wydział matematyki informatyki i mechaniki uniwersytetu

WYDZIAŁ MATEMATYKI INFORMATYKI
I MECHANIKI
UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO
SPRAWDZIAN DLA POWRACAJĄCYCH
NA STUDIA NA WYDZIALE MIM
Opracował zespól pracowników
Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki
Uniwersytetu Warszawskiego.
Rok akademicki 2000/2001
1
KIERUNEK INFORMATYKA
WSTĘP DO TEORII MNOGOŚCI
1. Relacja równoważności i jej własności.
2. Porządki częściowe i ich własności.
3. Indukcja.
Literatura:
H.Rasiowa ”Wstęp do matematyki współczesnej”
ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ
1. Liczby szczególne występujące w kombinatoryce.
2. Równania rekurencyjne i funkcje tworzące.
1
3. Drzewa i cykle w grafach.
4. Liczby pierwsze i ich własności.
5. Dyskretne zmienne losowe i ich rozkłady.
Literatura:
W. Lipski ”Kombinatoryka dla programistów”
T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest ”Wprowadzenie do algorytmów”
ANALIZA MATEMATYCZNA
1. Ciągłość funkcji i najważniejsze własności funkcji ciągłych.
2. Pochodna funkcji jednej zmiennej, interpretacja geometryczna i mechaniczna.
3. Twierdzenie o wartości średniej w rachunku różniczkowym funkcji jednej
zmiennej, jego interpretacja geometryczna i niektóre konsekwencje (monotoniczność,
wklęsłość, wypukłość, szacowanie przyrostów).
4. Wzór Taylora dla funkcji jednej zmiennej, zastosowania do rachunków
przybliżonych, rozwijanie funkcji w szeregi potęgowe.
5. Pojęcie zbieżności ciągów liczbowych i funkcyjnych, twierdzenia o przejściu
do granicy pod znakiem pochodnej i całki.
6. Ekstrema funkcji.
7. Funkcja pierwotna, całka oznaczona. Zastosowania geometryczne.
8. Całka Riemanna.
Literatura:
F.Leja ”Rachunek różniczkowy i całkowy”
ALGEBRA LINIOWA I JEJ METODY OBLICZENIOWE
1. Definicja grupy i grupy przemiennej.
2. Przestrzeń liniowa nad ciałem K. Baza przestrzeni liniowej.
3. Rozwiązywanie układów równań liniowych.
4. Numeryczna poprawność, numeryczna stabilność i uwarunkowanie zadania.
2
Literatura:
A.Kiełbasiński - Notatki do wykładu (Można otrzymać w kiosku
na terenie Wydziału)
METODY NUMERYCZNE
1. Interpolacja i aproksymacja numeryczna - przykłady.
2. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań algebraicznych
liniowych.
Literatura:
J.M. Jankowscy, M.Dryja ”Przegląd metod i algorytmów numerycznych”
WSTĘP DO PROGRAMOWANIA
1. Reprezentacja w pamięci danych typów prostych i złożonych.
2. Arytmetyka stałopozycyjna i zmiennopozycyjna.
3. Rekurencja i jej realizacja.
4. Mechanizmy strukturalizacji programów.
Literatura:
L.Banachowski, A.Kreczmar ”Elementy analizy algorytmów”
T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest ”Wprowadzenie do algorytmów”
N.Wirth ”Wstęp do programowania systematycznego”
METODY PROGRAMOWANIA
1. Listy, drzewa i ich zastosowania.
2. Stosy i kolejki.
3. Metody przeszukiwania grafów. Zastosowania.
4. Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne
i algorytmy zachłanne).
Literatura:
T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L.Rivest ”Wprowadzenie do algorytmów”
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
1. Kryteria oceny efektywności algorytmów.
3
2. Podstawowe algorytmy sortowania.
3. Słowniki i metody ich realizacji.
4. Kolejki priorytetowe i metody ich realizacji.
Literatura:
N.Wirth ”Wstęp do programowania systematycznego”
SEMANTYKA I WERYFIKACJA PROGRAMÓW
1. Weryfikacja poprawności programów. Metoda niezmienników. Logika
Hoare’a.
2. Przekazywanie parametrów w procedurach i reguły widoczności zmiennych.
Literatura:
M.Gordon ”Denotacyjny opis języków programowania”
JĘZYKI, AUTOMATY I OBLICZENIA
1. Automaty skończone i wyrażenia regularne.
2. Gramatyki bezkontekstowe i automaty ze stosem.
3. NP-zupełność.
Literatura:
J.E.Hopcroft, J.D.Ullman ”Wprowadzenie do teorii automatów,
języków i obliczeń”
PROGRAMOWANIE OBIEKTOWE
1. Pojęcia klasy i obiektu. Przykład klasy i kilku obiektów tej klasy.
2. Dziedziczenie. Przykład hierarchii klas.
3. Metody wirtualne. Przykład ilustrujący ich użyteczność.
4. Konstruktory i destruktory. Rodzaje konstruktorów w C++.
Literatura:
P.Coad, J Nicolla ”Programowanie obiektowe”
BAZY DANYCH
1. Struktura relacyjnej bazy danych.
4
2. Zależności funkcyjne zbiorów atrybutów.
3. Spójność referencyjna baz danych.
4. Podstawowe konstrukcje języka SQL.
5. Trzecia postać normalna baz danych.
Literatura:
J.Ullman, J.Vidom ”Podstawowy wykład baz danych”
PROGRAMOWANIE WSPÓŁBIEŻNE
1. Poprawność programu współbieżnego.
2. Klasyczne problemy współbieżności (problem rejonu krytycznego, problem
producenta-konsumenta, czytelników i pisarzy, 5 filozofów) i przykłady
ich rozwiązania.
