Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gda ska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra In ynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Schematy blokowe i ich przekształcanie
Materiały pomocnicze do wicze – termin T5
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in .
Michał Grochowski, dr in .
Robert Piotrowski, dr in .
Tomasz Rutkowski, dr in .
Gda sk, pa dziernik 2009
1
Wprowadzenie
Bardzo cz sto do opisu układu automatyki słu y schemat blokowy (schemat strukturalny).
Schemat blokowy układu informuje o powi zaniach pomi dzy poszczególnymi blokami
elementu/układu i sygnałami. Schemat blokowy zawiera informacje o dynamicznym
zachowaniu układu, a nie zawiera informacji o wła ciwo ciach fizycznych układu. Znajomo
schematu blokowego pomaga w wyznaczeniu opisu matematycznego układu i jego analizie.
Elementy schematu blokowego
Podstawowym elementem schematu blokowego jest blok (Rysunek 1) wewn trz którego
wpisywany jest pewien operator G( ) opisuj cy sposób transformacji sygnału wej ciowego X
w wyj ciowy Y (Rysunek 1) (tzw. transmitancja operatorowa rozwa ana w dziedzinie
cz stotliwo ci).
X
G(•)
Y
Rysunek 1. Przykładowy schemat blokowy
Rzadziej spotykane jest umieszczanie w tych blokach: równa ró niczkowych, odpowiedzi
skokowej dla elementów liniowych lub charakterystyk statycznych dla elementów
nieliniowych (w dziedzinie czasu).
Zmienne w schemacie blokowym powi zane s ze sob za pomoc bloków funkcjonalnych,
które oznaczaj operacje matematyczne wykonywane na sygnałach wej ciowych
i wyj ciowych.
W dalszej cz ci opracowania, dla uproszczenia zapisu zamiast notacji G( ) b dzie stosowany
zapis G.
Strzałki pomi dzy blokami oznaczaj kierunek przepływaj cych sygnałów. Zwrot strzałki
w kierunku bloku oznacza wej cie, a kierunek strzałki od bloku wskazuje wyj cie.
Okr g na schematach blokowych to w zeł sumacyjny oznaczaj cy algebraiczne sumowanie
sygnałów (Rysunek 2a). Znak „+” lub „–” oznacza odpowiednio, czy sygnał jest dodawany
czy odejmowany. Je eli znak nie został naniesiony wykonywane jest dodawanie. W zeł
sumacyjny mo e mie wiele sygnałów wchodz cych i jeden sygnał wychodz cy.
W zeł rozgał ny (zaczepowy, informacyjny) jest punktem, z którego sygnał rozchodzi si
do innych bloków lub w złów sumacyjnych (Rysunek 2b).
a).
b).
X1
X
X2 – +
+
X3
X
Y
X
X
W zeł sumacyjny
W zeł rozgał ny
Rysunek 2. Przykładowy w zeł sumacyjny i w zeł rozgał ny
Przykładem elementu spełniaj cego rol w zła sumacyjnego jest mieszek spr ysty pokazany
na Rysunku 3.
2
p1
k
A
y
p2
Rysunek 3. Mieszek spr ysty
gdzie:
A – powierzchnia mieszka,
k – współczynnik spr ysto ci,
p1 – ci nienie wej ciowe,
p2 – ci nienie wyj ciowe,
y – przesuni cie.
Sygnałami wej ciowymi s p1 i p2, za sygnałem wyj ciowym jest y.
Korzystaj c z Rysunku 3, równanie sił oddziałuj cych na mieszek spr ysty mo na opisa
równaniem:
(p
1
− p2 )⋅ A = k ⋅ y
(1)
Zatem, przekształcaj c powy sze w celu wyznaczenia sygnału wyj ciowego otrzymujemy:
y=
A
⋅ ( p1 − p 2 )
k
(2)
Sytuacj opisan zale no ci (2) mo na przedstawi za pomoc schematu pokazanego na
Rysunku 4.
p1
+
p1- p2
A
k
– p
2
y
Rysunek 4. Schemat blokowy mieszka spr ystego
Przykładem elementu spełniaj cego rol
pokazany na Rysunku 5.
w zła rozgał nego jest zbiornik ci nieniowy
p
p
p
Rysunek 5. Zbiornik ci nieniowy
gdzie:
p – ci nienie medium.
3
W zbiorniku ci nieniowym znajduje si medium o ci nieniu p, które przepływa ruroci giem
do dalszej cz ci układu. Zakładaj c, e w całym zbiorniku i wychodz cych z niego
przewodach panuje ci nienie p otrzymamy w zeł rozgał ny. Sytuacj t mo na przedstawi
za pomoc schematu pokazanego na Rysunku 6.
p
p
p
Rysunek 6. Schemat blokowy zbiornika ci nieniowego
Zło one schematy blokowe s cz sto przekształcane do postaci pojedynczego bloku.
W dalszej cz ci opracowania przedstawione zostan sposoby przekształcania schematów
blokowych.
Zadanie 1
Przekształci schemat blokowy wykorzystuj c przekształcenie G( ) układu zło onego z
dwóch elementów poł czonych równolegle (Rysunek 7).
