Wykład 1

Algebra to język nie używający słów, lecz symboli.
(G. Polya)
Wykład 1 (6 X 2011)
Wiadomości wstępne
1.1
Liczby: naturalne, całkowite, wymierne
Liczby naturalne można traktować jako wielokrotne sumy jedynki. Mówiąc dokładniej, zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R, który zawiera liczbę 1 oraz
(warunek indukcji) wraz z każdą zawartą w nim liczbą, zawiera także liczbę otrzymaną przez dodanie
do niej liczby 1(1 ). Innymi słowy zbiór liczb naturalnych jest określony przez następujące warunki:
Definicja 1.1 (Liczby naturalne)
(P1 ) 1 jest liczbą naturalną;
(P2 ) Jeśli n jest liczbą naturalną, to także n + 1 liczbą naturalną;
(P3 ) Zbiór liczb naturalnych jest zawarty w każdym podzbiorze R spełniającym powyższe dwa warunki.
Liczbę n + 1 nazywa się następnikiem liczby n.
Dalej przyjmiemy, że termin liczba całkowita określa liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb
naturalnych oraz liczbę 0. Liczbami wymiernymi będziemy nazywać ilorazy dwóch liczb całkowitych (z
zastrzeżeniem, że nie wolno dzielić przez 0). Dla oznaczenia tych zbiorów będziemy w dalszym ciagu
używać następujących oznaczeń:
N
Z
Q
zbiór liczb naturalnych,
zbiór liczb całkowitych,
zbiór liczb wymiernych.
Wszystkie te zbiory liczbowe są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oznaczanego symbolem R.
Uwzględniając ich wzajemne zawierania możemy napisać
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
Konstrukcja liczb rzeczywistych wchodzi raczej w zakres analizy matematycznej niż algebry i dlatego
nie będziemy tu podejmować próby ich określenia, odsyłając czytelnika do wykładów analizy matematycznej.
1
Jak z tego wynika, liczby 0 nie zaliczamy do liczb naturalnych, choć niektóre podręczniki przyjmują odmienną
konwencję.
5
6
ALiGA — Wykład 1.
1.2
1.2.1
Liczby rzeczywiste i działania wymierne
Aksjomaty dodawania i mnożenia
Algebraiczna struktura zbioru liczb rzeczywistych jest scharakteryzowana przez następujące własności.
R jest zbiorem(2 ) z zadanymi odwzorowaniami, nazywanymi odpowiednio działaniami dodawania i
mnożenia,
R × R ∋ (a, b) −→ a + b ∈ R,
R × R ∋ (a, b) −→ a · b ∈ R,
które spełniają następujące warunki.
Dodawanie
Mnożenie
Dla dowolnych elementów a, b, c ∈ R zachodzą równości:
A.
Łączność
a + (b + c) = (a + b) + c.
B.
a · (b · c) = (a · b) · c.
Przemienność
a + b = b + a.
C.
Istnienie elementu neutralnego
Istnieje 0 ∈ R, taki że
dla każdego a ∈ R zachodzi
D.
Istnieje 1 ∈ R, taki że
1 6= 0 i dla każdego a ∈ R zachodzi
0 + a = a.
Istnienie elementu odwrotnego
Dla każdego a ∈ R istnieje
a′ ∈ R, że
E.
a · b = b · a.
1 · a = a.
Dla każdego a ∈ R \ {0} istnieje
a′ ∈ R \ {0}, że
a · a′ = 1.
a + a′ = 0.
Rozdzielność
(a + b) · c = a · c + b · c.
Zazwyczaj używa się specjalnych oznaczeń dla elementów odwrotnych — element odwrotny do a względem dodawania nazywa się elementem przeciwnym do a i oznacza się symbolem −a, a element odwrotny
do a 6= 0 względem mnożenia oznacza się a−1 lub a1 i nazywa odwrotnością a.
Powyższe własności, nazywane aksjomatami ciała, wprowadzają w zbiorze liczb rzeczywistych strukturę algebraiczną nazywaną ciałem.
