnych problemów poprzez znalezienie
odpowiednich kontrprzykładów. Panował wówczas pogląd, Ŝe hipoteza Serre'a jednak nie jest
ogólnie prawdziwa, co okazało się w końcu nieprawdą - tym samym niemoŜliwe było
rozstrzygnięcie negatywne. Skutkiem tego profesor Sąsiada przestał zajmować się algebrą i
stał się załoŜycielem toruńskiej szkoły teorii układów dynamicznych.
W owym czasie podjąłem równieŜ próbę rozwiązania problemu, co okazało się
pouczającą poraŜką. OtóŜ rozmawiając w Warszawie z Jerzym Jurkiewiczem, wówczas takŜe
młodym naukowcem, zgodziliśmy się z tym, Ŝe perspektywiczną metodą udowodnienia
hipotezy byłoby wykorzystanie algebraicznych analogów metod teorii wiązek, w tym
zwłaszcza nieistniejącej jeszcze "algebraicznej homotopii". Po powrocie do domu zasiadłem
do pracy i uzyskałem bardzo gładki i naturalny dowód - jednakŜe z pewną niezbyt głęboko
ukrytą wadą. Poinformowałem jedną osobę i zanim odkryłem błąd, wszyscy uwierzyli, Ŝe jest
to właściwe rozwiązanie. PoniewaŜ nikt mi potem nie miał tego za złe, doszedłem do
wniosku, Ŝe przegrałem w nienajgorszym stylu. Nauka natomiast, jaką wyniosłem z tego
przypadku, jest bardzo prosta: to, co ładne i naturalne, niekoniecznie musi być prawdziwe.
Kilkanaście lat później, juŜ w bydgoskiej WSP, opowiedziałem o tym "rozwiązaniu" na
seminarium zakładowym w dniu 1 kwietnia. Nigdy nie spotkałem się z taką aktywnością
słuchaczy - wszyscy starali się znaleźć lukę w rozumowaniu. Ja jednak zorganizowałem
wypowiedź tak, Ŝe błąd pojawił się dopiero w ostatnim zdaniu, i tym samym napięcie nie
opadło do samego końca.
Andrzej Prószyński