stateczność kolumny wstępnie sprężonej przy obciążeniu siłą

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 54, ISSN 1896-771X
STATECZNOŚĆ KOLUMNY WSTĘPNIE
SPRĘŻONEJ PRZY OBCIĄŻENIU SIŁĄ
ŚLEDZĄCĄ SKIEROWANĄ DO BIEGUNA
DODATNIEGO SPOCZYWAJĄCEJ
MIEJSCOWO NA PODŁOŻU WINKLERA
Krzysztof Sokół
1a
, Ilona Cieślińska - Gąsior
1b
Politechnika Częstochowska
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
1
Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn
a
[email protected], b [email protected]
Streszczenie
W pracy zaprezentowano wyniki badań teoretycznych i numerycznych smukłego układu ciągłego obciążonego siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego miejscowo spoczywającego na podłożu typu Winklera, przy
uwzględnieniu wstępnego sprężenia. Obciążenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego realizowane jest
poprzez głowice: wymuszającą i przyjmującą obciążenie, zbudowane z elementów o zarysie kołowym. W pracy wyznaczono wartości obciążenia bifurkacyjnego kolumny w funkcji wybranych parametrów geometrycznych i fizycznych układu w tym parametrów opisujących wstępne sprężenie i podłoże typu Winklera. Uzyskane wyniki symulacji numerycznych zostały porównane z rezultatami obliczeń układu liniowego (układu odniesienia). Na podstawie niniejszej analizy wyznaczono krzywe obrazujące zjawisko lokalnej i globalnej utraty stateczności rozważanego
układu.
Słowa kluczowe: lokalna i globalna utrata stateczności, obciążenie bifurkacyjne, statyczne kryterium stateczności
THE INFLUENCE OF PRESTRESSING ON INSTABILITY
OF A COLUMN SUBJECTED TO A FOLLOWER FORCE
DIRECTED TOWARDS A POSITIVE POLE PARTIALLY
SUPPORTED ON WINKLER ELASTIC FOUNDATION
Summary
In this paper the results of theoretical and numerical investigations on slender system subjected to a follower
force directed towards a positive pole partially supported on Winkler elastic foundation taking into account prestressing are presented. The external loading is realized by means of forcing and acquiring heads which are composed of elements with circular outline. The magnitude of bifurcation load of a column as a function of chosen geometrical and physical parameters (taking into account pre-stressing and Winkler elastic foundation) is obtained.
The results of numerical simulations are being compared to the ones computed for the corresponding linear system. On the basis of this analysis the curves of local and global instability have been plotted.
Keywords: local and global instability, bifurcation force, static stability criterion
72
Krzysztof Sokół, Ilona Cieślińska - Gąsior
1. WSTĘP
Geometrycznie nieliniowe układy smukłe są tematem
wielu prac naukowych, w których rozpatruje się zagadnienia z zakresu ich stateczności przy różnych sposobach
obciążenia i zamocowania. W zakresie badań stateczności
układów smukłych rozpatrywano różne przypadki obciążenia konserwatywnego (Eulera - por. [1]), swoistego
(por.[2]) oraz niekonserwatywnego (uogólnione obciążenie
Becka) (por. [3)]. W zakresie modelu kolumn geometrycznie nieliniowych wyznaczono obciążenie bifurkacyjne przy
prostoliniowej (por. [4]) oraz obciążenie krytyczne przy
krzywoliniowej (por. [5]) postaci równowagi statycznej.
W pracy (por. [6]) rozpatrywano układ poddany działaniu obciążenia siłą śledzącą skierowaną do bieguna
dodatniego – przypadek obciążenia swoistego, które
zostało wprowadzone do literatury przez L. Tomskiego
(por. [7]). W pracy (por.[8]) rozważano model kolumny
geometrycznie nieliniowej, której wewnętrzny pręt podparto częściowo podłożem typu Winklera (por.[9]). W
publikacji tej określono energię mechaniczną układu,
różniczkowe równania ruchu i warunki brzegowe. Odrębnym zagadnieniem są badania niestateczności lokalnej i
globalnej układów geometrycznie nieliniowych (por. [4,
10, 11]). W pracach przeprowadzono analizę porównawczą
dotyczącą wartości obciążenia bifurkacyjnego kolumn
geometrycznie nieliniowych oraz odpowiednich kolumn
liniowych z uwzględnieniem różnych parametrów fizycznych i geometrycznych, w tym pęknięć. Lokalna utrata
stateczności występuje przy mniejszych współczynnikach
asymetrii sztywności na zginanie układów geometrycznie
nieliniowych. W tym przypadku wartość obciążenia
bifurkacyjnego tych modeli jest mniejsza od siły krytycznej odpowiedniego modelu liniowego.