Literatura:
Ben-Ari ”Programowanie współbieżne i rozproszone”
SYSTEMY OPERACYJNE
1. Mechanizmy sprzętowe potrzebne do realizacji wielodostępnych, wieloprocesowych
systemów operacyjnych.
2. Pamięć wirtualna. Cechy charakterystyczne różnych technik realizacji
pamięci wirtualnej.
3. Algorytmy szeregowania procesów.
4. Funkcje systemowe do obsługi plików z poziomu użytkownika (czynności
wykonywane przez system operacyjny, struktury danych).
Literatura:
A.Silberschatz, P.B.Galvin ”podstawy systemow operacyjnych”
2
KIERUNEK MATEMATYKA
WSTĘP DO MATEMATYKI
1. Relacje równoważności, klasy abstrakcji. Jaki związek łączy relacje równoważności
w zbiorze z podziałami tego zbioru?
5
2. Relacja (częściowego) porządku.
3. Równoliczność zbiorów. Co to znaczy, że moc zbioru A jest mniejsza od
mocy zbioru B? Przykłady zbiorów przeliczalnych i nieprzeliczalnych.
Czy każdy zbiór nieprzeliczalny jest równoliczny ze zbiorem wszystkich
liczb rzeczywistych? Czy istnieje zbiór o największej mocy?
4. Obraz i przeciwobraz wyznaczony przez funkcję, własności. Rozdzielność
funkcji obrazu (przeciwobrazu) względem działań na zbiorach.
Literatura:
H.Rasiowa ”Wstęp do matematyki współczesnej”
ANALIZA MATEMATYCZNA
1. Ciągi liczb rzeczywistych. Zbieżność ciągu, warunek Cauchy’ego, zupełność
zbioru liczb rzeczywistych.
2. Szeregi liczbowe i funkcyjne, zbieżność bezwzględna, warunkowa, jednostajna.
Przykłady kryteriów zbieżności i ich zastosowań.
3. Ciągłość i jednostajna ciągłość funkcji i odwzorowań. Twierdzenie o
osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na przedziale domkniętym.
4. Pochodna funkcji. Pochodne cząstkowe. Obliczanie pochodnych.
5. Twierdzenia o wartości średniej rachunku różniczkowego funkcji jednej
zmiennej (twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a). Przykład zastosowania.
6. Szeregi potęgowe; przedział zbieżności, różniczkowanie i całkowanie szeregu
potęgowego, przykłady.
7. Ekstrema funkcji:
(a) jednej zmiennej;
(b) wielu zmiennych.
Warunki konieczne i dostateczne.
8. Całka funkcji jednej zmiennej. Całka nieoznaczona i oznaczona. Zasadnicze
twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego. Obliczanie całek funkcji
jednej i wielu zmiennych.
6
Literatura:
F.Leja ”Rachunek różniczkowy i całkowy”
GAL
1. Rozwiązywanie układów równań liniowych. Elementarne operacje na
macierzach, metoda eliminacji Gaussa. Twierdzenia Kroneckera - Cappelli’ego
i Cramera.
2. Ciała: definicja, przykłady. Liczby zespolone: własności, postać trygonometryczna,
pierwiastkowanie, zasadnicze twierdzenie algebry.
3. Przestrzenie liniowe: definicja, przykłady. Układy liniowo niezależne,
bazy, wymiar przestrzeni liniowej.
4. Przekształcenia liniowe: definicja, przykłady, macierz przekształcenia
liniowego.
5. Przestrzenie własne i wartości własne endomorfizmów liniowych, sposoby
ich znajdowania. Podobieństwo macierzy, diagonalizowalność, postać
Jordana macierzy, twierdzenie Jordana.
6. Rząd, wyznacznik i ślad macierzy. Sposoby obliczania. Przykłady zastosowań.
7. Iloczyny skalarne: definicja, przykłady, kryterium Sylvestera. Przestrzenie
euklidesowe. Izometrie.
Literatura:
Maria Moszyńska, Joanna Święcicka ”Geometria z algebrą liniową”
Andrzej Białynicki - Birula ”Algebra liniowa z geometrią”
WSTĘP DO INFORMATYKI
1. Problem algorytmiczny i jego rozwiązanie. Przykłady.
2. Funkcje i procedury rekurencyjne. Przykłady.
3. Metoda programowania ”dziel i rządź”. Zastosowania.
4. Sposoby reprezentacji grafu, przeszukiwanie grafu wszerz i w głąb.
Zastosowania.
