OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 46, ISSN 1896-771X
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA
GEOTERMICZNEGO
Roman Szostek
Katedra Metod Ilościowych, Politechnika Rzeszowska
e-mail: [email protected]
Streszczenie
Celem pracy jest oszacowanie mocy geotermicznego źródła energii cieplnej, gdy energia jest pozyskiwana za
pomocą wymiennika ciepła. Przyjęto, że temperatura skał w dużej odległości od wymiennika jest w każdym
kierunku taka sama oraz że wymiennik ma kształt kuli. Dzięki temu możliwe jest oszacowanie maksymalnej mocy
systemu bez konieczności badania dynamiki rozchodzenia się ciepła w skałach. Praca wymiennika jest analizowana
w stanie ustalonym.
Model oraz wszystkie obliczenia są wynikami autora artykułu.
ESTIMATION THE POWER OF GEOTHERMAL SOURCE
Summary
Aim of this study is to estimate the power of geothermal source energy when the energy is obtained by means of a
heat exchanger. It is assumed that the temperature of rocks at large distances from the heat exchanger in each
direction is the same, and that the exchanger is in the shape of the sphere. This makes it possible to estimate the
power of the system without having to study the dynamics of propagation of heat in the rocks. The system is
analyzed in steady state.
The model and all calculations are the author's results.
1.
WPROWADZENIE
Uważa się, że źródłem energii cieplnej znajdującej
się
wewnątrz
Ziemi
są
głównie
rozpady
promieniotwórcze. Stosowane są obecnie metody
eksploatacji zasobów tej energii bazujące na
wykorzystaniu wody znajdującej się w głębokich
szczelinach skalnych, która posiada temperaturę
powyżej 65° Celsjusza (energia geotermalna).
Wymuszany jest obieg tej wody w zamkniętym
układzie, w którym woda ta transportuje energię
cieplną z wnętrza Ziemi na powierzchnię. Uzyskana
w ten sposób energia może być wykorzystywana do
produkcji
energii
elektrycznej,
podgrzewania
budynków lub w procesach technologicznych.
minerałów w przewodach, wymiennikach, zaworach
i pompach systemu. Wpływa to w znaczący sposób na
koszty eksploatacji systemu i ich awaryjność. Systemy
takie mają ograniczoną wydajność energetyczną, gdyż
mogą służyć do pozyskiwania energii cieplnej tylko ze
stosunkowo małych głębokości, na których występują
szczeliny z wodą.
Alternatywnym,
obecnie
perspektywicznym,
źródłem energii odnawialnej jest ciepło występującego
w skałach nieprzepuszczających wody, głównie
granitach, znajdujących się na dużych głębokościach
powyżej 5000m (energia geotermiczna). Temperatura
skał na tej głębokości może sięgać nawet 350°. Dzięki
umieszczeniu na dużej głębokości pod powierzchnią
Ziemi szczelnych wymienników ciepła możliwe będzie
pozyskiwanie dużych ilości energii przy pomocy
doprowadzonej z powierzchni wody, która nie będzie
miała bezpośredniego kontaktu ze skałami. Woda
Wykorzystywanie wody mającej bezpośredni
kontakt ze skałami ma znaczący wpływ na awaryjność
tych systemów, ponieważ skały ulegają rozpuszczeniu
w wodzie. Taka woda może być bardzo agresywna
chemicznie.
Dodatkowo
następuje
wytrącanie
117
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO
będzie krążyć w obiegu zamkniętym i
wcześniej uzdatniona. Dostępne dzisiaj
pozwalają na wykonanie odwiertów o
6000m i dużych, kilkumetrowych,
potrzebnych
do
wprowadzenia
wymienników.
może być
technologie
głębokości
średnicach
wydajnych
Ciepło przepływające przez sferę w jednostce czasu
ΔQ
=λ
S(R) ⋅ [T(R + ΔR) − T(R)]
Δt
gdzie:
S(R) – powierzchnia sfery o promieniu R,
T(R) – temperatura w odległości R od środka
wymiennika,
Instalacje
pozyskiwania
energii
z
dużych
głębokości będą bez wątpienia kosztowne. Konieczne
jest więc wykonanie modeli całego systemu oraz
przeprowadzenie symulacji jego działania, aby
zminimalizować straty wynikające z niewłaściwego
wykonania instalacji.
