plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAŁ W POZNANIU
Vol. 26 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2006
ANDRZEJ WITEK * , RAFAŁ GRZEJDA ∗∗
ANALIZA PROCESU WPROWADZANIA NAPIĘCIA WSTĘPNEGO
W NIESYMETRYCZNYM, NIELINIOWYM POŁĄCZENIU
WIELOŚRUBOWYM
Przedstawiono modelowanie i obliczenia dowolnego, niesymetrycznego połączenia wielośrubowego na etapie wprowadzania obciążenia wstępnego. Przyjęto fizyczny model połączenia utworzony przez podatny element kołnierzowy mocowany do nieodkształcalnej ostoi za pomocą liniowych elementów sprężystych zastępujących śruby złączne. Umowną warstwę stykową pomiędzy
kołnierzem a ostoją opisano za pomocą nieliniowego modelu Winklera. Sformułowano model
obliczeniowy układu umożliwiający analizę wpływu kolejności dokręcania śrub na rozkład napięcia wstępnego zarówno podczas montażu połączenia wielośrubowego, jak i po jego zakończeniu.
Opracowano iteracyjny algorytm obliczeń. Zamieszczono przykładowe obliczenia rozkładu sił w
poszczególnych śrubach w asymetrycznym połączeniu wielośrubowym. Porównano wyniki obliczeń uzyskane z wykorzystaniem modeli zbudowanych z elementów skończonych i sztywnych
elementów skończonych.
Słowa kluczowe: połączenie wielośrubowe, model nieliniowy, napięcie wstępne
1. WPROWADZENIE
Proces obliczeń połączeń wielośrubowych składa się z dwóch etapów: pierwszy dotyczy napinania wstępnego śrub w czasie montażu połączenia, a drugi –
wprowadzania roboczego obciążenia połączenia. Z rozpoznania literaturowego
wynika, że sam proces napinania śrub jest często pomijany. W obliczeniach
zakłada się jednakowy stan wstępnego obciążenia wszystkich śrub tworzących
złącze i równomierne przyleganie powierzchni łączonych elementów po zakończeniu montażu. Tymczasem końcowy stan obciążenia połączenia po operacji
zaciskania wstępnego jest uzależniony od kolejności napinania śrub. Zjawisko to
opisano m.in. w pracy [1] na przykładzie modelu symetrycznego złącza kołnierzowego. Niniejsze opracowanie dotyczy teoretycznych badań procesu napinania wstępnego dowolnych połączeń wielośrubowych.
*
**
Dr hab. inż.
Mgr inż.
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn Politechniki Szczecińskiej.
A. Witek, R. Grzejda
262
Punktem wyjścia podjętych rozważań jest metoda modelowania dowolnego
połączenia wielośrubowego zaproponowana w pracy [5], polegająca na opisie
nieliniowego modelu sprężystości złącza z wykorzystaniem zapisu wektorowo-macierzowego stosowanego w metodzie sztywnych elementów skończonych
(MSES) [3]. Obecnie, w celu zwiększenia stopnia adekwatności modelu połączenia do układu rzeczywistego postanowiono uwzględnić podatność własną
kołnierza, wykorzystując do modelowania układu metodę elementów skończonych (MES) [6]. Rozwiązanie równań równowagi modelu otrzymuje się
w iteracyjnym procesie obliczeń, determinowanym zmiennością struktury modelu, jednostronnością więzów nałożonych na model kołnierza i nieliniowymi
charakterystykami styku.
2. OGÓLNY MODEL OBLICZENIOWY POŁĄCZENIA WIELOŚRUBOWEGO
Ogólna struktura modelu połączenia wielośrubowego wynika z koncepcji
przedstawionej w pracy [5]. Model jest zbudowany z odkształcalnego korpusu
kołnierza, mocowanego do nieodkształcalnej ostoi za pomocą m jednostronnych
sprężyn liniowych, zastępujących śruby złączne (rys. 1b). Strefę kontaktu pomiędzy kołnierzem a ostoją zastępuje się umowną warstwą sprężystą typu winklerowskiego, opisaną zbiorem n jednostronnych sprężyn nieliniowych [4].
a)
c)
b)
Rys. 1. Połączenie wielośrubowe: a) schemat konstrukcyjny połączenia, b) opis sprężystych właściwości układu, c) model połączenia
Fig. 1. Multi-bolted joint: a) diagram of the joint, b) description of system spring properties, c)
model of the joint
Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego ...