połączona jest z głowicą przyjmującą obciążenie poprzez
nieskończenie sztywny element o długości l0. Uwzględnienie tego elementu jest niezbędne ze względu na rzeczywiste rozwiązanie głowicy realizującej obciążenie,
której integralną częścią jest element o długości l0.
Sztywność na zginanie wymienionego elementu jest
wielokrotnie większa od sztywności na zginanie układu
smukłego (por. [2,12])
2. MODEL FIZYCZNY UKŁADU
Obciążenie siłą śledzącą skierowaną do bieguna dodatniego (por. rys.1 a÷c) realizowane jest poprzez głowicę wywołującą i przyjmującą obciążenie o zarysie kołowym (stała krzywizna). Kolumnę obciążono siłą P,
której kierunek działania przechodzi przez stały punkt
O. Kierunek działania zewnętrznej siły obciążającej jest
dodatkowo styczny do linii ugięcia swobodnego końca
(x=L) prętów układu. Biegun O umiejscowiono w odległości R od swobodnego końca kolumny. Przyjęto założenie, iż podłoże nie narusza symetryczności układu.
W celu zamodelowania miejscowego podparcia podłożem
sprężystym pręt wewnętrzny (por. rys.1d) podzielono na
trzy pręty o sztywności na zginanie odpowiednio: (EJ)2,
(EJ)3 oraz (EJ)4, przy czym:
(EJ )2
= (EJ )3 = (EJ )4
Rys. 1. Model fizyczny kolumny obciążonej siłą śledzącą a)
model kolumny geometrycznie liniowej KL
b) model kolumny geometrycznie nieliniowej KN
c) model kolumny geometrycznie nieliniowej z miejscowym
podłożem sprężystym typu Winklera KNW bez wstępnego
sprężenia, d) rozkład sztywności na zginanie kolumny
KNW
Oznaczenie WKNW wprowadzono w celu rozróżnienia układu wstępnie sprężonego. Rozkład sztywności
na zginanie kolumny WKNW jest taki sam jak w
przypadku kolumn geometrycznie nieliniowych KNW,
KN (por. [9]).
Przy opisie podłoża sprężystego Winklera wprowadzono
współczynniki opisujące usytuowanie i rozmiar podłoża
względem długości kolumny wzór (2.3).
(1)
Pręt zewnętrzny ma sztywność (EJ)1
Cała długość elementów jest równa długości całego
układu L = l1 + l 2 + l3 . Na swobodnym końcu kolumna
73
STATECZNOŚĆ KOLUMNY WSTĘPNIE SPRĘŻONEJ PRZY OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ…
2l1 + l 2
l
, β = 2
(2,3)
2L
L
W celu uproszczenia obliczeń w dalszych rozważaniach
pręty zewnętrzne rozpatruje się jako jeden o całkowitej
sztywności na zginanie równej (EJ)1.
Przy opisie kolumny KN, KNW, WKNW definiuje się
współczynnik asymetrii sztywności na zginanie:
Zagadnienie stateczności modelu kolumny geometrycznie
nieliniowej rozwiązano, stosując zasadę minimum energii
potencjalnej, polegającej na poszukiwaniu obciążenia,
przy którym energia potencjalna przestaje być dodatnio
określona (por.[13]).
