Zadanie 6: Równanie dyfuzji w dwóch wymiarach.

Zadanie 6: Równanie dyfuzji w dwóch wymiarach.
i1
j max
T3
indeks j
T0
E
D
B
j1
i2
C
T1
jmin
T2
imin
A
imax
indeks i
Rysunek 1: Siatka obliczeniowa do opisu rozkªadu temperatury w korytarzu (szary obszar), które wymienia
ciepªo z pomieszczeniami s¡siednimi (pomara«czowy, zielony, niebieski) oraz z otoczeniem (przez czerwone
±ciany). Pomieszczenie pomara«czowe ma temperatur¦ T 1, zielone T 2 a niebieskie T 3. Na zewn¡trz panuje
temperatura T 0.
W budynku chªodni znajduj¡ si¦ 3 pomieszczenia, w których utrzymywana jest temperatura odpowiednio
T 1 = −5, T 2 = −10 i T 3 = −15. Š¡czy je korytarz oznaczony na rysunku szarym kolorem (rys. 1). Na
zewn¡trz panuje temperatura T 0 = 0. W pewnym momencie drzwi do wszystkich pomieszcze« chªodniczych
zostaªy otwarte. Jaki ustali si¦ rozkªad temperatury w korytarzu?
W rachunkach zajmiemy si¦ czyst¡ dyfuzj¡ ciepªa z caªkowitym zaniedbaniem innych mechanizmów transportu (tzn. wymiana z otoczeniem b¦dzie przez konwekcj¦, ale ta znajdzie si¦ tylko w warunkach brzegowych).
Na korytarzu nie ma ¹ródeª ciepªa.
Temperatura powietrza T (x, y, t) opisana jest równaniem przewodnictwa cieplnego (dyfuzji ciepªa)
∂T
k
= ∇2 T,
∂t
ρc
(1)
gdzie ρ, c oraz k s¡ odpowiednio g¦sto±ci¡ powietrza, jego ciepªem wªa±ciwym i wspóªczynnikiem przewodno±ci termicznej.
Siatka i schemat ró»nicowy
Ustalamy imin = 0, i1 = 20, i2 = 40, imax = 60 oraz jmin = 0, j1 = 30, jmax = 60. Pracujemy na
siatce z krokiem przestrzennym ∆x = ∆y = 1. Przyjmujemy równie» k = 0.5, ρ = 1, c = 1. Równanie
(1) rozwi¡zywa¢ b¦dziemy iteracyjnym schematem Cranka-Nicolson. Rozkªad temperatury w n + 1 chwili
czasowej (Tijn+1 ) wyliczamy na podstawie rozkªadu temperatury w kroku n-tym (potrzebujemy wi¦c dwie
tablice):
n+1
n+1
n
n
Ti,j
− Ti,j
k∇2 Ti,j
k∇2 Ti,j
=
+
.
∆t
2ρc
2ρc
1
(2)
Rozpisuj¡c:
n+1
n
Ti,j
= Ti,j
+
k∆t
n
n
n
n
[T n
+ Ti,j+1
+ Ti−1,j
+ Ti+1,j
− 4Ti,j
2ρc∆x2 i,j−1
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
+Ti,j−1
+ Ti,j+1
+ Ti−1,j
+ Ti+1,j
− 4Ti,j
].
(3)
Po przeksztaªceniu otrzymujemy ostatecznie przepis iteracyjny dla kroku w chwili n+1:
n+1
Ti,j
=
1
1+
4k∆t
2ρc∆x2
n
(Ti,j
+
k∆t
n
n
n
n
[T n
+ Ti,j+1
+ Ti−1,j
+ Ti+1,j
− 4Ti,j
2ρc∆x2 i,j−1
n+1
n+1
n+1
n+1
+Ti,j−1
+ Ti,j+1
+ Ti−1,j
+ Ti+1,j
]).
(4)
Iteracje prowadzimy a» do uzyskania zbie»no±ci (okoªo 50 iteracji dla pocz¡tkowych kroków czasowych liczba zale»na od sposobu badania zbie»no±ci). W dalszych chwilach czasowych zbie»no±¢ b¦dzie uzyskiwana
bardzo szybko, poniewa» rozkªad temperatury przestanie si¦ zmienia¢ (rozpatrywany ukªad znajdzie si¦ w
równowadze termicznej). Zbie»no±¢ mo»na zbada¢ np. obliczaj¡c caªk¦ z warto±ci bezwzgl¦dnej temperatury
po caªym pudle obliczeniowym - je±li przestanie si¦ znacz¡co zmienia¢ (np. z tolerancj¡ 10−6 ), mo»emy
stwierdzi¢ zbie»no±¢ dla danego t. Na podstawie tak obliczonego rozkªadu temperatury przechodzimy do
kolejnego t := t + dt.