263
Równanie równowagi układu (rys. 1c) zapisuje się w postaci:
Kq= p
(1)
gdzie: K – macierz sztywności,
q – wektor przemieszczeń uogólnionych,
p – wektor sił uogólnionych (obciążeń zewnętrznych).
W analizowanym połączeniu wielośrubowym można wyróżnić 3 podukłady
o określonych cechach fizycznych, geometrycznych i funkcjonalnych:
− m-elementowy zbiór śrub złącznych – podukład B,
− s-wymiarowy element korpusowy kołnierza – podukład F,
− n-elementowy zbiór nieliniowych sprężyn, modelujących styk – podukład C.
Wskutek przyjętego podziału na podukłady wektory przemieszczeń i sił
uogólnionych można zapisać jako
q = col(qB , qF , qC )
(2)
p = col( pB , pF , pC )
(3)
Po uwzględnieniu formy zapisu wektorów (2) i (3) równanie równowagi (1)
przyjmuje postać:
⎡ K BB
⎢K
⎢ FB
⎢⎣ 0
K BF
K FF
K CF
0 ⎤ ⎡q B ⎤ ⎡ pB ⎤
K FC ⎥ ⋅ ⎢ qF ⎥ = ⎢ pF ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K CC ⎥⎦ ⎢⎣qC ⎥⎦ ⎢⎣ pC ⎥⎦
(4)
gdzie:
KBB, KFF, KCC – macierze sztywności podukładów B, F i C,
KBF, KFB, KFC, KCF – macierze sprzężeń sprężystych pomiędzy podukładami B, F i C.
Równanie (4), po wykonaniu mnożenia bloków macierzy, można przedstawić
w formie układu trzech równań macierzowych:
K BB qB + K BF qF = pB
(5)
K FB qB + K FF qF + K FC qC = pF
(6)
K CF qF + K CC qC = pC
(7)
Zdefiniowany w ten sposób model złącza wielośrubowego umożliwia wyznaczenie wartości sił działających na śruby w czasie napinania połączenia i po
jego zakończeniu.
A. Witek, R. Grzejda
264
3. MODEL OBLICZENIOWY POŁĄCZENIA WIELOŚRUBOWEGO
NA ETAPIE NAPINANIA WSTĘPNEGO
Proces wprowadzania napięcia wstępnego układu złożony jest z m kroków,
odpowiednio do liczby śrub tworzących złącze (rys. 2).
Rys. 2. Proces napinania połączenia wielośrubowego
Fig. 2. Preloading process of a multi-bolted joint
Do opisu stanu równowagi układu w pierwszym kroku obliczeń iteracyjnych
wykorzystuje się równania (6) i (7) zapisane w postaci:
⎡ K FF
⎡ K FB ⎤
⎢
⎥ qB + ⎢ K
⎣ 0 ⎦
⎣ CF
K FC ⎤ ⎡ q F ⎤ ⎡ pF ⎤
⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥
K CC ⎦ ⎣qC ⎦ ⎣ pC ⎦
(8)
Po uwzględnieniu warunków brzegowych
pF = 0, pC = 0
(9)
które oznaczają, że na układ nie działają siły zewnętrzne, równanie (8) przyjmuje postać:
⎡ K FF
⎢
⎣ K CF
K FC ⎤ ⎡ qF ⎤
⎡ K FB ⎤
⎥⎢ ⎥=−⎢
⎥ qB
K CC ⎦ ⎣qC ⎦
⎣ 0 ⎦
(10)
Po rozpisaniu prawej strony równania (10) otrzymuje się wyrażenie:
P1 = − K FB q B
(11)
Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego ...
