pojemnik - Politechnika Warszawska

Politechnika Warszawska
Wydziaª Elektryczny
Teoria optymalizacji
POJEMNIK
ZADANIE PROBLEMOWE
Laboratorium metod optymalizacji
Temat ¢wiczenia: Zadanie problemowe - pojemnik
Prowadz¡cy: doc. dr in». Krzysztof Amborski
Wykonawca: Paweª No»ykowski, 207449
Spis tre±ci
1 Tre±¢ zadania
2
2 Analiza zadania
2
3 Wykonanie zadania
3
4 Wnioski
4
1
1
Tre±¢ zadania
Blaszane pojemniki bez pokrywy w ksztaªcie prostopadªo±cianów o obj¦to±ci 0,25 m3 maj¡ by¢ produkowane z dwóch rodzajów blachy. Dno pojemnika powinno by¢ wykonane z blachy o grubo±ci 4 mm, ±ciany
boczne za± z blachy o grubo±ci 2 mm. Blacha cienka pochodzi z odpadków i na jeden pojemnik nie wolno
zu»y¢ wi¦cej ni» 2,66 m2 . Odbiorca pojemników wymaga, aby ich szeroko±¢ nie przekraczaªa 60 cm,
wysoko±¢ natomiast zawieraªa si¦ w przedziale od 50 do 75 cm. Zakªadaj¡c, »e ci¦»ar 1 m2 blachy jest
proporcjonalny do jej grubo±ci, sformuªowa¢ zadanie zaprojektowania pojemnika o minimalnym ci¦»arze.
2
Analiza zadania
±ciany
dno pojemnika
y
z
4mm
x
2mm
Na podstawie tre±ci zadania mo»emy uªo»y¢ nast¦puj¡ce ograniczenia:
1.
Blaszane pojemniki bez pokrywy w ksztaªcie prostopadªo±cianów o obj¦to±ci 0,25
m3 (1)
x · y · z = 0, 25
2.
Blacha cienka pochodzi z odpadków i na jeden pojemnik nie wolno zu»y¢ wi¦cej ni» 2,66
(2)
2 · x · y + 2 · y · z ≤ 2, 66
3.
Odbiorca pojemników wymaga, aby ich szeroko±¢ nie przekraczaªa 60
cm
x ≤ 0, 6
4.
wysoko±¢ natomiast zawieraªa si¦ w przedziale od 50 do 75
y
≥ 0, 5
y
≤ 0, 75
cm.
5. Dodatkowo musimy wprowadzi¢ ograniczenia wynikaj¡ce z praw zyki:
x>0
z>0
2
m2 .
Funkcja celu, któr¡ b¦dziemy minimalizowa¢ wynika z ostaniego zdania:
Zakªadaj¡c, »e ci¦»ar 1
m2
blachy jest proporcjonalny do jej grubo±ci, sformuªowa¢ zadanie zaprojektowania pojemnika o minimalnym
ci¦»arze.
(3)
f (x, y, z) = 0, 004 · x · z + 0, 002 · (2 · x · y + 2 · y · z)
Przeksztaªcaj¡c równanie (1) do postaci:
z=
0, 25
x·y
i wstawiaj¡c do funkcji celu (3) otrzymujemy now¡ posta¢ funkcji celu:
f (x, y) = 0, 004 ·
0, 25
0, 25
+ 0, 002 · (2 · x · y + 2 ·
)
y
x
upraszczaj¡c:
f (x, y) = 0, 001 · (4 · x · y +
1
1
+ )
x y
Poniewa» staªa 0, 001 przed nawiasem nie wpªynie na wynik optymalizacji mo»emy ja pomina¢ i ostatecznie:
f (x, y) = 4 · x · y +
Ograniczenie (2) przyjmie posta¢:
2·x·y+
3
1
1
+
x y
1
≤ 2, 66
2·x
Wykonanie zadania
Zadanie zostaªo wykonane z u»yciem ±rodowiska Matlab i pakietu Optimalization Toolbox.
™ródªo 1 myfun.m
function
f = 4
*
[ f ] = myfun ( x )
x(1)
*
x ( 2 ) + 1/ x ( 1 ) + 1/ x ( 2 ) ;
™ródªo 2 mycon.m
function
c = 2
*
[ c , c e q ] = mycon ( x )
x(1)
*
x(2) + 0.5
*
(1/ x ( 1 ) )
−
2.66;
ceq = [ ] ;
™ródªo 3 opt_zad.m
function
opt_zad
clc ;
o p t i o n s = o p t i m s e t ( ' MaxIter ' ,
' tolfun ' ,
1 e − 10 ,
x0 = [ 0 . 1
0.1]
lb = [ 0 . 0
0.5]
ub = [ 0 . 6
0.75]
[x,
' tolcon ' ,
500 ,
' Display ' , 'iter ' ,
' MaxFunEvals ' , 5 0 0 , 'TolX ' ,
1 e − 10 ,
f v a l ] = f m i n c o n ( ' myfun ' , x0 ,
[] ,
[] ,
[] ,
disp ( 'x = ' ) ;
disp ( x ) ;
disp ( 'f(x) = ' ) ;
disp ( f v a l ) ;
3
[] ,
lb ,
ub ,
1e −10);
' mycon ' , o p t i o n s ) ;
Uzyskany wynik przedstawia poni»szy listing:
Listing 1 Wynik oblicze«
x0 = 0 . 1 0 0 0
lb =
0.1000
0
0.5000
ub = 0 . 6 0 0 0
0.7500
Max
I t e r F−c o u n t
0
3
Line
f (x)
constraint
12.1996
2.44
search
Directional
F i r s t −o r d e r
steplength
derivative
optimality
1
6
4.8
0
1
0.267
97.7
2
10
4.76667
0
0.5
0.04
1.47
3
13
4.76515
0
1
0.000953
0.0373
4
16
4.76505
0
1
0.00179
5
19
4.76505
0
1
− 8.64 e −06
5 . 1 4 e −09
2 . 1 1 e −05
6
22
4.76505
0
1
0
2 . 8 e −08
Optimization
terminated :
and maximum c o n s t r a i n t
Active
lower
inequalities
upper
( to
first
−o r d e r
violation
within
ineqlin
is
optimality
less
than
measure
less
than
o p t i o n s . TolFun
o p t i o n s . TolCon .
o p t i o n s . TolCon = 1 e − 1 0 ) :
ineqnonlin
1
x = 0.6000
0.6455
f (x) = 4.7651
Optymalnym rozwi¡zaniem jest zatem:
x =
0, 600
y
z
=
=
0, 645
0, 646
f (x, y, z)
=
4, 765
Wszystkie zmienne mieszcz¡ si¦ w przyj¦tych ograniczeniach.
4
Wnioski
Udaªo si¦ zaprojektowa¢ pojemnik o minimalnym ci¦»arze. ‘rodowisko Matlab okazaªo si¦ bardzo przydatne i przyjazne.
4