δV = 0
(11)
gdzie: δ – operator wariacji
Wykorzystując związek (10), po obliczeniu wariacji
energii potencjalnej otrzymano:
- równania przemieszczeń poprzecznych:
α =
µ =
(EJ )2
(EJ )1
(4)
przyjmując, że suma sztywności na zginanie układu
geometrycznie nieliniowego (KN) jest stała (1):
(EJ ) j y j IV (x j ) +
Sjyj
IV
2
∑ (EJ )i = const
(EJ )4 y 4 (x 4 ) +
(5)
Sztywność na zginanie prętów kolumny (KL) jest taka
sama jak sztywność prętów o indeksie 1 kolumny (KN),
(KNW), (WKNW).
Do opisu zagadnienia stateczności układów smukłych
zastosowano teorię Bernoullego-Eulera oraz teorię
umiarkowanych dużych ugięć.
Biorąc pod uwagę model fizyczny kolumny, określa się
zgodnie z teorią zginania Bernoullego – Eulera składowe
energii potencjalnej.
Całkowita energia potencjalna V to suma energii:
- sprężystej zginania V1:
+
2
[
]
[
2
[
]
(
[
]
d 2 yk (xk )
dxk2
V2 =
y1I (L ) = y3I (l 3 ),
y 4 (l 2 ) = y3 (0),
y 2I (l1 ) = y 4I (0), y 4I (l 2 ) = y 3I (0),
l1
1
2
1 I
 dx +
I
( EA ) 2 ∫
2
 y 2 ( x 2 ) + U 2 ( x 2 )
2
0 2
+
l3
1
2
1 I
 dx +
I
( EA )3 ∫
3
 y 3 ( x 3 ) + U 3 ( x 3 )
2
0 2
(
)
(
y1 (L ) = (R − l 0 )y1I (L ),
kolumn KNW,WKNW w zależności (11) pozwala
uzyskać naturalne warunki brzegowe:
2
+
2
)
(8)
(EJ )1 y1III (L) + (EJ )3 y3III (l3 ) −
+ P ⋅ U1 ( L , t ) +
)
1
P (R − l0 ) y1I (L )
2
[
]
]
y 2III (l1 ) = y 4III (0),
- potencjalnej podłoża sprężystego V3:
V3
[
y 4II (l 2 ) = y 3II (0),
2
1 l2
2
=
K ∫ ( y ( x ) ) dx 4
2 0 4 4
1
(EJ )1 y1II (L) + (EJ )3 y3II (l3 ) = 0
R − l0
y 2II (l1 ) = y 4II (0),
2
l2
1
2
1 I
 dx +
I
+ ( EA ) 4 ∫
4
 y 4 ( x 4 ) + U 4 ( x 4 )
2
0 2
(
(16-23)
y 2 (l1 ) = y 4 (0),
(7)
2
)
)
y1I (0) = y 2I (0) = 0,
dx4
1
2
1 I
 dx +
I
( EA ) 1 ∫
1
 y1 ( x1 ) + U 1 ( x1 )
2
0 2
(
(14)
y1 (L ) = y 3 (l 3 ),
(6)
- potencjalnej V2 wynikającej z obciążenia zewnętrznego
P:
L
(12-13)
-Uwzględnienie geometrycznych warunków brzegowych
(16-23)
y1 (0) = y 2 (0) = 0,
2
, k = 1,2,3,4
)
(
gdzie:
ykII ( xk ) =
Ky 4 (x 4 ) = 0
oraz równania przemieszczeń wzdłużnych poszczególnych
prętów układu:
2
1 xk I
S k ( xk )
(15)
xk −
U k ( xk ) = −
∫ y ( x ) dxk
2 0 k k
( EA)k
]
l3
l2
1
(EJ )3 ∫ y 3II (x3 ) dx3 + 1 (EJ )4 ∫ y 4II (x 4 )
2
2
0
0
(x 4 ) +
j = 1, 2,3
d  I
1
2
U k (x k ) +
y I (x )  = 0, k = 1, 2, 3, 4
dx k 
2 k k

2
l1
L
1
(EJ )1 ∫ y1II (x1 ) dx1 + 1 (EJ )2 ∫ y 2II (x 2 ) dx 2 +
2
2
0
0
S4 y4
(x ) = 0
j
II
Przy czym Sk opisuje wartość poszczególnych sił wewnętrznych w prętach.