Własności A–E są podstawą na której zbudowana jest arytmetyka liczb wymiernych i rzeczywistych
obejmująca działania wymierne — dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie. Te dwa ostatnie
wprowadza się następującymi wzorami:
a − b = a + (−b),
odejmowanie
a
= a · b−1 , gdy b 6= 0,
dzielenie.
b
2
niepustym, co wynika z istnienia elementów wyróżnionych 0 i 1, zob. niżej,
(1.1)
(1.2)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 24 października 2011 roku)
7
Na podstawie aksjomatów A–E można uzasadnić wszystkie znane ze szkoły reguły działań wymiernych,
w szczególności reguły działań na ułamkach.
c
a
=
b
d
a c
+
b d
a
−
b
a c
·
b d
−1
a
b
⇐⇒ ad = bc,
ad + bc
,
bd
−a
a
=
=
,
b
−b
ac
= ,
bd
b
= ,
a
=
b, d 6= 0,
(1.3)
b, d 6= 0,
(1.4)
b 6= 0,
(1.5)
b, d 6= 0,
(1.6)
a, b 6= 0.
(1.7)
Zadanie 1.2.1 a) Wykazać, że z aksjomatów A–E wynika równość
−a = (−1) · a.
b) Z aksjomatów A–E wyprowadzić regułę (1.4) dodawania ułamków.
W zagadnieniach algebraicznych ważną rolę pełni potęgowanie — dla przypomnienia podamy rekurencyjną definicję potęgi o wykładniku naturalnym.
Definicja 1.2 (Potęga o wykładniku naturalnym) Niech a ∈ R będzie 6= 0. Określamy
a0 : = 1,
an+1 : = an · a,
dla n > 0.
Definicja ta jest oczywiście równoważna elementarnemu określeniu n-tej potęgi liczby a jako iloczynowi
n jednakowych czynników a,
an = a
| · a{z· · · a} .
n razy
Przypomnijmy także, że potęga o wykładniku ujemnym, a−n , gdzie n ∈ N, jest określona wzorem
a−n =
1
.
an
Ogólnie, w języku algebry nazywa się ciałem dowolny zbiór wyposażony w dwa działania, nazywane
odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, dla których są spełnione aksjomaty ciała A–E wymienione
powyżej.
Przykład 1.2.1 Przykładem ciała ważnego dla zastosowań w informatyce jest ciało liczb dwójkowych (binarnych) B.
Jest to zbiór B = {0, 1} złożony z dwóch symboli 0 i 1 podlegającym działaniom:
“+”
0
1
0 1
0 1
1 0
“·” 0
0
0
1
0
1
0
1
Innym znanym przykładem ciała jest zbiór liczb wymiernych Q wyposażony w znane ze szkolnej arytmetyki działania
dodawania i mnożenia — chwila namysłu pozwala stwierdzić, że sformułowane powyżej własności A–E są spełnione.
Również nietrudno zauważyć, że te same działania ograniczone do zbioru liczb całkowitych Z, zawartym w sposób
właściwy w Q, już nie spełniają niektórych z tych własności (których dokładnie?).
8
1.3
1.3.1
ALiGA — Wykład 1.
Liczby zespolone
Określenie ciała liczb zespolonych
Przyczyną, dla której rozszerza się ciało liczb rzeczywistych jest potrzeba uzupełnienia tego zbioru w
taki sposób, aby zagwarantować istnienie pierwiastków dla równań podobnych do x2 + 1 = 0, które w
zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastków nie mają.
Definicja 1.3 (Ciało liczb zespolonych) W zbiorze R × R, którego elementami są pary uporządkowane liczb rzeczywistych, wprowadzamy następujące działania:
Dodawanie:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);
(1.8)
Mnożenie:
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
(1.9)
Zbiór R × R wyposażony w powyższe działania będziemy nazywać ciałem liczb zespolonych i oznaczać
symbolem C.
Rozważając zbiór R′ = { (a, 0) | a ∈ R } złożony z par, w których 0 jest drugim elementem zauważamy, że dla takich par wprowadzone wyżej działania sprowadzają się do zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych, wykonywanych na pierwszym (niezerowym) elemencie pary.
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0),
oraz
(a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
Możemy zatem utożsamić zbiór R′ ze zbiorem liczb rzeczywistych R, przy czym dokonane utożsamienie
nie wpływa na wynik działań dokonywanych na liczbach rzeczywistych. Mówiąc nieco dokładniej —
przy utożsamieniu liczby rzeczywistej z parą o drugim elemencie równym zeru, a ≃ (a, 0), sumie liczb
rzeczywistych a + b odpowiada liczba (a + b, 0) będąca sumą (a, 0) + (b, 0) liczb odpowiadających a
i b. Analogiczna zależność zachodzi dla iloczynu liczb rzeczywistych ab w porównaniu z iloczynem par
(a, 0) · (b, 0).
