Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z
Transkrypt
Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z
UNIWERSYTET MARII CURIE-SKŁODOWSKIEJ W LUBLINIE WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I INFORMATYKI Jaromir Krzyszczak Dynamika par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Praca magisterska wykonana w Zakładzie Teorii Fazy Skondensowanej. Promotor: prof. dr hab. Karol Wysokiński. Opiekun: dr hab. Tadeusz Domański. Lublin 2006 MARIA CURIE-SKŁODOWSKA UNIVERSITY IN LUBLIN FACULTY OF MATHEMATICS, PHYSICS AND COMPUTER SCIENCE Jaromir Krzyszczak The Cooper pair dynamics in the fermion systems with a time-dependent interaction. Diploma thesis prepared in Cendensed Matter Theory Department under supervision of prof. dr hab. Karol Wysokiński and dr hab. Tadeusz Domański Lublin 2006 Panu prof. dr hab. Karolowi Wysokińskiemu oraz Panu dr hab. Tadeuszowi Domańskiemu serdecznie dziękuję za cenne uwagi, okazaną mi pomoc oraz życzliwość w trakcie pisania niniejszej pracy. Spis treści Wprowadzenie 9 1. Wstęp 11 1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Nowe fakty i odkrycia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Mikroskopowa teoria BCS 21 2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3. Metoda Andersona 31 3.1. Opis metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Przypadek temperatury T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Przypadek temperatury T 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Równanie ruchu dla pseudospinów 43 4.1. Równanie ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2. Rozwiązanie szczególne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3. Rozwiązanie ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5. Równoważność opisu pseudospinowego i równań Bogoliubova-de Gennes’a 67 5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2. Parametr porządku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blocha . . . . . . . . . . 72 Podsumowanie i wnioski 75 Dodatek A 77 Dodatek B 81 7 Spis rysunków 85 8 Wprowadzenie W poniższej pracy przedstawiona jest metoda analizy zagadnienia dynamiki par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Motywacją do wybrania właśnie takiego tematu były dwie prace, które ukazały się na łamach Physical Review Letters oraz Physical Review A na przeciągu ostatnich dwóch lat - [12] oraz [21]. Celem tej pracy stało się odtworzenie formalizmu oraz wyników zawartych w tych pracach i rozszerzenie ich na przypadek bardziej ogólny. Pierwszy rozdział tej pracy poświęcony jest historycznemu zarysowi najważniejszych odkryć związanych z nadprzewodnictwem, od odkrycia samego zjawiska nadprzewodnictwa, aż do prowadzonych obecnie badań nad spułapkowanymi atomami. Badania te pozwalają kontrolować tak siłę, jak i charakter oddziaływań, co oznacza, że mogą być one uzależnione od czasu na wiele różnych sposobów. Drugi rozdział poświęcony jest fundamentom mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa, czyli teorii BCS. W rozdziale tym zamieszczona jest również bardzo prosta metoda rozwiązania zagadnienia BCS, nazywana transformacją Bogoliubova-Valatina, dzięki której otrzymuje się wielkości charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego. W trzecim rozdziale przedstawiony jest formalizm wprowadzony w 1958 roku przez P.W. Andersona. Formalizm ten pozwala na rozwiązanie zagadnienia BCS, jednak jego zaletą i przewagą nad innymi formalizmami jest to, iż odwołuje się on do znanych znacznie wcześniej zagadnień i pozwala w dosyć obrazowy sposób wyjaśnić zjawisko przewodzenia prądu bez oporu. Czwarty rozdział poświęcony jest zagadnieniu dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym, przy