Matematyka - lista 1 1. Obliczy¢ granice ci¡gów (a) n3

Matematyka - lista 1 1. Obliczy¢ granice ci¡gów (a) n3

Matematyka - lista 1
1. Obliczy¢ granice ci¡gów
(a)
n3 − 2n2 + 1
n2 +3
n3 +2n−3
(c) 2n3 −n
3n4 +n2 −1
(d) n2 +n+2 (e) 2n4 −n+2
√
√
√
√
√
n4 + n− n2 − n (h) n + 1− n (i) n2 + n− n2 − n
√
√
√
√
√
2
2
3
4·3n+1 +2·4n
√n −1
n3 + n2 − 3 n3 + 1 (k) n( 3 n3 + n − n) (l) √2nn2 +1−
(m) 5·2n +4n+2
+3− 2n2 +1
√
(f ) √
(j)
n3 −2n+3
2n3 +1
(b)
n4 +n+1
√
2n4 +n
(n+2)!+(n+1)!
(n) (n+2)!−(n+1)!
√
(g)
n3 +2+
(o)
1+4+7+···+(3n−2)
n2
1+ 12 + 14 +···+ 21n
1+ 13 + 19 +···+ 31n
(p)
2. Obliczy¢ granic¦ ci¡gów lub pokaza¢, »e granica nie istnieje
n
(a) n2 +1
sin(3n + 1)
(b)
(−1)n n+1
2n−1
1+2+···+n
n3 +1
(c)
3. Obliczy¢ granice ci¡gów (u»yteczny fakt: je±li
1 an
an
cos(n2 )
(d)
√
cos(nπ) n+1
√
n+1
an → ∞ lub an → −∞, to lim 1 +
n→∞
= e)
(a)
1 + n3
(f )
1+
n
(b)
2
1 n
n
(g)
n+1 n+1
n−1
2
n2 −3 2n +1
n2 +1
(c)
2n+1 2n
n+1
(d)
2n2 −n+2 3n+1
2n2 +1
(e)
1 + n12
n
n−1 n+1
.
2n+3
(h)
4. Znale¹¢ granice ci¡gów korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach
(a)
(e)
√
n
4 · 3n + 5 · 2n
√
2n
n3 2n + n2 3n
1
(h) n2 +1
+
2
n2 +2
(b)
(f )
+ ··· +
q
n
1
3n
+
1
2n
(c)
q
en
n2
+
πn
n3
(g)
2n
n
n2 +n
(i)
√
n2
√
n
2n3 − n2 + 3
n( n21+1 +
1
n2 +2
(d)
+ ··· +
n
(a) 2n
2
(b) n!
n!
(c) nn
(d)
ln n
n
en +π n
2n
1
n2 +n )
1 + 2 2 + 3 3 + · · · + nn .
5. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce ci¡gi s¡ malej¡ce (ewentualnie dla
n
q
2n
n
k
(e) C n , gdzie
Pokaza¢, »e wszystkie te ci¡gi s¡ zbie»ne do
n dostatecznie du»ych)
k∈NiC>1
s¡ staªymi.
0.
6. (? nadobowi¡zkowe) Znale¹¢ granice ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie (pokaza¢, »e
ci¡gi s¡ monotonicze i ograniczone)
√
a1 = 1, an+1 = an + 1
1
1
(b) a1 = 2, an+1 = 2 (an + a )
n
(a)
1