G1
X
Y1
+
Y
+
G2
Y2
Rysunek 7. Schemat blokowy układu do Zadania 1
Rozwi zanie Zadania 1
Zale no ci mi dzy wyj ciem a wej ciem poszczególnych członów wynosz :
G1 =
G2 =
Y1
(3)
X
Y2
(4)
X
Równanie w zła sumacyjnego jest postaci:
(5)
Y = Y1 + Y 2
Przekształcenie G układu wynosi:
G=
Y
X
(6)
Ł cz c zale no ci (3) – (6) w konsekwencji otrzymujemy:
G=
Y1 + Y 2
X
=
Y1
X
+
Y2
X
4
= G1 + G 2
(7)
Uwaga:
Dla n elementów poł czonych równolegle zachodzi:
k
G = G1 + G 2 +
+ Gn =
(8)
Gk
n =1
Zadanie 2
Przekształci schemat blokowy wykorzystuj c przekształcenie G( ) układu pokazanego na
Rysunku 8.
X
X2
G1
–
X1
Y
G2
Rysunek 8. Schemat blokowy układu do Zadania 2
Rozwi zanie Zadania 2
Zale no ci mi dzy wyj ciem a wej ciem poszczególnych członów wynosz :
G1 ( s ) =
Y
X2
G2 (s) =
(9)
X1
(10)
Y
Ponadto wiadomo, e:
G1 ⋅G 2 =
Y X1 X1
⋅
=
X2 Y
X2
(11)
Równanie w zła sumacyjnego jest postaci:
X2 = X − X1
(12)
X = X2 + X1
Przekształcenie G( ) układu wynosi:
G=
Y
X
(13)
Ł cz c zale no ci (9), (10), (12) i (13) uzyskujemy:
G=
Y
X2 + X1
(14)
Dziel c wyrazy w zale no ci (14) przez X2 i wykorzystuj c zale no
Y
G=
X2
X2
X2
X
+ 1
=
X2
5
G1
1+ G1 ⋅G 2
(11) otrzymujemy:
(15)
Zadanie 3
Przekształci schemat blokowy wykorzystuj c przekształcenie G( ) układu pokazanego na
Rysunku 9.
G2
X
+
G4
–
+
G1
+
Y
G3
Rysunek 9. Schemat blokowy układu do Zadania 3
Rozwi zanie Zadania 3
SPOSÓB I
Po przeniesieniu w zła rozgał nego za człon G1 mamy:
1
G1
X
+
G4
–
G2
+
G1
+
Y
G3
Rysunek 9a. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 1
Stosuj c poł czenie szeregowe otrzymamy:
G2
G1
X
+
+
G 1G 4
–
+
Y
G3
Rysunek 9b. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 2
Stosuj c poł czenie z ujemnym sprz eniem zwrotnym i poł czenie równoległe mamy:
X
G 1G 4
1+G1G3G4
1+ G2/G 1
Y
Rysunek 9c. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 3
W konsekwencji mamy:
G = 1+
G2
G1
⋅
G1 ⋅ G 4
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
6
=
G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
(16)
SPOSÓB II
G2
X
+
–
X1
X2
G4
X5
G1
X4
X3 + +
Y
G3
Zgodnie ze schematem mamy:
X1 = X − X 5
(17)
X 2 = X 1 ⋅G4
(18)
X 3 = X 2 ⋅ G1
(19)
X 4 = X 2 ⋅G2
(20)
X 5 = X 3 ⋅ G3
(21)
Podstawiaj c zale no ci (18) – (21) do wyra enia (17) uzyskujemy:
X 1 = X − X 3 ⋅ G3
(22)
X 1 = X − X 2 ⋅ G1 ⋅ G 3
(23)
X 1 = X − X 1 ⋅ G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
(24)
X1 = X ⋅
1
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
(25)
Równocze nie mamy:
Podstawiaj c zale no
Y = X3 + X4
(26)
Y = X 2 ⋅ G1 + X 2 ⋅ G 2
(27)
Y = X 2 ⋅ ( G1 + G 2 )
(28)
Y = X 1 ⋅ ( G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4 )
(29)
(25) do wyra enia (29) ostatecznie uzyskujemy:
Y=X⋅
G=
G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
Y G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
=
X
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
7
(30)
(31)
Przeniesienie w zła rozgał nego
z wyj cia na wej cie bloku
Przeniesienie w zła rozgał nego
z wej cia na wyj cie bloku
Przeniesienie w zła sumacyjnego
z wyj cia na wej cie bloku
Przeniesienie w zła sumacyjnego
z wej cia na wyj cie bloku
Eliminowanie p tli sprz enia
Poł czenie szeregowe
Poł czenie równoległe
Nazwa przekształcenia
X
X
X
X
X
X
X
X
+
±
–
+
G1
G
X1
Y
G
G
X1
G2
G1
8
+
G
G2
G1
Y
Y
±
G2
±
+
Schemat wyj ciowy
Tabela 1. Podstawowe zasady przekształcania schematów blokowych
Y
Y
Y
X1
Y
Y
Podstawowe zasady przekształcania schematów blokowych pokazane s w tabeli 1.
Zasady przekształcania schematów blokowych
X
X
Y
X
X
G 1G 2
X
G
+
G
X
X
Y
X
±
+
Y
1/G
G
1/G
G
±
G1
1 ± G 1G2
lub
G 1±G 2
G
X
G
Y
Y
Y
Y
Y
X1
G 2G 1
X1
Schemat równowa ny
Y