POSZUKIWANIE ZER FUNKCJI F(x). Metoda punktu stałego Jeżeli

POSZUKIWANIE ZER FUNKCJI F(x).
Metoda punktu stałego
Jeżeli szukane jest miejsce zerowe funkcji f (x) to konstruujemy funkcję g(x) taką, że
f (x) = x − g(x) = 0 i szukamy punktu stałego wyrażenia x = g(x). Algorytm metody:
x0 = . . .
for k = 1, 2, . . .
xk = g(xk−1 )
if (znaleziono zero funkcji), stop
end
Zad. 1. Korzystając z metody punktu stałego znaleźć miejsce zerowe funkcji f (x) =
x − e−x . Jako punkt startowy przyjąć p0 = 0.5. Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia
p1 , p2 , p3 . Porównać je z wartością dokładną P = 0.5271.
Zad. 2. Korzystając z metody punktu stałego znaleźć miejsce zerowe funkcji f (x) =
−4 + 3x − 0.5x2 . Pokazać, że punkty P = 2, P = 4 są punktami stałymi funkcji g(x).
A) Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p1 , p2 , p3 dla punktu startowego p0 = 1.9 i
przedziału [1,3]; B) obliczyć trzy pierwsze przybliżenia p1 , p2 , p3 dla punktu startowego p0 = 3.8 i przedziału [3,5].
1
6 + 2x 3
1
3
Zad. 3. Pokazać, że funkcje g1 (x) = x 3 + 2, g2 (x) = (x − 2) , g3 (x) =
są
− 32
3
−
x
1
funkcjami iteracyjnymi w metodzie punktu stałego funkcji f (x) = x − x 3 − 2. Obliczyć
trzy pierwsze przybliżenia p1 , p2 , p3 startując z punktu p0 = 3.0. Obliczyć wartości bezwzględne funkcji g10 , g20 , g30 na przedziale [3,4]. Obliczyć błąd względny kolejnych iteracji
pk − pk−1
E(pk ) = |
|.
pk
function [k,p,err,P] = fixpt(g,p0,tol,max1)
% INPUT
% g - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file’u)
% p0 - startowy punkt iteracji
% tol - dokladnosc iteracji
% max1 - maksymalna liczba iteracji
%
% OUTPUT
% k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc
% p - obliczony punkt staly (miejsce zerowe)
% err - osiagniety blad bezwzgledny
% P - wektor kolejnych wartosci punktow \{pk\}
P(1)=p0;
for k:=2:max1
P(k)=feval(g,P(k-1));
err=abs(P(k)-P(k-1));
Metody numeryczne lista nr 4
1
relerr=err/(abs(P(k))+eps);
p=P(k);
if (err<tol) | (relerr<tol),break, end
end
if k==max1
disp(’przekroczono maksymalna liczbe iteracji’)
end
P=P’;
Metoda bisekcji
Zad. 4. Funkcja f (x) = x sin(x) jest określona na przedziale [0,2]. Korzystając z metody
bisekcji wyznaczyć a ∈ [0, 2] takie, że f (a) = 1.
Zad. 5. Dla podanej funkcji f (x) wyznacz początkowy przedział wartość [a, b] tak, aby
f (a) · f (b) < 0:
A) f (x) = ex − 2 − x,
B) f (x) = cos(x) + 1 − x.
Zad. 6. Dla funkcji danych f(x) wyznacz cztery pierwsze wartości punktów środkowych
c0 , c 1 , c 2 , c 3 :
A) ln(x) − 5 + x = 0, [a0 , b0 ] = [3.2, 4.0], B) x2 − 10x + 23 = 0, [a0 , b0 ] = [6.0, 7.0].
b0 − a 0
Korzystając ze wzoru dokładność wyznaczonego miejsca zerowego E =
wyznacz
2n
ilość potrzebnych iteracji N , aby znaleźć w obu przypadkach miejsce zerowe z dokładnością
E = 10−4 .
function [c,err,yc] = bisect(f,a,b,delta)
% INPUT
% f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file’u)
% a - poczatek przedzialu
% b - koniec przedzialu
% delta - dokladnosc iteracji
%
% OUTPUT
% c - miejsce zerowe funkcji f(x)
% err - osiagniety blad bezwzgledny
% yc - wartosc funkcji w punkcie c
ya=feval(f,a);
yb=feval(f,b);
if ya*yb>0, break, end
max1=1+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));
for k:=1:max1
c=(a+b)/2;
yc=feval(f,c);
Metody numeryczne lista nr 4
2
if yc==0
a=c;
b=c;
elseif yb*yc>0
b=c;
yb=yc;
else
a=c;
ya=yc;
end
if (b-a)<delta, break, end
end c=(a+b)/2;
err=abs(b-a);
yc=feval(f,c);
Metoda Newtona
Jeżeli szukane jest miejsce zerowe funkcji f (x) to konstruujemy funkcję g(x) taką, że
f (x) = x − g(x) = 0 i rozwiązujemy problem x = g(x). Funkcja g(x) = x − f (x)/f 0 (x).