- różniczkowe równania przemieszczeń w kierunku nieodkształconej osi kolumny:
i =1
V1 =
II
y 4III (l 2 ) = y 3III (0),
(9)
2
∑ S i − P = 0,
i =1
przy czym :yk(xk), Uk(xk) jest, odpowiednio, przemieszczeniem poprzecznym oraz wzdłużnym prętów układu
gdzie k=1,2,3,4,
Wzór na całkowitą energię potencjalną ma następującą
postać:
(10)
V = V1 + V 2 + V 3
(24-29)
przy czym:
S 2 = S3 = S 4 .
(30)
Warunek (23) wynika z geometrii głowicy realizującej
obciążenie (por. [12]), przy czym w zależnościach (12,13)
74
Krzysztof Sokół, Ilona Cieślińska - Gąsior
oraz (14) uwzględniono definicję siły wzdłużnej w postaci:
d  I
1 I
2
U k (x k ) +
y (x )  (31)
S k ( x k ) = − ( EA) k
dx k 
2 k k

(
cyjnego układu (KN) i (WKN) w funkcji współczynnika µ. Porównując przebieg krzywych kolumny (WKN),
stwierdzono, że wstępne sprężenie (układu siły λ*0 wzór
)
(33)) należy stosować w ograniczonym przedziale zmian
współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µ.
Pozytywne efekty wstępnego sprężenia uzyskuje się, gdy
parametr obciążenia bifurkacyjnego λ*cr
kolumny
3. WYNIKI OBLICZEŃ
Biorąc pod uwagę rozwiązanie zagadnienia brzegowego uzyskanego na podstawie równań przemieszczeń
poprzecznych (12,13) oraz warunków brzegowych (16-23,
24-29), przeprowadzono badania numeryczne odnośnie
do stateczności rozważanego układu.
Na rys. 2 zaprezentowano zmianę wartości siły bifurkacyjnej modelu kolumny geometrycznie nieliniowej
(KN) oraz siły krytycznej modelu kolumny liniowej
(KL) w funkcji współczynnika asymetrii sztywności na
zginanie µ. Wykreślone krzywe obrazują zjawisko lokalnej i globalnej utraty stateczności rozpatrywanego układu. Parametr obciążenia krytycznego λ*cr wyrażono w
(WKN) jest większy od tego parametru układu (KN).
postaci bezwymiarowej (wzór 32) (por. [9, 12]). W
zakresie zmian wartości współczynnika µ (0, µgr) obciążenie bifurkacyjne (KN) (utrata prostoliniowej równowagi statycznej) jest mniejsze od obciążenia krytycznego
kolumny (KL). Za lokalną utratę stateczności odpowiada
niestateczność pręta o mniejszej sztywności na zginanie.
Usunięcie z modelu kolumny geometrycznie nieliniowej
tego pręta powoduje nagły wzrost siły krytycznej (przejście od punktu A1 do punktu A2). W związku z powyższym w zakresie zmienności współczynnika rozkładu
asymetrii sztywności na zginanie prętów µ następuje
lokalna utrata stateczności układu. W przypadku µ >
µgr występuje globalna utrata stateczności układu.
l 0* =
R* =
Rys. 3. Zmiana bezwymiarowego parametru obciążenia bifurkacyjnego λ*cr modelu kolumny nieliniowej WKN w funkcji
współczynnika asymetrii rozkładu sztywności na zginanie µ dla
l0* = 0.2 , R * = 0.5
S0l 2
λ0 * =
2
∑ ( EJ ) i
i=1,2
(33)
i=2
l0
L
R
L
Rys. 2. Zmiana krytycznego parametru obciążenia λ*cr w funkcji
współczynnika asymetrii rozkładu sztywności na zginanie µ dla
Rys. 4. Zmiana bezwymiarowego parametru obciążenia bifurka-
l0* = 0.2, R * = 0.5
podpartej podłożem sprężystym KNW w funkcji współczynnika
λ*cr =
Pcr l 2
2
i=1,2
cyjnego λ*cr modelu kolumny nieliniowej KN oraz nieliniowej
asymetrii sztywności na zginanie dla parametru l 0* = 0.2,
R* = 0.5, l1 = 0 .2 , l 2 = 0 .6 , l 3 = 0 . 2
(32)
K* =
∑ ( EJ ) i
i=2
KL4
2
∑ ( EJ ) 2
Na rys. 3 zaprezentowano zależność pomiędzy wartościami obciążenia krytycznego kolumny (KL) i bifurka-
i =1
75
i=1,2
(34)
STATECZNOŚĆ KOLUMNY WSTĘPNIE SPRĘŻONEJ PRZY OBCIĄŻENIU SIŁĄ ŚLEDZĄCĄ…
Na rys. 4 przedstawiono wartość obciążenia bifurkacyjnego układu geometrycznie nieliniowego w funkcji
współczynnika asymetrii sztywności na zginanie dla
wybranych wartości sztywności podłoża typu Winklera o
odpowiednio dobranej sztywności K* (wzór 34) częściowo
podpierającego środkowy pręt kolumny. W efekcie uzyskano wzrost wartości bezwymiarowego parametru
obciążenia bifurkacyjnego kolumny (KNW) powyżej
obciążenia bifurkacyjnego modelu kolumny geometrycznie nieliniowej (KN) oraz zmniejszenie wartości granicznego współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µgr.
