Zbiór liczb niewymiernych. - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona
Transkrypt
Zbiór liczb niewymiernych. - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona
ZAJĘCIA 17. Zbiór liczb niewymiernych. Czy istnieją inne liczby niŜ wymierne, to znaczy takie, których nie da się wyrazić za pomocą ułamka p/q? Odpowiedź jest twierdząca. Przykładem takiej liczby jest długość przekątnej kwadratu o boku a=1. ZałoŜyliśmy, Ŝe a=1. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa moŜemy zapisać: 12 + 12 = c2, czyli c2 = 2 ZałóŜmy, Ŝe c jest liczbą wymierną, czyli, Ŝe da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Wtedy (m/n)2 = 2, m2/n2 = 2 (moŜemy obie strony równania pomnoŜyć przez n2) m2 = 2n2 m·m = 2·n·n MoŜna próbować rozłoŜyć liczby po obu stronach równania na czynniki i zauwaŜyć, Ŝe po lewej stronie równania czynnik 2 nie występuje lub występuje parzystą liczbę razy. Po prawej stronie równania czynnik 2 występuje zawsze w nieparzystej liczbie. PowyŜsza równość zatem nie moŜe być spełniona. ZałoŜenie, Ŝe c jest liczbą wymierną jest więc błędne. Jak wykazaliśmy liczby wymierne nie są wystarczające chociaŜby do mierzenia długości odcinków. Zbiór wszystkich takich liczb, nazywamy zbiorem liczb . Liczba niewymierna moŜe być dodatnia, a takŜe ujemna. Liczb niewymiernych jest nieskończenie wiele. Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych liczb rzeczywistych, które nie są wymierne tzn. p tych, których nie moŜna zapisać w postaci ułamka zwykłego , dla i q Zbiór liczb niewymiernych nie ma własnego oznaczenia, zapisuje się go jako róŜnicę zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych: . Mimo wszystko niekiedy spotyka się polskie oznaczenie . Przykładem liczby niewymiernej moŜe być liczba 2 = 1,4142...; 3;1 + 5 ;− 7 ;3 2; . , czy teŜ ZADANIE Wykazać, Ŝe suma liczby wymiernej i niewymiernej jest liczbą niewymierną. Rozwiązanie: Zastosujemy dowód nie wprost. ZałóŜmy, Ŝe suma liczby wymiernej x i niewymiernej y jest liczbą wymierną, czyli da się wyrazić za pomocą ułamka m/n. Czyli: x + y = m/n Po przeniesieniu x na drugą stronę równania otrzymamy: y = m/n - x Po prawej stronie mamy róŜnicę dwóch liczb wymiernych, czyli liczbę wymierną, y musiałoby być równieŜ liczbą wymierną, co jest sprzeczne z załoŜeniem. 6. Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbiorów liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy przez , a ujemnych przez . Pomiędzy liczbami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi moŜemy zaobserwować poniŜsze związki: • • • • •