Testowanie pierwszości

Testowanie pierwszości
PA, MZ
Do zdobycia jest 20 punktów. Wstępny próg przyjęcia na warsztaty to 12 punktów.
Zadanie 1 (2 pkt.). Udowodnić, że n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy n dzieli
wszystkie współczynniki dwumianowe
!
!
!
n
n
n
,
,...,
.
1
2
n−1
Pokazać, że jeżeli n jest pierwsza, to dla dowolnego wielomianu w(x) o współczynnikach
całkowitych mamy
w(x)n ≡ w(xn )
gdzie ≡ oznacza przystawanie modulo n.
Zadanie 2 (2 pkt.). Alicja i Bob mieszkają w różnych częściach Kleptolandii. Jedyną
formą komunikacji jest poczta opanowana przez złodziei. Dowolna niezabezpieczona kłódką
przesyłka zostaje ukradziona. Oboje dysponują nieograniczoną pulą kłódek, kluczyków i
pudełek. W jaki sposób Bob może przesłać Alicji pierścionek zaręczynowy? (Alicja została
uprzedzona o zamiarze i może współpracować z Bobem).
Zadanie 3 (1 pkt.). Pokazać, że istnieje 1648 kolejnych liczb całkowitych z których każda
jest podzielna przez sześcian liczby całkowitej większej niż 1.
Zadanie 4 (2 pkt.).
1. Pokazać, że jeżeli d|an − 1 i d|am − 1, to d|aNWD(n,m) − 1.
2. Niech p będzie liczbą pierwszą a r najmniejszym wykladnikiem takim, że p|ar − 1.
Pokazać, że dla każdego n zachodzi implikacja p|an − 1 ⇒ r|n.
k
3. Niech p będzie dzielnikiem pierwszym liczby 22 + 1. Pokazać, że p ≡ 1 mod 2k+1 .
4. Wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych przystających do 1
mod 128.
Zadanie 5 (2 pkt.). Dla liczby naturalnej n oznaczamy przez ϕ(n) liczbę liczb 1 ¬ k ¬ n
względnie pierwszych z n. Pokazać, że
1. ϕ(n · m) = ϕ(n) · ϕ(m) jeżeli n i m są względnie pierwsze,
2. ϕ(n) = n
3. n =
P
d|n
Q
p|n
1−
1
p
(iloczyn po dzielnikach pierwszych n),
ϕ(d) (suma po dodatnich dzielnikach n).
4. (Tw. Eulera) jeżeli a ∈ Z jest względnie pierwsze z n, wówczas aϕ(n) ≡ 1 mod n.
1
Zadanie 6. Niech n ∈ N, x ∈ Z będą względnie pierwsze. Rzędem x modulo n nazywamy
liczbę
σn (x) = min{a ­ 1 | xa ≡ 1 mod n}.
(1, 1 pkt.) Pokazać, że
1. σn (x) jest dobrze określone (zbiór {a ­ 1 | xa ≡ 1 mod n} jest niepusty),
2. σn (xk ) = σn (x)/ NWD(σn (x), k),
3. σn (xy) = σn (x) · σn (y) dla x, y ∈ Z względnie pierwszych z n i takich, że σn (x) i σn (y)
są względnie pierwsze,
4. jeżeli p jest liczbą pierwszą nie dzielącą x, to σp (x) dzieli p − 1,
(2, 2 pkt.) Niech p będzie liczbą pierwszą. Pokazać, że istnieje takie 0 < x < p, że
σp (x) = p − 1. Wskazówka. Niech r = N W W (σp (x) | 0 < x < p) i niech r = pa11 · . . . · pakk
będzie rozkładem r na czynniki pierwsze. Skonstruować x1 , . . . , xk o rzędach dokładnie
pa11 , . . . , pakk . Pokazać korzystając z (1.3), że istnieje takie 0 < x < p, że σn (x) = r.
Rozważając wielomian xr − 1 pokazać, że r = p − 1.
Dowolne takie x nazywamy generatorem modulo p. Nazwa bierze się stąd, że
{x, x2 , x3 , . . . , xp−1 } = {1, 2, 3, . . . , p − 1}
(jako zbiory reszt modulo p), czyli x „generuje” wszystkie niezerowe reszty modulo p.
Istotnie, reszty po lewej stronie są różne (gdyby xi ≡ xj dla pewnych 0 < i < j ¬ p − 1, to
wówczas xj−i ≡ 1, co przeczy σp (x) = p − 1 > j − i) i jest ich p − 1.
(3, 2 pkt.) Niech q = pk gdzie k > 1 oraz p jest nieparzystą liczbą pierwszą. Pokazać, że
istnieje takie 0 < x < q niepodzielne przez p, że σq (x) = q(1 − 1/p). Wskazówka. Indukcyjnie
ze względu na k skonstruować generator modulo pk .
(4*) Wyjaśnić, co się dzieje w powyższym punkcie dla p = 2.
Zadanie 7 (1 pkt.). Pokazać, że generatorów (patrz punkty (2) i (3) w poprzednim zadaniu)
modulo pk jest dokładnie ϕ(ϕ(pk )).
Zadanie 8 (1 pkt.). Niech p będzie liczbą pierwszą. Liczbę całkowitą a niepodzielną przez
p nazywamy resztą kwadratową modulo p jeżeli istnieje liczba całkowita b taka, że a ≡ b2
mod p. Udowodnić, że
a
(p−1)/2
≡



0
1
−1



gdy n ≡ 0,
gdy n jest resztą kwadratową modulo p,
gdy n nie jest resztą kwadratową modulo p.
Zadanie 9 (2 pkt.). Małe twierdzenie Fermata mówi, że jeżeli n jest liczbą pierwszą,
to dla dowolnego a względnie pierwszego z n mamy an−1 ≡ 1 mod n. Jednak powyższa
własność nie charakteryzuje liczb pierwszych — liczbę złożoną o tej własności nazywamy
2
liczbą Carmichaela (najmniejsza taka liczba to 561 = 3 · 11 · 17). Udowodnić, że n jest
liczbą Carmichaela wtedy i tylko wtedy, gdy n jest iloczynem różnych liczb pierwszych
n = p1 · . . . · pk (k > 1) oraz pi − 1 dzieli n − 1 dla i = 1, . . . , k. Wywnioskować, że każda
liczba Carmichaela jest iloczynem co najmniej trzech liczb pierwszych.
Zadanie 10 (2 pkt.).
3