Rys. 6 Wpływ sztywności podłoża sprężystego na wartość
parametru obciążenia bifurkacyjnego kolumny KNW oraz na
wyjście układu z obszaru lokalnej utraty stateczności dla
parametru l 0* = 0.2, R
*
= 0.5, l1 = 0 .2 , l2 = 0 .6,
l3 = 0 . 2
Rys. 5. Zmiana obciążenia bifurkacyjnego wstępnie sprężonej
kolumny WKNW w funkcji współczynnika asymetrii rozkładu
sztywności na zginanie dla parametru l 0* = 0.2, R
*
= 0.5,
l1 = 0 .2 , l 2 = 0 .6 , l 3 = 0 . 2
Na rys. 5 przedstawiono wzrost wartości obciążenia
bifurkacyjnego modelu kolumny geometrycznie nieliniowej przy jednoczesnym uwzględnieniu podłoża typu
Winklera oraz wstępnego sprężenia. Wartość granicznego
współczynnika asymetrii sztywności maleje, zmniejszając
obszar lokalnej
utraty stateczności. Wykazano, że
dobranie odpowiednich parametrów wstępnego sprężenia
i podłoża sprężystego umożliwia ‘wyjście’ układu z
zakresu lokalnej niestateczności.
Rysunki 6, 7 przedstawiają przebieg krzywych granicznych współczynnika asymetrii sztywności na zginanie µ
w zależności od wartości parametru sprężystego podłoża
Rys. 7. Wpływ wstępnego sprężenia modelu kolumny
nieliniowej na wyjście z zakresu lokalnej niestateczności przy
współczynniku asymetrii rozkładu sztywności na zginanie
i parametrów l 0* = 0 .2, R
*
= 0.5, l1 = 0 .2 , l2 = 0 .6,
l3 = 0 . 2
4. WNIOSKI
Analiza otrzymanych wyników numerycznych pozwala stwierdzić, że rozważany układ w zależności od wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie
charakteryzuje się lokalną lub globalną utratą stateczności. Parametr asymetrii sztywności na zginanie µ wpływa
na wartość siły bifurkacyjnej modelu kolumny geometrycznie nieliniowej. W zakresie badań wpływu wstępnego sprężenia na stateczność modelu geometrycznie nieliniowej kolumny obciążonej siłą śledzącą skierowaną do
bieguna dodatniego określono zakres wartości wstępnego
sprężenia, dla którego otrzymuje się wzrost obciążenia
bifurkacyjnego kolumny powyżej granicy lokalnej utraty
stateczności (tj. obciążenie, przy którym układ geome-
K* oraz wstępnego sprężenia λ*0 . Na podstawie zaprezentowanych krzywych wyznaczono obszar lokalnej
utraty stateczności prostoliniowej postaci równowagi
statycznej przy wybranych parametrach głowicy realizującej obciążenie.
76
Krzysztof Sokół, Ilona Cieślińska - Gąsior
trycznie nieliniowy traci prostoliniową postać równowagi
statycznej). Stwierdzono, że wstępne sprężenie kolumny
w całym możliwym zakresie jest z punktu widzenia
otrzymanej wartości siły bifurkacyjnej niewskazane.