265
przy czym P1 jest wektorem siły napięcia wstępnego pierwszej śruby. Po
uwzględnieniu wyrażenia (11) równanie równowagi układu (10) przyjmuje ostatecznie postać:
⎡ K FF
⎢K
⎣ CF
K FC ⎤ ⎡ qF ⎤ ⎡ P1 ⎤
=
K CC ⎥⎦ ⎢⎣qC ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
(12)
W wyniku rozwiązania równania (12) otrzymuje się między innymi wektor
przemieszczeń sprężyn nieliniowych, opisujących właściwości umownej warstwy stykowej:
(
qC = col qC1 , qC 2 ,..., qCj ,..., qCn
)
(13)
Przemieszczenie qCj sprężyny nieliniowej j określa się metodą siecznych [4]
(rys. 3a), poszukując w kolejnych iteracjach takich wartości sił reakcji, dla których
RCj − RC' j
RCj
gdzie:
≤ε
(14)
RCj – reakcja w sprężynie nieliniowej,
R’Cj – reakcja w zastępczej sprężynie liniowej,
ε – dopuszczalny błąd względny.
a)a) R
b)
b) R
R’Cj
R’Cj
RCj
RCj
O
q
qCj
O
O’
qoCj
q*Cj
q
qCj
Rys. 3. Linearyzacja charakterystyk nieliniowych: a) na etapie napięcia wstępnego, b) po przyłożeniu obciążenia zewnętrznego
Fig. 3. Linearization of nonlinear characteristics: a) under preload, b) after applying an external
load
266
A. Witek, R. Grzejda
W wyniku rozwiązania równania (12) otrzymuje się także wektor przemieszczeń modelu kołnierza qF. Mając na uwadze, że z założenia pB = 0, na podstawie
równania (5) otrzymuje się
B
K BB q B = − K BF q F
(15)
Z równania (15) oblicza się wektor qB przemieszczenia pierwszej (napiętej)
sprężyny liniowej, a tym samym wydłużenie pierwszej śruby
B
qB = (qB1 )
(16)
Stan równowagi układu po wprowadzeniu napięcia wstępnego pierwszej śruby
opisuje ostatecznie równanie (6), które dla pF = 0 można przedstawić w postaci:
K FF q F = − (K FB q B + K FC qC )
(17)
Napięty wstępnie i pozostający w równowadze układ n sprężyn nieliniowych
i jednej (napiętej) sprężyny liniowej podlega obciążeniu kolejnymi siłami zacisku wstępnego. W k kroku obliczeń wektor sił uogólnionych działających na
model kołnierza pFk przyjmuje postać:
pFk = col (Pk ,0,0) dla k = 2, m
(18)
Po przyłożeniu siły Pk stan równowagi rozpatrywanego układu opisuje równanie (6), które obecnie przyjmuje postać:
(
K FF qFk = pFk − K FB qBo + K FC qCo
)
dla k = 2, m
(19)
W równaniu (19) przy symbolach obliczonych na poprzednim etapie wektorów przemieszczeń (16) i (13) umieszczono górne indeksy (o), by zaznaczyć w
ten sposób, że stanowią one warunki początkowe obecnego etapu rozwiązywania zadania. W wyniku rozwiązania układu równań (19) otrzymuje się wektor
przemieszczeń uogólnionych modelu kołnierza qFk. Z kolei na podstawie równań
(5) i (7) po spełnieniu warunków:
pB = 0, pC = 0
(20)
K BB qB* = − K BF qFk
(21)
K CC qC* = − K CF qFk
(22)
otrzymuje się
Tym razem symbole wektorów przemieszczeń (16) i (13) z górnym indeksem
(*) oznaczają, że przemieszczenia mierzone są od punktów pracy sprężyn wyznaczonych w poprzednim etapie analizy napięcia wstępnego układu. Zatem
Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego ...