W ⋅m
] – współczynnik przewodnictwa
2
m ⋅K
cieplnego skał (z założenia skały są jednorodne).
λ [
Moc wymiennika wynosi więc:
2. MODEL I JEGO ANALIZA
M=
Przyjęto, że na dużej głębokości Ziemi został
umieszczony wymiennik ściśle przylegający do skał.
Wymiennik ma kształt kuli o promieniu R1. Przepływ
wody przez wymiennik jest regulowany w taki sposób,
że skały bezpośrednio przy wymienniku mają stałą w
czasie temperaturę T(R1). Dla uproszczenia przyjęto,
że temperatura w odległości R2 >> R1 od środka
wymiennika jest taka sama w każdym kierunku
wymiennika i wynosi T(R2) > T(R1). To właśnie te
odległe gorące skały są źródłem energii cieplnej.
Sytuacja jest przedstawiona na rys. 1.
ΔQ
= 4π λ ⋅ R
2 [T(R + ΔR) − T(R)]
Δt
(3)
= const(R, t)
Jeżeli ∆t→0, wtedy na podstawie (3) jest:
M = 4π λ ⋅ R
2 dT(R)
4π λ ⋅ dT(R) = M ⋅
1
dR
2
R
T(R)
R
4π λ ⋅ ∫ dT(R) = M ⋅ ∫
R1
−
(6)
1

R
(7)
Ostatecznie otrzymuje się:
R1
M
T(R) =
4π λ
R
R+∆R

1
⋅
−
 R1
1
 + T(R 1 )
R
(8)
W odległości R2 >> R1 od środka wymiennika
temperatura skał jest stała i wynosi T(R2). Z tego
warunku brzegowego i na postawie (8) można
wyznaczyć moc M wymiennika. Wystarczy do (8)
podstawić T(R)=T(R2) oraz R=R2, otrzymuje się
wtedy:
Rys. 1. Wymiennik o promieniu R1 umieszczony wewnątrz
skał
Pracujący wymiennik ciepła powoduje schłodzenie
skał w swoim otoczeniu. Ciepło do wymiennika
napływa przez grubą warstwę skał. W stanie
ustalonym temperatura skał w każdym punkcie jest
stała w czasie t., tak więc, strumień ciepła ∆Q/∆t
przepływający w kierunku wymiennika przez każdą
sferę nie będzie się zmieniał w czasie t. Jednocześnie z
prawa zachowania energii wynika, że strumień ciepła
∆Q/∆t nie będzie zależał od promienia R sfery. Jest
więc
(R, t) = const(R, t) =
1
 R1
∆Q
(5)
1
dR
2
R

Δt
(4)
dR
4ππ ⋅ [T(R) − T(R 1 )] = M ⋅ 
ΔQ
=
ΔR
T(R 1 )
ΔQ
(2)
ΔR
M=
4ππ ⋅ [T(R 2 ) − T(R 1 )]
1
1
−
R1
(9)
R2
Po wstawieniu (9) do (8) otrzymano
T(R) =
T(R 2 ) − T(R 1 )
1
R1
−
1

⋅
1
 R1
−
1
 + T(R 1 )
R
(10)
R2
Tak więc rozkład temperatury skał T(R) nie zależy
od współczynnika przewodnictwa cieplnego skał λ.
Przykładowy wykres temperatury T(R) został
przedstawiony na rys. 2.
(1)
Δt
118
Roman Szostek
T(R)
T(∞)=90
M [x106W]
10
80
70
60
50
40
30
T(R1)=2
10
00R =100
1
8
6
4
2
500
00
R [m]
1000
W pracy [4] przedstawione są rozwiązania
równania ciepła w układzie ze środkową symetrią dla
różnych warunków brzegowych. Równanie to jest
modelem procesów przejściowych w systemie, który
jest analizowany w tej pracy. Ponieważ rozwiązania te
mają złożoną postać, więc trudno jest na ich
podstawie oszacować metodami analitycznymi moc
systemu. Przedstawiona w pracy analiza stanu
ustalonego pozwala na oszacowanie mocy źródła
geotermicznego metodami analitycznymi.