5. Złożoność obliczeniowa algorytmu.
6. Co wiesz o hipotezie P 6= N P ?
7
7. Reprezentacja i arytmetyka liczb rzeczywistych w komputerze.
Literatura:
Niklas Wirth ”Algorytmy + struktury danych = programy”
ALGEBRA
1. Pojęcia grupy, podgrupy, homomorfizmu i izomorfizmu grup. Przykłady
grup (grupy permutacji, grupy izometrii, grupy macierzy), twierdzenie
Cayley’a.
2. Związki pomiędzy rzędem grupy i rzędami podgrup, twierdzenia Lagrange’a,
Cauchy’ego i Sylowa.
3. Pierścienie: definicja i przykłady. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierwsze
i maksymalne.
4. Dzielniki zera, elementy odwracalne w pierścieniach. Konstrukcja ciała
ułamków dziedziny całkowitości.
5. Konstrukcje ilorazowe na przykładzie grup i pierścieni. Twierdzenia o
izomorfizmie.
Literatura:
J.Browkin ”Wybrane zagadnienia z algebry”
J.Browkin ”Teoria ciał”
A.Białynicki - Birula ”Zarys algebry”
TOPOLOGIA
1. Pojęcie przestrzeni topologicznej. Topologia przestrzeni. Czy każda topologia
pochodzi od jakiejś metryki?
2. Definicja ciągłości funkcji dla przestrzeni metrycznych i dla przestrzeni
topologicznych. Równoważność tych definicji w przypadku przestrzeni
metrycznych.
3. Przestrzenie zwarte: definicja, przykłady. Metryczny warunek zwartości.
Zwarte podzbiory przestrzeni Rn , funkcje ciągłe określone na przestrzeni
zwartej.
4. Przestrzenie metryczne zupełne: definicje, przykłady. Czy przestrzeń
metryczna zwarta jest zupełna, czy przestrzeń zupełna i ograniczona
jest zwarta (dlaczego tak/nie)?
8
5. Spójność i łukowa spójność przestrzeni topologicznych. Czy któraś z
tych własności implikuje drugą?
6. Homeomorficzność przestrzeni topologicznych, przykłady.
Literatura:
K. Jänich ”Topologia”
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
1. Istnienie rozwiązań równań różniczkowych. Zagadnienie Cauchy’ego,
istnienie rozwiązań lokalnych, jednoznaczność rozwiązań, przykłady.
2. Przedłużalność rozwiązań. Zachowanie rozwiązania przy przedłużaniu.
3. Własności rozwiązań układów równań liniowych. Rozwiązania układu
jednorodnego, przestrzeń rozwiązań, układ fundamentalny, wyznacznik
Wrońskiego, konstrukcja rozwiązania układu niejednorodnego.
4. Układy liniowe o stałych współczynnikach. Konstrukcja rozwiązań, wykorzystanie
postaci Jordana macierzy.
Literatura:
I.Pietrowski ”Równania różniczkowe zwyczajne”
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1. Przestrzeń probabilistyczna. Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa. Klasyczna
definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne.
2. Prawdopodobieństwo warunkowe. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
i wzór Bayesa. Przykłady zastosowań obu wzorów.
3. Niezależność zdarzeń i zmiennych losowych. Model probabilistyczny dla
ciągu niezależnych doświadczeń. Schemat Bernoulliego i twierdzenie
Poissona.
4. Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa. Dystrybuanty, gęstości.
Typy rozkładów (dyskretne, ciągłe). Parametry rozkładów (wartość
oczekiwana i wariancja).
5. Ważniejsze rozkłady prawdopodobieństwa (Bernoulliego, Poissona, wykładniczy,
gaussowski). Przykłady zagadnień, w których pojawiają się poszczególne
rozkłady.
9
6. Twierdzenia graniczne: prawa wielkich liczb, twierdzenie de Moivre’a Laplace’a i centralne twierdzenie graniczne. Przykłady zastosowań.
Literatura:
S.Zubrzycki ”Wykłady z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
matematycznej”
MATEMATYKA OBLICZENIOWA
1. Numeryczne rozkłady macierzy: trójkątno-trójkątny (LU) i ortogonalnotrójkątny (QR). Zastosowania do rozwiązywania układów równań algebraicznych
liniowych. Koszt, własności numeryczne.
2. Normy wektorowe i macierzowe oraz ich własności. Wrażliwość numerycznych
rozwiązań układu równań liniowych na zaburzenia danych.
3. Metody numerycznego rozwiązywania równań nieliniowych skalarnych.
Szybkość i warunki zbieżności tych metod.
4. Metody numerycznego rozwiązywania zagadnienia własnego macierzy
symetrycznej. Zbieżność i koszt tych metod.
5. Kwadratury interpolacyjne i złożone dla numerycznego całkowania funkcji
jednej zmiennej. Zbieżność kwadratur złożonych.
6. Interpolacja. Aproksymacja w przestrzeniach unitarnych oraz jednostajna.
Zastosowania w matematyce obliczeniowej.
Literatura:
J.M.Jankowscy, M.Dryja ”Przegląd metod i algorytmów numerycznych”
TI,II
10