Lista 3

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEN STWA I STATYSTYKA
MATEMATYCZNA
Lista nr 3
Zadania ze skryptu H. Jasiulewicz i W. Kordecki \Rachunek prawdopodobienstwa
i statystyka matematyczna"
2.3.1.
Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postac:
x (-1; ,1] (,1; 3] (3; 7] (7; 10] (10; 15] (15;1)
F (x)
0
0:15 0:25 0:4
0:85
1
a) Wyznaczyc rozklad prawdopodobienstwa zmiennej X.
b) Obliczyc P(0 < X < 7).
2.3.2.
Zmienna losowa X ma rozklad prawdopodobienstwa podany w tabeli:
xi ,3 ,2 ,1 0 1 2
pi 0:1 0:2 0:2 0:3 p 0:1
Podac rozklad prawdopodobienstwa zmiennej Y = X 2 + 2.
2.3.10. Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzucenie sz
ostki przy rzucie
kostka. Znalezc rozklad prawdopodobienstwa zmiennej losowej X. Obliczyc
prawdopodobienstwo, z_ e szostke wyrzucimy po raz pierwszy:
a) dokladnie w dziesiatym rzucie
b) najpozniej w dziesiatym rzucie
c) nie wczesniej ni_z w jedenastym rzucie.
2.3.13. Z partii 100 przedmiot
ow, wsrod ktorych jest 10 wykonanych wadliwie, wybrano losowo bez zwracania 5 sztuk. Niech X oznacza liczbe sztuk
wadliwych w probie. Znalezc rozklad i dystrybuante zmiennej X.
2.4.4. Niech zmienna losowa X ma g
estosc
(
x
dla x 2 (,=2; =2);
f (x) = A cos
0
poza odcinkiem (,=2; =2):
Obliczyc
a) parametr A,
b) P(=6 < X < =4).
c) Narysowac dystrybuante X.
2.4.6. Niech X ma rozklad normalny z parametrami = ,1:5, = 2. Korzystajac z tablic rozkladu normalnego N(0,1) obliczyc prawdopodobienstwa
a) P (jX j > 0:5
b) P (X 2 < 4)
c) P (eX > 1).
2.4.7. Asystent prowadz
acy zajecia ze statystyki przychodzi do sali na ogol
na dwie minuty przed wyznaczona godzina rozpoczecia zajec. Zakladajac, z_ e
czas przyjscia jest zmienna losowa o rozkladzie normalnym z = 2 min.
okreslic, jakie jest prawdopodobienstwo spoznienia sie tego asystenta na
zajecia.
Zadania spoza skryptu:
Wsrod klebkow pewnej partii bawelny znajduje sie 30% kolorowych.
Obliczyc prawdopodobienstwo, z_ e wsrod 10 losowo wybranych klebkow znajduja sie
a) 3 kolorowe
b) co najwy_zej 3 kolorowe.
2.
Prawdopodobienstwo traenia do celu jest p=0.6. Wiadomo, z_ e cel
zostanie zniszczony przy czwartym traeniu. Obliczyc prawdopodobienstwo,
z_ e cel zostanie zniszczony szostym strzalem.
3. Przeci
etna liczba wypadkow samochodowych w pewnej dzielnicy wynosi
10 na miesiac.
a) Znalezc prawdopodobienstwo tego, z_ e w nastepnym miesiacu wydarzy
sie 12 wypadkow.
b) Jakie jest prawdopodobienstwo tego, z_ e w nastepnym roku bedzie co
najmniej jeden miesiac, w ktorym wydarzy sie dokladnie 12 wypadkow.
4. Centrala telefoniczna obsluguje 100 abonent
ow. Ka_zdy z abonentow mo_ze
z prawdopodobienstwem 0; 1, niezale_znie od pozostalych, zamowic polaczenie
zewnetrzne. Jaka powinna byc minimalna ilosc polaczen zewnetrznych w
tej centrali, aby z prawdopodobienstwem 0; 9 zostaly zrealizowane wszystkie
zamowienia abonentow ? Podac rozwiazanie dokladne i przybli_zone.
5. Wybieramy losowo trzy liczby z odcinka [0,1]. Niech X oznacza najwi
eksza
z tych liczb z Y najmniejsza. Znalezc rozklady zmiennych X i Y.
6.
Urzadzenie sklada sie z 20 niezale_znie dzialajacych jednakowych elementow. Czas z_ ycia jednego elementu ( mierzony w godzinach ) ma rozklad
1
wykladniczy o parametrze = 500
. Jakie jest prawdopodobienstwo tego, z_ e
po 1500 godzinach dziala co najmniej jeden element ?
1.
Malgorzata Bogdan