Lista 3 z Logiki i Struktur Formalnych do wykładu dra Sz

Lista 3 z Logiki i Struktur Formalnych
do wykładu dra Sz. Żeberskiego
1. Niech zakresem zmienności zmiennych będą liczby naturalne. Zapisz przy użyciu symboli
0, 1, +, ·, ≤, | oraz symboli logicznych następujące zdania i funkcje zdaniowe:
a) x jest liczbą parzystą,
b) x jest liczbą pierwszą,
c) x jest liczbą złożoną,
d) x = N W D(y, z),
e) każde dwie liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność,
f) nie istnieje największa liczba pierwsza,
g) każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych (hipoteza Goldbacha),
h) każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych (twierdzenie Lagrange’a).
2. Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór liczb rzeczywistych. Zapisz za pomocą
symboli logicznych oraz symboli =, <, ≤, +, · i Q następujące zdania i formuły:
a) kwadrat każdej liczby jest nieujemny,
b) liczba a jest ograniczeniem górnym zbioru A,
c) liczba a jest kresem górnym zbioru A,
d) pomiędzy dowolnymi dwoma różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna,
e) funkcja f jest malejąca.
3. Niech zakresem zmienności zmiennych będzie pewien zbiór Ω. Zapisz za pomocą symboli
logicznych oraz symboli ∈, = następujące zdania i formuły:
a) zbiory A i B są rozłączne,
b) A jest zbiorem potęgowym zbioru B,
c) C jest parą uporządkowaną pewnych zbiorów A, B,
d) A jest zbiorem pustym, a B nie,
e) C nie jest iloczynem kartezjańskim zbiorów A, B.
4. Znajdź wykresy następujących formuł zmiennych x i y o zakresie zmienności R2 :
a) x = y,
b) x < y,
c) xy < 1,
d) |xy| < 1,
e) (x ≤ 0) ∨ (x = y),
f) xy < 1 → xy = 1.
5. Zapisz zdanie g jest granicą ciągu (an )n∈N . Udowodnij, że liczba 1 nie jest granicą ciągu
1
.
an = n+1
6. Niech formuła r(x, y) oznacza, że x jest rodzicem y, niech m(x) oznacza, że x jest mężczyzną.
Zdefiniuj za pomocą formuł r oraz m następujące formuły:
a) x jest bratem y,
b) x jest kuzynką y,
c) x jest pradziadkiem y,
d) x ma dokładnie 2 wnuczki.
7. Dla każdej liczby
t ∈ R niech At = {(x, tx) : x ∈ R}. Niech A = {At : t ∈ R}.
S rzeczywistej
T
Wyznacz zbiór A oraz A.
8. Czy dla dowolnych dwóch rodzin zbiorów A i B
S
S
S
a) (A ∪ B) = A ∪ B,
S
S
S
b) (A ∩ B) = A ∩ B?
Jeśli odpowiedź jest negatywna, to rozstrzygnij, czy prawdziwe jest jedno z zawierań.
S
T
9. Odpowiedz na pytania z poprzedniego zadania po zamianie symbolu
na . Zastanów się
dla jakich rodzin A, B postawione pytania mają sens.
10. Niech Ω = {ω0 , ω1 , . . . , ωn }, ϕ będzie funkcją zdaniową określoną dla elementów Ω. Pokaż,
że
W
a) (∃x)ϕ(x) ≡ ni=0 ϕ(ωi ),
V
b) (∀x)ϕ(x) ≡ ni=0 ϕ(ωi ).
Załóżmy teraz, że ψ jest funkcją zdaniową dwóch zmiennych. Sformułuj i udowodnij analogiczne zależności dla zdań z dwoma kwantyfikatorami (czyli zdań postaci (P x)(Qy)ψ(x, y),
gdzie P, Q ∈ {∃, ∀}).
11. Rozstrzygnij, który z graczy ma strategię zwycięską w grze trzech zapałek zaczynającej się
od 30 zapałek. Opisz tę strategię.
12. Pokaż, że jeśli a, b ∈ A to (a, b) ∈ P (P (A)). Wykorzystaj tę obserwację do zdefiniowania
iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów A i B za pomocą operacji zbioru potęgowego oraz
aksjomatu wyróżniania.
13. Określmy następujące dwa kwantyfikatory stosowane do liczb naturalnych:
(∀∞ n)ψ(n) ↔ (∃k ∈ N)(∀n > k)ψ(n)
oraz
(∃∞ n)ψ(n) ↔ (∀k ∈ N)(∃n > k)ψ(n).
a) Sformułuj i udowodnij prawa de Morgana dla tych kwantyfikatorów.
b) Pokaż, że dla dowolnej formuły ψ zdanie (∀∞ n)ψ(n) → (∃∞ n)ψ(n) jest prawdziwe.
c) Sformułuj przy pomocy tych kwantyfikatorów pojęcie granicy ciągu oraz pojęcie punktu
skupienia.
d) Bezpośrednio z własności tych kwantyfikatorów pokaż, że granica ciągu jest jego punktem
skupienia.
S
14. Pokaż, że dla każdego zbioru A zachodzi równość A = P (A).
15. Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór liczb całkowitych. Zapisz za pomocą
symboli logicznych oraz symboli +, · predykat x ≥ 0. Wskazówka: Zapoznaj się z twierdzeniem
Lagrange’a o sumach czterech kwadratów.
16. Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór liczb naturalnych. Pokaż, że za pomocą
symboli 0, 1, + oraz | można zdefiniować predykat xy = z (symbol | oznacza podzielność
bez reszty). Wskazówka: Zdefiniuj najpierw predykat (∃y)(x = y 2 ). Przydać ci się mogą
następujące tożsamości: (x + y)2 = x2 + xy + xy + y 2 , N W D(x, x + 1) = 1 oraz x2 + x =
N W W (x, x+1), gdzie N W D oznacza największy wspólny dzielnik, N W W oznacza najmniejszą
wspólną wielokrotność.