Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista zadań nr 20, grupa zaawansowana (27.03.2010)
Okrąg dziewięciu punktów
1. Udowodnić, że w każdym trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest
równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie długości trzeciego
boku.
2. Udowodnić, że w dowolnym trójkącie:
1) środkowe przecinają się w jednym punkcie,
2) proste zawierające wysokości przecinają się w jednym punkcie.
3. W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego, punkt H jest ortocentrum, MC jest środkiem boku AB i EC jest środkiem odcinka CH. Wykazać,
że środki odcinków OH i MC EC pokrywają się.
Definicja. Środek odcinka łączącego ortocentrum trójkąta z wierzchołkiem
nazywamy punktem Eulera.
Wniosek. Odcinki łączące punkty Eulera odpowiednio ze środkami boków
trójkąta przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem odcinka łączącego ortocentrum trójkąta ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie.
4. Udowodnić, że w każdym trójkącie:
(a) środki boków trójkąta,
(b) spodki wysokości,
(c) środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z jego wierzchołkami
leżą na jednym okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem dziewięciu punktów.
5. Wyznaczyć promień okręgu dziewięciu punktów i położenie środka tego okręgu.
6. Udowodnić, że w trójkącie: środek okręgu opisanego na trójkącie, środek ciężkości trójkąta, środek okręgu dziewięciu punktów i ortocentrum leżą na jednej
prostej. Tę prostą nazywamy prostą Eulera.