Twierdzenie 1 Działania w zbiorze R × R określone przez wzory (1.8) i (1.9) spełniają własności A–E
z paragrafu 1.2.
W szczególności elementem neutralnym względem dodawania jest para (0, 0), a elementem neutralnym względem mnożenia jest para (1, 0). W dalszym ciągu elementy te będziemy oznaczać 0 i 1.
Elementy odwrotne do elementu (a, b) są dane wzorami:
−(a, b) = (−a, −b),
element odwrotny względem dodawania,
(1.10)
oraz pod warunkiem (a, b) 6= (0, 0)
(a, b)
−1
=
!
a
−b
, 2
,
2
2
a + b a + b2
element odwrotny względem mnożenia.
(1.11)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 24 października 2011 roku)
9
Ze wzoru (1.9) dla mnożenia liczb zespolonych wynika zależność
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
Zgodnie z wprowadzonym powyżej utożsamieniem liczb rzeczywistych a z parami postaci (a, 0) możemy
prawą stronę tej równości traktować jako liczbę rzeczywistą −1, a zatem liczba zespolona
i = (0, 1)
(1.12)
spełnia równanie
i2 = − 1.
(1.13)
Definicja 1.4 (Jednostka urojona) Liczbę zespoloną i określoną wzorem (1.12) nazywa się jednostką
urojoną.
Korzystając w dalszym ciagu z własności A–E działań w ciele liczb zespolonych C oraz utożsamienia
R ≃ R′ możemy zapisać
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi,
gdzie
a, b ∈ R.
W ten sposób uzyskujemy możliwość przedstawienia dowolnej liczby zespolonej (a, b) w przejrzystej i
wygodnej postaci
(a, b) = a + bi.
(1.14)
Wzory (1.8) i (1.9) możemy teraz zapisać w postaci
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(a + bi) · (c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.
(1.15)
(1.16)
Zapis liczb zespolonych w postaci sumy a + bi wraz z własnościami A–E działań w ciele C pozwala
prowadzić rachunki z użyciem liczb zespolonych w sposób formalnie identyczny jak w przypadku liczb
rzeczywistych, pod warunkiem uwzględnienia tożsamości i2 = −1.
Użycie tego zapisu zilustrujemy „wyprowadzeniem” wzoru dla ilorazu dwóch liczb zespolonych.
Najpierw, na podstawie wzoru (1.16) mamy
(c + di)(c − di) = c2 + d2 ,
przy czym
c2 + d2 6= 0 ⇐⇒ c + di 6= 0,
(1.17)
a zatem mnożąc licznik i mianownik przez liczbę (c − di) otrzymamy, stosując znowu (1.16)
a + bi
(a + bi)(c − di)
ac + bd + (cb − ad)i
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
c2 + d 2
czyli
a + bi
ac + bd cb − ad
= 2
+ 2
i.
c + di
c + d2
c + d2
(1.18)
Zauważmy podobieństwo zastosowanego wyżej sposobu eliminowania wielkości urojonej z mianownika
do znanej ze szkoły średniej metody „usuwania niewymierności z mianownika”.
10
ALiGA — Wykład 1.
1.3.2
Moduł i sprzężenie liczby zespolonej
Definicja 1.5 (Moduł liczby zespolonej) Z liczbą zespoloną z = x + yi wiążemy następujące liczby
rzeczywiste:
Moduł (wartość bezwzględna) liczby z;
|z| =
q
x2 + y 2,
(1.19)
przy czym po prawej stronie równości występuje nieujemna wartość pierwiastka.
Ponadto nazywamy
częścią rzeczywistą z liczbę
x = Re z;
częścią urojoną z liczbę
y = Im z.
Stwierdzenie 1 Dla dowolnych liczb zespolonych z, z1 , z2 zachodzą wzory
|z| ­ 0,
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
ponadto
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0;
(1.20)
|z1 |
;
|z2 |
nierówność trójkąta.
a jeśli z2 6= 0, to także
|z1 + z2 | ¬ |z1 | + |z2 |,
z 1
z2 =
(1.21)
(1.22)
Nierówność trójkąta (1.22) wyraża znaną relację między długościami boków trójkąta (suma długości
dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku) w odniesieniu do trójkąta o wierzchołkach w
punktach z1 , z2 , z1 + z2 .