wykorzystaniu formalizmu wprowadzonego w rozdziale czwartym, pokazana jest metoda otrzymania równania typu Blocha oraz zawarte są dwa rozwiązania tego równania - rozwiązanie multisolitonowe (nazywane przez nas rozwiązaniem szczególnym, z powodu poczynionych w trakcie rozwiązywania założeń) z bardzo prostą zależnością czasową oddziaływań, oraz rozwiązanie bardziej ogólne z kilkoma różnymi profilami oddziaływań zależnych od czasu. W piątym, ostatnim, rozdziale zamieszczone są równania Bogoliubova-de Gennesa, które otrzymać można przy wykorzystaniu wprowadzonej w rozdziale trzecim transformacji, a które pozwalają na badanie dynamiki układu fermionów. W rozdziale tym zamieszczony jest również sposób przekształcenia równań Bogoliubova-de Gennesa do równania typu Blocha, dzięki czemu pokazujemy równoważność obydwu tych formalizmów. 9 10 Rozdział 1 Wstęp 1.1. Odkrycie zjawiska nadprzewodnictwa Zjawisko nadprzewodnictwa, odkryte przez Heike’a Kamerlingha Onnesa w 1911 roku, to jedno z najbardziej zadziwiających zjawisk w historii odkryć naukowych. Od momentu odkrycia tego zjawiska minęło prawie sto lat, ale wciąż fascynuje ono wiele osób. Stale dokonywane nowe odkrycia związane ze zjawiskiem nadprzewodnictwa wymuszają nieustanny rozwój teorii go opisującej. Gdy Heike Kamerlingh Onnes, urodzony w 1853 roku w Groningen, student Uniwersytetu w Groningen oraz Uniwersytetu w Heidelbergu w Niemczech, kończył pisać swoją pracę doktorską, nie mógł nawet podejrzewać, że to właśnie jemu przypadnie odkrycie tego zjawiska. W okresie tym Onnes poznał profesora Johannesa Diderika van der Waalsa, który zajmował się opracowaniem opisu gazów rzeczywistych. Heike postawił sobie za cel swoich badań ilościowy opis właściwości gazów w bardzo niskich temperaturach. Swoje plany badania gazów w niskich temperaturach mógł zacząć realizować, gdy w 1882 roku został profesorem Uniwersytetu w Lejdzie. To właśnie wtedy Onnes zbudował tam laboratorium kriogeniczne, które później, w 1932 roku, zostało nazwane jego imieniem. W laboratorium tym udało mu się powtórzyć eksperymenty wykonane w 1883 roku przez polskiego chemika Karola Olszewskiego oraz fizyka Zygmunta Wróblewskiego, którym udało się skroplić tlen oraz azot. Ponieważ Heike Kamerlingh Onnes do swoich badań potrzebował znacznie większych ilości tych cieczy, skupił swoją uwagę na zbudowaniu dużo wydajniejszej aparatury, której konstrukcję oparł na mechanizmie zwanym później procesem kaskadowym. Proces ten polega na wykorzystaniu kilku gazów o coraz niższej temperaturze skraplania do ochładzania kolejnego gazu. W aparaturze Onnesa każdy gaz był najpierw sprężany, następnie oziębiany do temperatury skraplania i rozprężany, a powstająca podczas parowania cieczy para oziębiała następny w szeregu sprężony gaz. Aparaturę tę udało mu się uruchomić w 1892 roku. Heike cały proces rozpoczął od chlorku metylowego, który kondensuje w temperaturze 21◦ C pod ciśnieniem 5 atm, a następnie skroplił etylen (-87◦ C w 3 atm), tlen (-145◦ C w 17 atm) i w końcu powietrze (-193◦ C w 1 atm). By jednak udało się skroplić wodór, Onnes musiał osiągnąć znacznie niższą temperaturę, a to wymagało od niego zbudowania znacznie precyzyjniejszej aparatury. Jednak w wyścigu w kierunku skro11 plenia wodoru Heike Kamerlingh Onnes wyprzedzony został przez szkockiego fizyka, Jamesa Dewara, badającego zjawiska zachodzące w niskich temperaturach. Jamesowi Dewarowi sztuka skroplenia wodoru udała się przy wykorzystaniu efektu termodynamicznego, zwanego zjawiskiem Joule’a-Thomsona, w 1898 roku. Zjawisko, które znalazło zastosowanie, a wręcz nawet stało się zasadniczą częścią całego cyklu procesu kaskadowego, polega na zmianie temperatury gazu rozprężającego