W pracach [2] oraz [3] przedstawiono informacje
na temat energii zgromadzonej w gorących skałach
oraz perspektywy pozyskania tej energii w przyszłości.
Jak zostało wykazane w tej pracy, moc
geotermicznego źródła energii cieplnej zależy w stanie
ustalonym od promienia wymiennika w sposób
liniowy. Dlatego, aby uzyskać duże moce wymiennika,
konieczne jest zastosowanie stosunkowo dużych
wymienników.
Zwiększenie promienia wymiennika k razy
powoduje wzrost jego powierzchni k2 razy.
Wydawałoby się, że moc wymiennika powinna być
proporcjonalna do tej powierzchni wymiennika.
Jednak jak wynika z analizy przyjętego modelu, moc
wymiennika nie jest proporcjonalna do powierzchni
wymiennika, tylko do jego promienia. Efekt ten jest
skutkiem wpływu dużych warstw skał, które stanowią
barierę dla napływającego ciepła.
W rozważanym modelu przyjęte zostało, że
temperatura skał w dużej odległości od wymiennika
jest taka sama w każdym kierunku. W rzeczywistości
wysokie temperatury będą występować w skałach
położonych poniżej wymiennika, skąd będzie
napływała energia cieplna. Skały położone powyżej
wymiennika nie będą źródłem energii. Tak więc moc
rzeczywistego wymiennika będzie niższa niż moc
oszacowana przy pomocy rozważanego modelu.
Dlatego otrzymaną moc w postaci zależności (11)
należy traktować jako górne oszacowanie mocy
możliwej do uzyskania w rzeczywistym wymienniku.
(11)
jest
3. OSZACOWANIE MOCY
ŹRÓDŁA
GEOTERMICZNEGO
Przyjęto,
że
współczynnik
przewodnictwa
cieplnego skał (piaskowiec, kwarcyt, granit, anhydryt)
wynosi:
λ ≅3
W⋅m
2
(13)
m ⋅ °C
temperatura skał w dużej odległości od wymiennika
równa się:
T(R 2 ) = 900°C
(14)
temperatura skał bezpośrednio przy wymienniku jest
stabilizowana do wartości
T(R 1 ) = 200°C
(15)
Wtedy na podstawie (11) moc wymiennika wynosi
M ≅ 12π [900 − 200] ⋅ R 1 = 26376 ⋅ R 1 [W]
Moc wymiennika, dla
przedstawiono na rys. 3.
przyjętych
R1[m]
400
4. WNIOSKI
(12)
M ~ R1
300
Tak więc, aby uzyskać moc 2,6 MW, konieczny jest
wymiennik o promieniu co najmniej 100m.
Ponieważ R2 >> R1 ,więc można na podstawie (9)
przyjąć, że
Wynika stąd, że moc M wymiennika
proporcjonalna do promienia wymiennika R1.
200
Rys. 3. Zależność mocy wymiennika od promienia R1
Rys. 2. Wykres funkcji temperatury T(R) dla R1=100m,
T(R1)=200°C, T(∞)=900°C
M ≅ 4ππ [T(R 2 ) − T(R 1 )] ⋅ R 1
100
(16)
wartości,
119
OSZACOWANIE MOCY ŹRÓDŁA GEOTERMICZNEGO
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
Leja F.: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Warszawa: Wyd. Nauk. PWN,
2012.
Kozłowski R.H., Żakiewicz B.M.: Large capacity energy from Geo - Plutonic formation for power plants with zero
CO2 emissions. “Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering” 2010, 43/2, p. 790-795.
Kozłowski R.H.: Geothermic power plants of high capacity - how far? “Journal of Achievements in Materials and
Manufacturing Engineering” 2011, 49/2, p. 573-576.
Polyanin A. D.: Handbook of linear partial differential equations for engineers and scientists. Chapman &
Hall/CRC, 2002
Mac S.: Termodynamika. Warszawa: WSiP, 1980.
Proszę cytować ten artykuł jako:
Szostek R.: Oszacowanie mocy źródła geotermicznego. „Modelowanie Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15,
s. 117 – 120.
120