Liczby zespolone

Liczby zespolone
Zadania przygotowawcze
1. Przedstawi¢ w postaci a + bi nastepuj¡ce liczby zespolone:
(a) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i) odp. 1 + 18i
(b)
(5 + i)(7 − 6i)
odp. 10 − 11i
3+i
(c) (2 + i)3 + (2 − i)3 ) odp. 4.
(d)
1 + i5
odp. 2.
1 − i3
2. Obliczy¢ i77 , i98 , i−57 . Odp. i, −1, −i.
3.Dowie±¢ równo±ci:
(a) (1 + i)8n = 24n , n ∈ Z; (b) (1 + i)4n = (−1)n 22n , n ∈ Z
4. Rozwi¡za¢ ukªady równa«:
(a) (1 + i)z1 + (1 − i)z2 = 1 + i
(1 − i)z1 + (1 + i)z2 = 1 + 3i
(b)
iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i
2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i
Odp. (a) z1 = i, z2 = 1 + i, (b) z1 = 2, z2 = 1 − i
5. Wyznaczy¢ liczby rzeczywiste x i y speªniaj¡ce równanie
(2 + i)x + (1 + 2i)y = 1 − 4i
Odp. x = 2, y = −3
6. Rozwi¡za¢ równania
(a) z 2 = 5 − 12i
(b) z 2 − 5z + 4 + 10i = 0
(c) z 2 + (2i − 7)z + 13 − i = 0
Odp. (a) = ±(3 − 2i), (b) z1 = 5 − 2i, z2 = 2i, (c) z1 = 5 − 3i, z2 = 2 + i
1
7. Udowodni¢, »e :
(a) liczba zespolona z jest liczb¡ rzeczywist¡ wtedy i tylko wtedy gdy z̄ = z
(b) liczba zespolona z jest liczb¡ czysto urojon¡ ( tzn. tak¡, ze jej
cz¦±¢ rzeczywista jest równa 0 ) wtedy i tylko wtedy gdy z̄ = −z
8. Wyznaczy¢ wszystkie liczby :
(a) sprz¦»one do swojego sze±cianu
(b) które s¡ sprz¦»one do minus swojego kwadratu
9 Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej liczby :
√
√
(a) 5; (b) i; (c) -2; (d) -3i; (e) 1-i; (f) 1 − i 3; (g) − 3 − i; (h) cos α − i sin α
Odp. (a) 5(cos 0 + i sin 0); (b) cos 21 π + i sin 12 π ; (c) 2(cos π + i sin π);
(d) 3(cos(− π2 ) + i sin(− π2 )); (e)
√
2(cos(− π4 ) + i sin(− π4 )); (f) 2(cos(− π3 ) + i sin(− π3 ))
(g) 2(cos(− 56 π) + i sin(− 56 π)) (h) cos(−α) + i sin(−α)
10. Obliczy¢:
√
(a) (1 + i)1000 ; (b) (1 + i 3)150 ; (c) (
√
3 + i 30
)
1−i
Odp. (a)250 ; (b) 2150 ; (c) 215 i
11. Wyrazi¢ w postaci wielomianów od sin x i cos x funkcje : (a) sin 4x; (b) cos 4x; (c) sin 5x;
(d) cos 5x
Odp. (a) 4 cos3 x sin x − 4 cos x sin3 x; obliczy¢ (cos x + i sin x)4 stosuj¡c wzór de Moivre'a i
wzór Newtona. (b) cos4 x − 6 cos2 x sin x + sin 4x; (c) 5 cos4 x sin x − 10 cosx sin3 x + sin5 x; (d)
cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x.
12. Obliczy¢:
r
p
√
8 + 24i
4
(a) 1; (b) −4; (c) 8 3i − 8; (d) 3
3−i
√
√
Odp. (a) {±1, ± 12 (1 + i 3), ± 12 (1 − i 3)}, (b) {1 ± i, −1 ± i},
√
√
√
√
√
(c) { 3 + i, −1 + 3i, − 3 − i, 1 − 3i}, (d) {± 3 + i, −2i}
√
6
√
4
2
13. Zobrazowa¢ na pªaszczy¹nie zbiór punktów odpowiadaj¡cym liczbom zespolonym z speª-
niaj¡cym warunki:
(a) |z| = 1, (b) arg z = π3 , (c) |z| ≤ 3, (d) |z + 3 + 4i| ≤ 5, (e) 1 ≤ |z − 2i| < 2 , (f)
|Rez| ≤ 1, (g) Imz = 1 , (h) −1 < Re iz < 0 (i) |z − 2| =Re z + 2
Odp.(a) Okr¡g o promieniu 1 i ±rodku w punkcie (0, 0), (b) póªprosta wychodz¡ca z pocz¡tku
ukªadu wspóªrzednych i tworz¡ca k¡t π3 z dodatni¡ póªosi¡ rzeczywist¡ , (c) koªo o promieniu 3 i
±rodku w punkcie (0, 0) wª¡cznie z brzegiem ,(d) koªo o ±rodku w punkcie (−3, −4) i promieniu
5 razem z brzegiem (e) pier±cie« zawarty mi¦dzy dwoma okr¦gami o ±rodku w punkcie (0, 2) i
promieniach 1 oraz 2 z wª¡czeniem okr¦gu o promieniu 1 i wyª¡czeniem okr¦gu o promieniu 2,
(f) pas zawarty mi¦dzy prostymi pionowymi x = −1 oraz x = 1, (g) prosta pozioma y = 1, (h)
pas mi¦dzy prostymi poziomymu y = 0 oraz y = 1, (i) parabola y 2 = 8x
3