się przez zawór, zwykle temperatura ta się zmniejsza. Dzięki niemu Dewarowi udało się oziębić wodór do temperatury -253◦ C, czyli 20 K. Urządzenie skonstruowane przez Jamesa Dewara wytwarzało jednak niewielkie ilości ciekłego wodoru, natomiast zamierzeniem Onnesa było badanie właściwości gazów w niskich temperaturach, potrzebował więc ciekłego wodoru w znacznie większych ilościach. Dopiero w 1906 roku udało mu się, wraz z innymi naukowcami, skonstruować aparaturę wykorzystującą zjawisko Joule’a-Thomsona, która umożliwiałaby wytwarzanie wystarczających ilości ciekłego wodoru i to właśnie wtedy, po raz pierwszy w Lejdzie, skroplił ten gaz. Urządzenia Onnesa, w którym gazowy wodór był najpierw sprężany, następnie przepływał przez obszar chłodzony ciekłym azotem i rozprężał się, co sprawiało, że ochładzał się na tyle, by skropleniu uległa jego część, produkowało około 4 litrów ciekłego wodoru na godzinę, ale po udoskonaleniach udało się zwiększyć tę ilość do 13 litrów na godzinę. W tym czasie, gdy James Dewar i Heike Kamerlingh Onnes usiłowali skroplić wodór, na Ziemi został odkryty hel. Okrycie to jest zasługą Williama Ramsaya, który w 1895 roku potraktował kleweit (rudę uranową) kwasem mineralnym i otrzymał hel. Wyjątkowo niska temperatura skraplania helu jest zasługą niezwykle słabo oddziałujących ze sobą atomów tego pierwiastka. Heike postawił za cel swojej pracy skroplenie helu, co zresztą sam napisał: ”Postanowiłem natychmiast, że moim celem będzie pokonanie tego ostatniego etapu”. Jednak wielką trudnością okazało się zdobycie odpowiedniej ilości, dopiero co odkrytego, gazowego helu. Onnes, z prośbą o pomoc, zwrócił się do swojego brata, który był dyrektorem Biura Wywiadu Handlowego w Amsterdamie, i dzięki temu udało mu się kupić dużą ilość piasku monacytowego z Karoliny Północnej, który to piasek zawiera hel. Heike, z jednego transportu, uzyskał około 300l gazowego helu. Aby go skroplić, potrzebował jednak bardzo wydajnej aparatury, która wytwarzałaby odpowiednią ilość ciekłego wodoru. Wcześniejsze doświadczenia, które Onnes nabył próbując skroplić wodór, pozwoliły skonstruować skraplarkę helową, opartą na procesie kaskadowym, w którym jako czynniki chłodzące zastosowane zostały ciekłe powietrze i ciekły wodór oraz na zjawisku Joule’a-Thomsona, już w 1908 roku. 10 lipca 1908 roku mała grupa naukowców pracujących na uniwersytecie w Lejdzie zebrała się, by obserwować przebieg eksperymentu. Przez cały dzień przez układ przepływał gazowy hel, temperatura wynosiła 4.2 K i nie chciała zejść poniżej tego poziomu, a jednak nie widać było cieczy. Późnym wieczorem Fransiscus Schreinemakers, profesor chemii, który obserwował ten eksperyment zupełnym przypadkiem, wysunął przypuszczenie, że temperatura przestała się zmniejszać ponieważ ciekły hel już powstał, ale jest on po prostu trudny do zaobserwowania. Heike Kamerlingh Onnes później wiele razy wspominał tą chwilę, kiedy oświetlił zainstalowane naczynie na gromadzący 12 się w aparaturze ciekły hel i ujrzał powierzchnię cieczy. Onnesowi udało się osiągnąć jeszcze niższą temperaturę (około 1.7 K) poprzez zmniejszenie ciśnienia, co było wtedy wynikiem niewiarygodnie bliskim zera bezwzględnego. Największym problemem Onnesa w tym czasie było wykorzystanie otrzymanego ciekłego helu do zaplanowanych badań. Heike poświęcił więc kolejne lata na udoskonalenie aparatury, tak aby nadawała się ona do tego celu, i dopiero w 1911 roku udało mu się stworzyć kriostat, który utrzymywał ciekły hel w stałej temperaturze, a w którym można było przeprowadzać badania właściwości różnych substancji w bardzo niskich temperaturach. W czasie, gdy Heike zajmował się skraplaniem kolejnych gazów, wielu naukowców dyskutowało na temat