Iteracje po czasie prowadzimy a» do uzyskania stanu ustalonego. Warunek doj±cia do stanu ustalonego
mo»e by¢ taki sam jak w schemacie Cranka-Nicolson - zbie»no±¢ caªki z temperatury.
Warunki brzegowe
Nasz korytarz wymienia ciepªo z pomieszczeniami pomara«czowym, zielonym i niebieskim (patrz rysunek).
Dla punktów granicznych poªo»onych w s¡siedztwie tych pokoi ustawiamy (raz na zawsze) temperatury jak
w chªodniach, tzn. Tij = T 1 dla i = 0, j ∈ [0, j1 ], Tij = T 2 dla i = imax , j ∈ [0, j1 ] i Tij = T 3 dla
i ∈ [i1 , i2 ], j = jmax .
Na zewn¦trznych ±cianach korytarza (zaznaczone kolorem czerwonym na rysunku 1) zadajemy konwekcyjne warunki brzegowe
∂T
,
(5)
h(T − T 0) = −k
∂n
gdzie pochodna po prawej stronie oznacza normaln¡ do powierzchni budynku, ale liczon¡ wewn¡trz korytarza,
a k jest wspóªczynnikiem transmisji ciepªa. Warunek (5) dla pionowej kraw¦dzi E ma posta¢:
Tin+1
=
2 ,j
Dla pionowej kraw¦dzi D:
Tin+1
=
1 ,j
Na poziomie dolnym A:
n+1
Ti,j
=
min
Na górnych kraw¦dziach B i C:
n+1
Ti,j
=
1
n+1
k
∆x Ti2 −1,j
h+
n+1
k
∆x Ti1 +1,j
h+
+ hT 0
k
∆x
+ hT 0
k
∆x
n+1
k
∆y Ti,jmin +1 +
k
h + ∆y
n+1
k
∆y Ti,j1 −1
h+
.
(6)
.
(7)
hT 0
+ hT 0
k
∆y
,
.
(8)
(9)
Na kantach wy»ej wymienionych odcinków pochodne normalne policzymy po antydiagonali. Dlatego na naro»niku C/E i = i2 , j = j1 :
√ k T n+1
i2 −1,j1 −1 + hT0
n+1
Ti2 ,j1 = 2∆x
,
(10)
k
h + √2∆x
i na naro»niku B/D i = i1 , j = j1 :
Tin+1
=
1 ,j1
√ k T n+1
+
2∆x i1 +1,j1 −1
k
h + √2∆x
hT0
(11)
Warunki brzegowe (6) - (11) s¡ zmienne - nale»y je zadawa¢ na pocz¡tku ka»dej iteracji schematu CrankaNicolson.
2
Zadanie 1: Idealna izolacja
Przyjmiemy ∆t = 15. Wstawi¢ h = 0 (idealna izolacja termiczna ±cian). W chwili pocz¡tkowej na korytarzu
T = T 0. Prze±ledzi¢, jak korytarz schªadza si¦ od s¡siadów: sprawdzi¢, ile ciepªa wypªywa z korytarza w funkcji
czasu. Deniujemy strumie« ciepªa:


~ = −k 
~q = −k ∇T
∂T
∂x
∂T
∂y
.
(12)
Aby zbada¢ wymian¦ ciepªa z s¡siadami liczymy strumie« ciepªa wpªywaj¡cego do korytarza to znaczy
caªkujemy ~q (w kierunku do wn¦trza korytarza) na poª¡czeniach korytarza z s¡siadami (T 1, T 2 i T 3). Rozpiszemy sobie pochodne w ~q na symetryczne ilorazy ró»nicowe. ~q dla poª¡czenia z T 1:
T2,j − T0,j
,
2 · ∆x
(13)
Timax −2,j − Timax ,j
,
2 · ∆x
(14)
Ti,jmax −2 − Ti,jmax
2 · ∆y
(15)
q1 = −k
dla poª¡czenia z T 2:
q2 = −k
dla poª¡czenia z T 3:
q3 = −k
Te wielko±ci caªkujemy odpowiednio wzdªu» linii s¡siaduj¡cych z T1 , T2 (j ∈ (jmin , j1 )) i T3 (i ∈ (i1 , i2 )). Dla
ka»dej chwili czasowej zapisujemy caªkowity (zsumowany) strumie«. W stanie ustalonym bilans transferów
powinien wyj±¢ na zero. Narysowa¢ zale»ny od czasu strumie« ciepªa od s¡siadów (tzn. q1 + q2 + q3 ) (30 pkt).
Narysowa¢ rozkªad temperatury na korytarzu dla stanu ustalonego gdy bilans wyjdzie na zero (30 pkt).
Zadanie 2: Nieszczelno±¢
Ciepªo ucieka przez ±ciany: wstawi¢ h = 0.01. Powtórzy¢ algorytm. Narysowa¢ mapy rozkªadu temperatury
T w chwilach t = dt, 10 · dt, 30 · dt i w stanie ustalonym (40 pkt).
3