6.Przestrzenie zwarte

•
•
•
•
•
Utwórz na własnym nośniku folder przeznaczony na dokumenty tego sprawdzianu.
Zapamiętaj jego nazwę.
Otwórz MICROSOFT WORD 2007 i zapisz pusty dokument pod nazwą SPRAW01.docx
w utworzonym folderze.
Rozpocznij przepisywanie poniższego dokumentu (uwaga: nie przepisuj tekstu zadań
w ramkach obramowanych linią podwójną; po wykonaniu każdego etapu zapisz
dokument!):
Okaż przepisany powyższy fragment prowadzącemu (jest to I etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
6.Przestrzenie zwarte
W całym rozdziale napis , oznacza dowolną przestrzeń metryczną. Dla skrócenia zapisu
będziemy go pomijać w sformułowaniach wszystkich definicji i twierdzeń.
6.1.DEFINICJA (zbioru zwartego)
Zbiór nazywamy zwartym,
SEQ
jeżeli każdy ciąg w tym zbiorze
FUN , %
CMC
posiada podciąg zbieżny do
$
elementu z tego zbioru.
CNV" #
•
•
Okaż przepisany powyższy fragment prowadzącemu (jest to II etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
6.2.OZNACZENIE: CMC – zbiór wszystkich zbiorów zwartych w przestrzeni
metrycznej , .
6.3.PRZYKŁAD. Bierzemy zbiór &', (, ), , *+ z metryką z przykładu 1 (z rozdziału 1) i
określamy &', (+. Niech ciąg SEQ SEQ&'+ - &(+. Bierzemy funkcję
FUN , taką, że . SEQ " &'+ / . SEQ " &(+ (na mocy lematu 4 (z
preliminariów)).
a
1
2
3
4
5
6
Rys. 16
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to III etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
To jest romb
•
•
To jest
równoległobok
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to IV etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
W przypadku pierwszym podciąg . jest zbieżny do ' (rys. 14), w przypadku drugim
podciąg . jest zbieżny do (. Zatem zbiór jest zbiorem zwartym.
6.4.PRZYKŁAD. Bierzemy zbiór &', (, ), , *+ z metryką z przykładu 1 (z rozdziału 1) i
określamy &', (, )+. Rozumujemy analogicznie jak w przykładzie poprzednim: dla
dowolnego ciągu otrzymujemy podciąg zbieżny do ' lub ( lub ). Zatem zbiór jest zbiorem
zwartym.
6.5.UWAGA W przestrzeni dyskretnej zwarte są tylko zbiory skończone.
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to V etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
6.6.PRZYKŁAD. Bierzemy zbiór i metrykę z przykładu 2 (z rozdziału 1) i określamy 0. Zbiór nie jest zbiorem zwartym, ponieważ z wniosku 6.7 (który będzie udowodniony
później) wynika, że zbiór ten musiałby być zbiorem domkniętym. Natomiast zbiór liczb
wymiernych nie jest domknięty (na mocy przykładu 1. (z rozdziału 5)).
Niech będzie zwartym podzbiorem w .
Wtedy jest domknięty.
6.7.WNIOSEK. (o domkniętości zbiorów zwartych)
•
•
CMC CLS Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to VI etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
Dowód:
1) Ustalmy takie, że
a) CMC ;
2) Sprawdzenie formuły CLS :
a) Z rozwinięcia tezy: 2 , czyli 3"42 ;
b) Ustalmy 2;
c) Sprawdzenie formuły: :
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to VII etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
i) Z rozwinięcia b) wynika 3:;< 5 , 6 7 8 9, tzn. 3:;< ="> 5 , 6 7 ;
ii) W aksjomacie zastępowania podstawiamy ?@ , A , Φ6, F
5 , 6 7 , C , D FUN, ?@ , DE i otrzymujemy 3G ="> 5 H, I 7 ;
F
iii) W aksjomacie wyboru podstawiamy , A , ΦE, H 5 H, I 7
I i bierzemy FUN, takie, że 3G 5 , 6 7 ;
iv) Z iii) wynika 3G 5 H, I i ;
F
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to VIII etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
F
v) Z rozwinięcia 1)a) mamy 3"K OPQ4 =K LMNG,G ="4 CNV" A;
vi) W v) podstawiamy i bierzemy FUN , oraz F takie, że CNV"R A;
vii) W twierdzeniu 4.2 podstawiamy , , i
otrzymujemy CNV" A;
viii) Na mocy vi) i vii) mamy F ;
ix) Stąd ;
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to IX etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
6.8.TWIERDZENIE (o zupełności zbiorów zwartych)
Niech będzie zwartym podzbiorem w .
CMC T CMP Wtedy jest zbiorem zupełnym.
Dowód:
1) Sprawdzenie formuły:
a) Z rozwinięcia tezy: 3"K[\M]4 ="4 limYZ .
b) Ustalmy CAU .
c) Konstrukcja :
i) Z rozwinięcia założenia 3^K OPQ4 =K LMNG,G =^4K CNV^ .
ii) W i) podstawiamy _ i bierzemy FUN , i _ takie, że
K CNV^ .
iii) Określamy _.
•
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to X etap pracy)
Przepisz poniższy fragment:
d) Sprawdzenie formuły:
i) W lemacie 5.2 podstawiamy ' , _ _, i otrzymujemy
`=K LMNG,GK CNV^ a T CNV^ .
ii) Z c)i) oraz i) wynika CNV^ .
•
Okaż powyższy fragment prowadzącemu (jest to XI etap pracy)