Wstęp do matematyki, 2016/2017 ćwiczenia 11.

Wstęp do matematyki, 2016/2017
ćwiczenia 11.
21 grudnia 2016
Zadania
1. Znajdź moc zbioru:
ˆ A = {A ⊆ N ∖ {0}∶ ∀n∈N∖{0} ∣A ∩ {1, 2, . . . , n}∣ ≥ n − 2011},
ˆ B = {A ⊆ N ∖ {0}∶ ∀n∈N∖{0} ∣A ∩ {1, 2, . . . , 2n}∣ = n},
2. Załóżmy, że X ⊆ R jest nieprzeliczalny. Czy zbiór {x2 ∶ x ∈ X} też jest wtedy zawsze nieprzeliczalny?
Odpowiedź uzasadnij.
3. Znajdź wszystkie relacje równoważności na zbiorze {1, 2, 3}. Wskaż podziały im odpowiadające.
4. Udowodnij, że ∼ jest relacją równoważności w zbiorze X. Znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji oraz
moc zbioru ilorazowego.
ˆ (ℵ) X = Mn×n (R), A ∼ B ⇔ det A = det B,
ˆ X = R, x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z,
ˆ X = P (N) ∖ {∅}, A ∼ B ⇔ (min A = min B ∧ sup A = sup B), przyjmujemy, że jeśli A jest nieograniczony, to sup A = ∞.
ˆ X = NN , f ∼ g ⇔ ∀n∈N 2∣(f (n) − g(n)).
5. (ℶ) Niech X będzie zbiorem wszystkich funkcji niemalejących N → N oraz ∼⊆ X 2 będzie zadane następująco:
f ∼ g ⇔ (∀m ∃n g(n) ≥ f (m)) ∧ (∀k ∃l f (l) ≥ g(k))
ˆ Wykaż, że ∼ jest relacją równoważności.
ˆ Znajdź moce zbiorów [f ]∼ oraz [g]∼ , gdzie f (n) = 100, g(n) = n2 .
ˆ Znajdź moc zbioru X/ ∼.
6. (ℷ) Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych. Dla dowolnej
funkcji S∶ N → R definiujemy relację R∞ (S) = {⟨x, y⟩ ∈ N2 ∶ ∃i∈N ∀j≥i xS(j)y}. Wykazać, że dla każdego
S∶ N → R relacja R∞ (S) jest relacją równoważności. Czy R∞ jest funkcją na R?
Zadania domowe
1. Niech ∼⊆ (QN )2 będzie zdefiniowane następująco f ∼ g ⇔ ∀n ∣f (n)∣ = ∣g(n)∣. Udowodnij, że ∼ jest relacją
równoważności, znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji i moc zbioru ilorazowego.
2. Niech X = {k ∈ Z∶ 0 < ∣k∣ ≤ 2016} oraz ≃ będzie relacją równoważności zadaną następująco: m ≃ l ⇔
(19∣(m − l) ∧ m ⋅ l > 0). Znajdź ∣X/ ≃ ∣.
1