267
bezwzględne przemieszczenia tych sprężyn, zastępujących śruby i opisujących
właściwości styku, określa się z zależności:
qBk = qBo + qB*
(23)
qCk = qCo + qC*
(24)
Uzyskanie ujemnej wartości którejkolwiek ze składowych wektorów (23)
i (24) oznacza wyłączenie z pracy jednostronnej sprężyny. Fakt ten pociąga za
sobą w kolejnym kroku iteracji konieczność modyfikacji macierzy KFB i KFC.
Drugim powodem iteracyjnego procesu obliczeniowego w k kroku jest nieliniowość sprężyn modelujących styk. W tym przypadku linearyzacja układu odbywa
się zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 3b.
W każdym k+1 kroku obliczeń wektor przemieszczeń k napiętych sprężyn liniowych przybiera postać:
qB(k +1) = col(qB(k -1) , qBk )
(25)
Podobnie jak w przypadku napinania wstępnego pierwszej śruby, iteracyjny
proces w kolejnych krokach obliczeń zostaje zakończony, gdy spełniony będzie
warunek (14).
4. OBLICZENIA POŁĄCZENIA WIELOŚRUBOWEGO NA ETAPIE
NAPINANIA WSTĘPNEGO
Zgodnie z przedstawioną metodą wykonano obliczenia niesymetrycznego połączenia kołnierzowego zaciskanego za pomocą 16 śrub w kolejności pokazanej
na rys. 4a. Obrys zewnętrzny kołnierza mieści się w granicach prostokąta o wymiarach 160×180 mm. Grubość płyty h wynosi 20 mm.
a)
b)
Rys. 4. Złącze wielośrubowe: a) schemat, b) uproszczony model wykorzystywany w MES
Fig. 4. Multi-bolted joint: a) diagram, b) simplified FEM-based model
A. Witek, R. Grzejda
268
1 -Śruba nr 1
1 6 -Śruba nr 2
42
40
38
36
34
32
30
a)
42
40
38
36
34
32
30
1 ,9
13
5
11
3
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
2
1 5 -Śruba nr 1 0
2 -Śruba nr 9
42
40
38
36
34
32
30
1 ,9
13
5
11
3
15
7
42
40
38
36
34
32
30
12
4
16
8
14
6
10
10
2
3 -Śruba nr 1 3
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
13
5
11
3
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
6
4 -Śruba nr 5
Siła w śrubie, kN
2
1 4 -Śruba nr 6
10
2
1 3 -Śruba nr 1 4
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
5
11
3
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
14
5 -Śruba nr 1 1
6
10
2
10
2
1 2 -Śruba nr 8
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
11
3
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
8
14
6 -Śruba nr 3
6
1 1 -Śruba nr 1 6
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
3
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
16
8
7 -Śruba nr1 5
14
6
10
2
10
2
1 0 -Śruba nr 4
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
15
7
12
4
16
8
14
6
10
2
4
16
8
8 -Śruba nr7
14
6
9 -Śruba nr1 2
42
40
38
36
34
32
30
42
40
38
36
34
32
30
7
12
4
16
8
14
6
10
2
12
4
16
8
14
6
10
2
Numery śrub w kolejności napinania
Siła w śrubie, kN
b)
42
40
38
36
34
32
30
1
9
13
5
11
3
15
7
12
4
16
8
Numer śruby
Rys. 5. Porównanie wyników obliczeń
Fig. 5. Comparison of analysis results
14
6
MES
10
2
MSES
Analiza procesu wprowadzania napięcia wstępnego ...
269
Charakterystyki sprężyn nieliniowych opisano wielomianem
(
R j = A j a1δ j + a 2 δ 2j + a 3 δ 3j
)
(26)
o wartościach współczynników [2]: a1 = 43,9 N/mm3, a2 = 18,4·103 N/mm4, a3 =
= 3,1·106 N/mm5. Przyjęto napięcie wstępne poszczególnych śrub siłą 40 kN.
Model dyskretny połączenia zbudowany z elementów skończonych pokazano na
rys. 4b.