Zad. 7. Korzystając z metody Newtona znajdź formułę na miejsce zerowe funkcji f (x) =
x2 − A, gdzie A > 0 i p0 > 0. Startując z p0 = 2 oblicz wartości czterech kolejnych przybliżeń p1 , p2 , p3 , p4 dla A = 5.
Zad. 8. Dla funkcji f (x) = −x2 − x + 2:
A) wyznacz postać wzoru Newtona pk = g(pk−1 );
B) startując z punktu p0 = −1.5 znajdź kolejne przybliżenia p1 , p2 , p3 ;
C) oblicz wartości g 0 (pk ) w punktach p1 , p2 , p3 ;
D) wyznacz wartości różnic kolejnych przybliżeń E(pk ) = |pk − pk−1 |.
Zad. 9. Dla funkcji f (x) = (x − 2)2 :
A) wyznacz postać wzoru Newtona pk = g(pk−1 );
B) startując z punktu p0 = 2.2 znajdź kolejne przybliżenia p1 , p2 , p3 ;
C) oblicz wartości g 0 (pk ) w punktach p1 , p2 , p3 ;
D) wyznacz wartości różnic kolejnych przybliżeń E(pk ) = |pk − pk−1 |.
Zad. 10. Dla funkcji f (x) = x e−x :
A) wyznacz postać wzoru Newtona pk = g(pk−1 );
B) startując z punktu p0 = 0.2 znajdź kolejne przybliżenia p1 , p2 , p3 ; do jakiej wartości
zbiega szereg {pk }?
C) startując z punktu p0 = 2.0 znajdź kolejne przybliżenia p1 , p2 , p3 ; do jakiej wartości
zbiega szereg {pk }?
Metody numeryczne lista nr 4
3
function [p0,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,epsilon,max1)
% INPUT
% f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file’u)
% df - pochodna iterowanej funkcji
% p0 - startowy punkt iteracji
% delta - dokladnosc iteracji punktu p0
% epsilon - dokladnosc iteracji wartosci funkcji f(x)
% max1 - maksymalna liczba iteracji
%
% OUTPUT
% p0 - miejsce zerowe funkcji f(x)
% err - osiagniety blad bezwzgledny
% k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc
% y - wartosc funkcji w punkcie p0
for k:=1:max1
p1=p0-feval(f,p0)/feval(df,p0);
err=abs(p1-p0);
relerr=2*err/(abs(p1)+delta);
p0=p1;
y=feval(f,p0);
if (err<delta) | (relerr<delta) | (abs(y)<epsilon), break, end
end
Metoda siecznych
Jeżeli szukane jest miejsce zerowe funkcji f (x) to konstruujemy funkcję g(x) taką, że
f (x) = x − g(x) = 0 i rozwiązujemy problem x = g(x).
Funkcja g(pk , pk−1 ) = pk − f (pk ) · (pk − pk−1 )/(f (pk ) − f (pk−1 )).
Zad. 11. Startując z punktów p0 = −2.6 i p1 = −2.4 i stosując metodę siecznych wyznacz
kolejne wartości punktów p2 , p3 , p4 dla funkcji f (x) = x3 − 3x + 2.
Zad. 12. Zastosować metodę siecznych do zad. 1 i zad. 2 przyjmując jako punkty początkowe metody wartości p0 i p1 . Porównać otrzymane przybliżenia miejsc zerowych obiema
metodami.
Metody numeryczne lista nr 4
4
function [p1,err,k,y]=sieczne(f,p0,p1,delta,epsilon,max1)
% INPUT
% f - iterowana funkcja (podana w oddzielnym m-file’u)
% p0 - pierwszy startowy punkt iteracji
% p1 - drugi startowy punkt iteracji
% delta - dokladnosc iteracji punktu p0
% epsilon - dokladnosc iteracji wartosci funkcji f(x)
% max1 - maksymalna liczba iteracji
%
% OUTPUT
% p1 - miejsce zerowe funkcji f(x)
% err - osiagniety blad bezwzgledny
% k - numer iteracji przy ktorym osiagnieto zakladana dokladnosc
% y - wartosc funkcji w punkcie p1
for k:=1:max1
p2=p1-feval(f,p1)*(p1-p0)/(feval(f,p1)-feval(f,p0));
err=abs(p2-p1);
relerr=2*err/(abs(p2)+delta);
p0=p1;
p1=p2;
y=feval(f,p1);
if (err<delta) | (relerr<delta) | (abs(y)<epsilon), break, end
end
Metody numeryczne lista nr 4
5