Kolejny nasz przykład ilustruje potęgowanie liczb zespolonych.
Przykład 1.3.1
√
1
3
. Mamy
Obliczymy trzecią potęgę liczby zespolonej z = − + i
2
2
√ √ √
√
2 √ 2
1
3
1
3
1
3
1 3
1
3
z2 = − + i
− +i
= −
−
− 2i
=− −i
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
i dalej
√ √ 2 √ 2
√
√ 1
3
1
3
1
3
1 3 1 3
z = − −i
− +i
=
+
+i −
+
,
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
3
więc ostatecznie
√ 3
1
3
z = − +i
= 1.
2
2
3
(1.23)
Definicja 1.6 (Sprzężenie liczby zespolonej) Liczby zespolone o równych częściach rzeczywistych
i przeciwnych częściach urojonych nazywamy liczbami sprzężonymi.
Każda liczba zespolona ma tylko jedną liczbę sprzężoną. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej
z = x + yi jest liczba
z = x − yi.
Tutaj znowu mamy do czynienia z odwzorowaniem x + yi = z 7→ z = x − yi zbioru liczb zespolonych
C na siebie. Będziemy je nazywać sprzężeniem (w ciele C).
Na przykład mamy
1 + 2i = 1 − 2i,
−3 − 7i = −3 + 7i.
Najważniejsze własności operacji sprzężenia liczb zespolonych podaje następujące twierdzenie.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 24 października 2011 roku)
11
Twierdzenie 2 (Własności sprzężenia liczb zespolonych) Odwzorowanie sprzężenia liczb zespolonych
(1.24)
C ∋ z = x + iy 7→ z = x − iy ∈ C
ma następujące własności:
(z) = z;
z1 + z2 = z1 + z2 ;
z1 · z2 = z1 · z2 ;
inwolutywność
addytywność
multyplikatywność
(1.25)
(1.26)
(1.27)
a jeśli z2 6= 0, to także
z1
z2
!
=
z1
.
z2
(1.28)
Ponadto, z ∈ C jest liczbą rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy z = z, natomiast z ∈ C jest liczbą czysto
urojoną wtedy i tylko wtedy, gdy z = −z.
Łatwo spostrzec, że prawdziwe są następujące zależności.
1
1
Re z = (z + z),
Im z = (z − z),
2
2i
1.3.3
z · z = |z|2 .
Wzór dwumianowy Newtona
Własności A–E sprawiają, że znane w kontekście liczb rzeczywistych tożsamości algebraiczne, takie
jak wzory uproszczonego mnożenia czy wzór dwumianowy Newtona, są spełnione także w ciele liczb
zespolonych.
Twierdzenie 3 (Wzór dwumianowy Newtona) Dla każdej liczby n ∈ N i dowolnych liczb w, z ∈ C
zachodzi wzór
!
n
X
n j n−j
n
(w + z) =
wz ,
(1.29)
j=0 j
gdzie symbolem
n
j
oznaczone są tzw. współczynniki dwumianowe Newtona opisane wzorem
!
n
n!
n(n − 1) · · · (n − j + 1)
=
=
,
j
j!(n − j)!
j!
dla
0 ¬ j ¬ n.
(1.30)
Wzór dwumianowy (1.29) obejmuje jako szczególne przypadki (n = 2 i n = 3) znane ze szkoły wzory
dla kwadratu i sześcianu sumy dwóch składników:
(w + z)2 = w 2 + 2wz + z 2 ;
(w + z)3 = w 3 + 3w 2 z + 3wz 2 + z 3 ,
a także wzory dla kwadratu i sześcianu różnicy dwóch składników:
(w − z)2 = w 2 − 2wz + z 2 ;
(w − z)3 = w 3 − 3w 2z + 3wz 2 − z 3 .
Na podstawie tych wzorów łatwo także wyprowadzić
Wniosek 1 (Wzory uproszczonego mnożenia) Dla dowolnych w, z ∈ C zachodzą wzory
w 2 − z 2 = (w + z)(w − z);
różnica kwadratów
w 3 + z 3 = (w + z)(w 2 − wz + z 2 )
suma sześcianów
w 3 − z 3 = (w − z)(w 2 + wz + z 2 );
różnica sześcianów.