Modele IRT i CFA

Modele IRT i CFA
·
W ostatnich latach kilku autorów zademonstrowało formalną
(Takane, de Leeuw, 1987; Bock, Gibbons, Muraki, 1988;
Bartholomew, 1987) oraz empiryczną (np., Knol, Berger, 1991;
Hoijtink, Rooks, Wilmink, 1991; Raju, Laffitte, Byrne, 2002)
ekwiwalencję pomiędzy modelami IRT i CFA
·
Modele IRT i CFA różnią się zakresem wykorzystania
informacji zawartej w danych
·
Model IRT jest tak zwanym modelem pełnej informacji (fullinformation model), ponieważ wykorzystuje całą informację
zawartą we wzorcach odpowiedzi uzyskanych z p dychotomicznych
pozycji testowych
·
Model CFA dla zmiennych dyskretnych jest nazywany
modelem ograniczonej informacji (limited-information model),
ponieważ wykorzystuje jedynie informacje zawarte w korelacjach
tetrachorycznych pomiędzy parami p pozycji testowych
Model IRT (2PLM)
W modelu IRT, prawdopodobieństwo podania poprawnej
·
odpowiedzi P (q ) na dychotomiczne zadanie testowe jest
monotonicznie rosnącą i nieliniową funkcją cechy latentnej q :
Pk (q ) =
1
1+ e
(
- Dak q - bk
)
,
gdzie a to parametr mocy dyskryminacyjnej, a parametr b
określa trudność pozycji testowej
·
Centralnym konceptem modelu IRT jest krzywa
charakterystyczna pozycji testowej (item charakteristic curve,
ICC). Wysokość krzywej ICC powyżej danego poziomu latentnej
cechy q reprezentuje proporcję osób testowanych na tym
poziome uzdolnień, którzy mogą odpowiedzieć poprawnie na daną
pozycję testową
1.0
Proporcja
osób
udzielająca
poprawnej 0.5
odpowiedzi
P( q )
0.0
-3
-2
-1
0
Cecha latentna q
1
2
3
Model CFA
W modelu konfirmacyjnej analizy czynnikowej (confirmatory
·
factor analysis, CFA) dla zmiennych dyskretnych zakładamy, że
dychotomiczna pozycja testowa yk odzwierciedla nieobserwowalną
zmienną ciągłą yk* , która posiada rozkład normalny oraz próg t k :
ìï1, jeżeli y * ³ t
k
k
yk = í
*
ïî0, jeżeli yk < t k
·
Gdy wykorzystujemy macierz korelacji tetrachorycznych
pomiędzy zmiennymi latentnymi yk* możemy zastosować analizę
czynnikową
yk* = t k + lkq + e k ,
gdzie yk* jest latentną odpowiedzią na pozycje testową yk, t k
jest stałą regresji pozycji testowej na latentną cechę q , lk
jest ładunkiem czynnikowym danej pozycji testowej na q , a e k
reprezentuje błąd pomiarowy
·
Stosując standardowe założenia modelu analizy czynnikowej
otrzymujemy macierz kowariancji Σ pomiędzy zmiennymi y* jako
Σ y* = LLT + Y 2 ,
gdzie L jest wektorem ładunków czynnikowych a Y 2 jest
diagonalną macierzą wariancji błędu pomiarowe.
·
Parametry modelu CFA dla zmiennych dyskretnych są typowo
szacowane za pomocą estymatora ważonych najmniejszych
kwadratów (weighted least squares, WLS)
Relacja pomiędzy parametrami
modeli IRT i CFA
Takane i de Leeuw (1987) oraz Bartholomew (1987)
·
niezależnie zademonstrowali, że model IRT (2PLM) oraz model
CFA dla zmiennych dyskretnych są formalne ekwiwalentne.
Parametry modelu IRT a k i b k (k = 1, 2, ..., p) mogą być
wyrażone w postaci parametrów modelu CFA t k , lk , i y k jako
a k = lk y k
oraz
b k = -t k y k ,
gdzie lk jest ładunkiem czynnikowym pozycji testowej k, y k
jest pierwiastkiem wariancji błędu pomiarowego pozycji
testowej k, a t k jest stałą regresji pozycji testowej k
·
Możemy także wyrazić parametry modelu CFA w postaci
parametrów modelu IRT:
(
lk = ak 1 + a k2
)
(
-1 2
t k = - b k 1 + a k2
oraz
(
y k = 1 + a k2
)
)
,
-1 2
-1 2