Na rysunku 5 przedstawiono przykładowe wyniki obliczeń. Na rysunku 5a
w dwóch kolumnach zestawiono przebieg zmienności siły napięcia wstępnego
w poszczególnych śrubach w czasie całego procesu napinania. Na rysunku 5b
pokazano wykres wartości sił w śrubach po zakończeniu procesu napinania śrub.
Otrzymane wyniki porównano z wynikami obliczeń uzyskanymi dla nieodkształcalnego kołnierza, zgodnie z metodą przedstawioną w pracy [5].
Wartości napięcia wstępnego w poszczególnych śrubach w czasie procesu
napinania i po jego zakończeniu wyznaczone dla modelu z nieodkształcalnym
korpusem w większości przypadków są mniejsze niż dla modelu z korpusem
odkształcalnym. Przyjęcie nieodkształcalnego modelu korpusu może powodować zaniżenie wartości wynikowego napięcia wstępnego śrub.
5. PODSUMOWANIE
Opracowany model obliczeniowy dowolnego, niesymetrycznego połączenia
wielośrubowego może być efektywnie wykorzystany w analizie zmienności
obciążenia układu śrub na etapie napinania wstępnego elementów konstrukcji
spełniających przyjęte założenia modelowe. Model ten umożliwia ocenę wpływu
kolejności napinania śrub na proces kształtowania wartości sił w śrubach przed
przyłożeniem do układu siły zewnętrznej. Opracowane procedury obliczeniowe
mogą być efektywnie wykorzystane do wyznaczania takiego napięcia wstępnego
poszczególnych śrub, które będzie gwarantowało możliwie równomierny rozkład nacisków w styku przy dowolnym rozmieszczeniu śrub.
Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2004-2007 jako
projekt badawczy nr 4 T07C 05527.
LITERATURA
[1] Fukuoka T., Takaki T., Evaluations of bolt-up sequence of pipe flange using threedimensional finite element analysis, in: Proc. of the 1999 ASME Pressure Vessels and Piping
Conference, Boston 1999, s. 87–93.
[2] Konowalski K., Badania doświadczalne oraz modelowanie sztywności dynamicznej i tłumienia
styków połączeń spoczynkowych, Sprawozdanie z projektu badawczego nr 7 T07C 041 15,
Politechnika Szczecińska, Szczecin 2001 (niepublikowane).
A. Witek, R. Grzejda
270
[3] Kruszewski J. i in., Metoda sztywnych elementów skończonych w dynamice konstrukcji,
Warszawa, WNT 1999.
[4] Witek A., Grzejda R., Analysis of a nonlinear multi-bolted joint loaded by a normal force, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2005, vol. 25, nr 2, s. 211–219.
[5] Witek A., Grzejda R., Obliczenia obciążenia śrub podczas montażu niesymetrycznego połączenia wielośrubowego, in: Materiały XXII Sympozjonu „Podstawy konstrukcji maszyn”,
Gdynia–Jurata 2005, t. 4, s. 391–398.
[6] Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skończonych, Warszawa, Arkady 1972.
Praca wpłynęła do Redakcji 4.04.2006
Recenzent: dr hab. inż. Marian Ostwald
AN ANALYSIS OF THE PRELOAD OF A NONLINEAR MULTI-BOLTED JOINT
S u m m a r y
The paper presents a method of how to model and analyze any given asymmetrical multi-bolted
joint at the stage of introducing the preload. The adopted physical model of the connection is based
on a flexible flange element which is fastened to a rigid support by means of linear spring elements,
which replace coupling bolts. The conventional contact layer between the flange and the support is
defined using the nonlinear Winkler model. A computational model of the system is proposed, which
makes it possible to analyze how the order of applied bolt tension affects the preload distribution both
during the assembly of a multi-bolted joint and after it has been completed. An iterative algorithm of
the calculations was developed. The paper presents an example of how to calculate force distribution
in separate bolts comprising the asymmetrical, multi-bolted joint. The results obtained from the calculations that used the finite element method and those that were made using the rigid finite element
method are compared in the paper.
Key words: multi-bolted joint, nonlinear model, preload