Dotyczy to szczególnie dużych wartości siły sprężającej,
dla których otrzymuje się wyniki przeciwne do oczekiwanych (znaczące zmniejszenie obciążenia bifurkacyjnego).
Wstępne sprężenie powinno być stosowane dla kolumn
charakteryzujących się lokalną utratą stateczności.
Uwzględnienie w modelu fizycznym modelu kolumny
nieliniowej podłoża typu Winklera podnosi wartość
obciążenia bifurkacyjnego. Wraz ze wzrostem sprężystości podłoża rośnie wartość bezwymiarowego parametru
obciążenia λ*cr . Podłoże sprężyste o odpowiednio dużej
sztywności powoduje „wyjście” układu z obszaru lokalnej
utraty stateczności.
Badania zostały przeprowadzone w ramach grantu BS / MN-1-101-302/ 14 / P realizowanego na Politechnice Częstochowskiej
Literatura
1.
Leipholz H.H.E.: On conservative elastic systems of the first and second kind. “Ingenieur –Archov” 1974, 43, p.
255-271.
2.
Tomski L, Szmidla J.: Drgania i stateczność układów smukłych. Rozdz.III: Drgania swobodne i stateczność
kolumn poddanych działaniu swoistemu – sztywne węzły konstrukcyjne układu wymuszającego i przyjmującego
obciążenie, Pr. zbior. pod kier. nauk. i red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2004.
3.
Beck M.: Die Knicklast des einseitig eingespannten tangential gedruckten Stabes. ZAMP 1953, 4, 1953, p. 225228, 476-477.
4.
Tomski L., Szmidla J.: Local and global instability and vibration of overbraced Euler’s column. “Journal of
Theoretical and Applied Mechanics” 2003, 41(1), p. 137-154.
5.
Tomski L., Uzny S.: Free vibration and the stability of a geometrically non-linear column loaded by a follower
force directed towards the positive pole. “International Journal of Solids and Structures” 2008, 45, p. 87-112.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych, jako układów liniowych lub nieliniowych. Rozdz.VI :Drgania swobodne i stateczność wspornikowych kolumn geometrycznie nieliniowych poddanych
obciążenie swoistemu. Pr. zbior. pod kier. nauk. I red. L. Tomskiego. Warszawa: WNT, 2007.
Bogacz R., Imiełowski Sz., Tomski L.: Stability and vibration of column structures subjected to generalized
concentrated load : theoretical and experimental study. Dynamics of Continua - International Symposium,
Physikzentrum Bad Honnef, 9 -13 September 1996, p. 45-54.
Szmidla J.: Drgania i stateczność kolumn spoczywających na podłożu typu Winklera realizujące wybrane przypadki obciążenia konserwatywnego, Zesz. Nauk. Pol. Rzesz. s. „Mechanika” 2008, 258, 74, s. 321-332.
Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność układów smukłych poddanych obciążenie swoistemu. Rozdz. III:
Drgania swobodne i stateczność kolumny geometrycznie nieliniowej niecałkowicie spoczywającej na podłożu sprężystym typu Winklera. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2009.
Sokół K., Uzny S.: The regions of local and global instability of a two-member slender system with crack. “Machine Dynamics Research” 2014, 2, 38 p. 75-83. .
Sokół K.: The local and global instability and vibration of a nonlinear column subjected to Euler’s load. “Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science” 2010, 19 p. 187-194.
Tomski L., Szmidla J.: Drgania swobodne i stateczność obiektów smukłych jako układów liniowych lub nieliniowych. Rozdz. VIII: Drgania swobodne i stateczność kolumny geometrycznie nieliniowej częściowo spoczywającej
na podłożu sprężystym typu Winklera. Pr. zbior. zbiorowa pod kier. nauk. I red. L. Tomskiego. Warszawa:
WNT, 2007.
Tomski L.: Drgania i stateczność układów dyskretnych. Rozdz. 3: Drgania swobodne i stateczność układów
smukłych o jednym oraz o dwóch stopniach swobody. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2006
77