Laboratorium metod numerycznych t=t0 R L C uR(t) uL(t) uC(t) e(t) i(t)

Laboratorium metod numerycznych
Laboratorium 10
Równania różniczkowe II rzędu – analiza stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych.
1. Wprowadzenie
Rozwiązanie złożonych układów RL, RC i RLC może nastręczać trochę kłopotów, oraz wymaga
umiejętności rozwiązywania równań różniczkowych drugiego rzędu. Pomocne w tego typu zadaniach będzie
zastosowanie SCILAB'a do rozwiązania równań różniczkowych.
2. Stany nieustalone w układach RLC
Podstawowym obwodem elektrycznym z analizą stanu nieustalonego powstałego po załączeniu
włącznika, jest obwód elektryczny pokazany na rysunku obok. Wyznaczenie równań opisujących przebiegi
napięć i prądu samodzielnie jest zadaniem skomplikowanym, wymagającym umiejętności rozwiązywania
równań różniczkowych II rzędu.
i(t)
t=t0
R
e(t)
uR(t)
L
C
uL(t)
uC(t)
e t=R i tu Lu C
du t
di t 
e t=RC C L
u C
dt
dt
du C t
d 2 u C t
e t=RC
L C
u C
dt
dt 2
Rozwiązanie tego typu zadań umożliwia program SCILAB.
Schemat rozwiązywania zadań z równaniami różniczkowymi II rzędu jest analogiczny jak omówiony w
instrukcji 8, przy równaniach różniczkowych I rzędu. Obliczenia realizowane są metodą zmiennych stanu.
I. Opisanie obliczanego obwodu za pomocą układu równań różniczkowych
du 2C t
du  t
RC C u C
2
dt
dt
du  t
i t=C C
dt
e t=LC
II. Należy przekształcić zapisany układ równań, aby po lewej stronie znajdowały się pochodne
1
szukanych sygnałów, a po prawej pozostałe składniki równań.
du C  t
e

t−RC
−u C
du  t 
dt
=
LC
dt 2
du C t  i t
=
dt
C
di t e  t−Ri t−u C t
=
dt
L
2
C
III. Definiuje się trzy zmienne stanu.
x 1=
du C  t
; x 2=u C t; x 3=it 
dt
IV. W SCILAB'ie definiujemy funkcje opisującą układ równań różniczkowych.
function [pochodne]=stany(t,x)
pochodne(1)=(E-R*C*x(1)-x(2))/(L*C);
pochodne(2)=x(3)/C;
pochodne(3)=(E-R*x(3)-x(2))/L;
endfunction
V. Następnym krokiem jest definicja parametrów rozwiązywanego obwodu.
R=20;
L=0.1;
C=0.0001;
E=20;
VI. Definiujemy parametry początkowe zdefiniowanych zmiennych stanu i czasu.
duC0=0;
uC0=0;
i0=0;
t0=0;
VII. Definiujemy wektor czasu.
t=0:0.0001:0.08;
VIII.Za pomocą funkcji ode zapisujemy polecenie rozwiązania układu równań różniczkowych.
roz=ode([duC0;uC0;i0],t0,t,stany);
IX. Wyznacza się przebiegi pozostałych napięć, a rozwiązanie prezentuje się graficznie za pomocą
funkcji plot2d.
i=roz(3,:);
uC=roz(2,:);
uR=R*i;
uL=E-uR-uC;
Ez=uC+uR+uL; //Sprawdzenie poprawności obliczeń
subplot(211);
2
plot2d(t,i,2,leg='i(t)', axesflag=5);
subplot(212);
plot2d(t,[uC' uR' uL' Ez'],style=[3,2,4,9],leg='uC(t)@uR(t)@uL(t)@E',axesflag=5);
500
400
300
200
100
0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
-100
-200
i(t)
30
25
20
15
10
5
0
0.00
0.01
-5
-10
uC(t)
uR(t)
uL(t)
E
Charakter uzyskanego rozwiązania zależy od znaku wyznacznika.
du 2C t
du  t
RC C u C
2
dt
dt
2
2
=b −4ac=RC  −4LC
e t=LC
Jeżeli Δ>0 występuje przypadek aperiodyczny. Określany jest on na podstawie rezystancji wyznaczanej
z zależności  RC 2−4LC0
R2

L
. Dla L=0,1 H i C=0,0001 F rezystancja R>63.2456 Ω.
C
Jeżeli Δ<0 występuje charakter oscylacyjny, a dla Δ=0 występuje przypadek tłumienia krytycznego,
odpowiedź układu dla tłumienia krytycznego jest aperiodyczna. Wartość rezystancji
R=2

L
określana jest
C
jako rezystancja krytyczna. Na przebiegach poniżej przedstawiono przebiegi dla przypadku aperiodycznego,
krytycznego i oscylacyjnego.
3
180
250
600
160
200
140
500
400
120
150
100
300
200
80
100
100
60
40
0
0.00
-100
50
20
0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
-200
i(t)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0
0.00
0.08
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0.00
0
0.00
i(t)
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
-300
-400
i(t)
35
30
25
20
-5
0.01
0.02
0.03
0.04
uC(t)
uR(t)
uL(t)
0.05
0.06
E
0.07
0.08
-5
15
10
5
0.01
0.02
uC(t)
uR(t)
uL(t)
Aperiodyczny
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
E
0.08
0
0.00
-5
0.01
-10
-15
uC(t)
uR(t)
uL(t)
Krytyczny
E
Oscylacyjny
3. Zadania
I. Zmodyfikować przykładowy skrypt, aby dla dowolnie podanych wartości L i C podanych przez
użytkownika, skrypt wyliczał wartość rezystancji krytycznej, a następnie wykreślał przebiegi
chwilowe napięć i prądu w postaci pokazanej na rysunku powyżej.
II. Dla wymuszenia sinusoidalnego sprawdzić zależność fazy napięcia zasilającego na proces
załączenia badanego obwodu RLC (0o, 30o, 45o, 60o, 90o). Wyniki porównania przedstawić w postaci
wykresu.
III. Zaprogramować w Scilab'ie obliczanie stanów nieustalonych dla obwodu RLC w okładzie podanym
przez prowadzącego laboratorium. Napisać skrypty dla zadanego układu spełniające zadania
zapisane w punktach I i II.
IV. Przygotowane sprawozdanie powinno zawierać:
•
schemat analizowanego obwodu
•
wyprowadzenia wzorów
•
skrypt wraz z komentarzami dla poszczególnych linii
•
wprowadzone dane L, C i E, oraz wyliczoną wartość R krytycznej
•
przebiegi uzyskane ze skryptu
4