abstract
Transkrypt
abstract
PrzykÃlad dotyczacy metryki Bergmana , Zbigniew BÃlocki, 10.12.2007 Celem wykÃladu byÃlo pokazanie w elementarny sposób (zostaÃlo to niedawno udowodnione przez Bo-Yong Chena w znacznie bardziej skomplikowany sposób), że 2 metryka Bergmana obszaru Ω := ∆2 \ ∆r , 0 < r < 1, nie jest niezmiennicza wzgledem automorfizmów ∆2 . Mamy , KΩ (z) = X (j + 1)(k + 1) |z |2j |z2 |2k , 2 (1 − r 2(j+k)+4 ) 1 π j,k≥0 z ∈ Dr , i funkcja ta przedÃluża sie, do gÃladkiej funkcji w ∆2 . PoÃlóżmy K(ζ) := π 2 KΩ (ζ, 0) = ∞ X j=0 j+1 |ζ|2j , 1 − r2j+4 ζ ∈ ∆. Gdyby KΩ byÃlo niezmiennicze wzgledem automorfizmów ∆2 , to dla a ∈ ∆ i , F (ζ) := mielibyśmy a−ζ , 1 − aζ ζ ∈ ∆, (log K)ζ ζ̄ = (log K)ζ ζ̄ ◦ F |F 0 |2 . WynikaÃloby stad, że , (log K)ζ ζ̄ (ζ) = a wiec , (log K)ζ ζ̄ (0) , (1 − |ζ|2 )2 (log(log K)ζ ζ̄ )ζ ζ̄ (0) = 2. Jednak K(0) = 1 , 1 − r4 Kζ ζ̄ (0) = 2 , 1 − r6 Kζ ζ̄ζ ζ̄ (0) = 12 , 1 − r8 (a tylko te pochodne nie znikaja, w 0). Dlatego też w 0 otrzymamy (log(log K)ζ ζ̄ )ζ ζ̄ K Kζ ζ̄ζ ζ̄ − 2Kζ2ζ̄ (log K)ζ ζ̄ζ ζ̄ 1 − r6 1 − r4 = = =6 − 4 6= 2. (log K)ζ ζ̄ K Kζ ζ̄ 1 − r8 1 − r6