zależności temperaturowej oporu w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Lord Kelvin uważał, że poprawiający się w coraz niższych temperaturach przepływ elektronów (co zaobserwowane i udokumentowane zostało przez wspomnianych już wcześniej polskich naukowców - Zygmunta Wróblewskiego i Karola Olszewskiego), może ustać z powodu ”zamrożenia” elektronów. Oznaczałoby to, że w temperaturze zera bezwzględnego opór byłby nieskończony. Inni fizycy - w tym także Onnes i wspomniany wcześniej Dewar - przypuszczali, że opór będzie dalej malał i zniknie dopiero w temperaturze zera bezwzględnego. Temperatury osiągane przez Heike Kamerlingha Onnesa w jego eksperymentach były więc doskonałą okazją do zweryfikowania tych hipotez, jednak wynik zaskoczył wszystkich, gdyż z uwagi na ówczesny stan wiedzy o mikroświecie, był zupełnie nie do przewidzenia. Heike zdecydował się użyć do badań rtęci, gdyż chciał zapobiec sytuacji, w której niedoskonałość struktury metalu w stanie stałym mogłaby zaburzać przepływ prądu i przez to utrudniać interpretację wyników. Onnes, by przygotować do badań jak najczystszą próbkę, wielokrotnie destylował rtęć w temperaturze pokojowej, a następnie umieścił ją w szklanej kapilarze w kształcie litery U. Do końców tej kapilary przymocowane zostały elektrody, które umożliwiały przepływ prądu i jednocześnie badanie oporu. W trakcie oziębiania, gdy rtęć zestaliła się i utworzyła metalowy drut, Onnes wraz ze swoimi współpracownikami byli świadkami zmniejszania się oporu. Jednak w temperaturze skraplania się helu wynik pomiaru oporu był bardzo zdumiewający - opór wydawał się całkowicie znikać. Doświadczenie to przeprowadzali Heike Kamerlingh Onnes i Gerrit Flim, którzy doglądali pracę aparatury kriogenicznej oziębiającej rtęć, oraz Gilles Holst i Cornelius Dorsman, którzy przebywali w oddalonym o 50m pokoju i odczytywali wskazania galwanometru. Gdy kilkakrotnie ponawiane doświadczenie wciąż dawało ten sam wynik, badacze zaczęli przypuszczać, iż przyczyną jest jakieś zwarcie. Rurka w kształcie litery U została więc zastąpiona rurką w kształcie litery W z pięcioma elektrodami - na obu końcach i w kolankach - co dawało możliwość pomiaru oporu na różnych częściach próbki. Ponownie pomiary dały opór równy zeru, a na żadnym z badanych odcinków nie udało się odszukać zwarcia. Eksperyment był powtarzany wielokrotnie, aż któregoś razu jeden z asystentów, mający obowiązek kontrolowania wskazań manometru podłączonego do aparatury, zasnął. Ciśnienie par helu w kriostacie musiało być trochę niższe niż atmosferyczne, dzięki czemu sączące się przez nieszczelności do wnętrza powietrze zamarzało i uszczelniało aparaturę. Ponieważ nikt nie kontrolował wskazań 13 Rysunek 1: Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci jako funkcja temperatury. manometru, ciśnienie zaczęło powoli rosnąć, a wraz z nim i temperatura. Gdy przekroczyła 4.2 K, Holst stwierdził gwałtowny skok wskazań galwanometru, który sygnalizował pojawienie się oporu. Fakt ten potwierdził przekonanie Onnesa, że w temperaturze około 4.2 K opór rtęci naprawdę znikał. Stan, w którym opór metalu jest równy zero, nazwał stanem nadprzewodzącym, a swoje odkrycie opublikował pod koniec 1911 roku w pracy pod tytułem ”O nagłej zmianie szybkości znikania oporu rtęci”. Kolejne doświadczenia, z cyną oraz ołowiem, pokazały, że nie tylko rtęć w odpowiednio niskiej temperaturze przechodzi w stan nadprzewodzący. Heike Kamerlingh Onnes, który od razu zaczął myśleć nad zastosowaniem nowo odkrytego zjawiska, mocno się jednak rozczarował, gdy odkrył, że słabe pola magnetyczne potrafią zniszczyć nadprzewodnictwo. Oznaczało to, że pomimo braku oporu, przez przewodnik mógł płynąć bardzo niewielki prąd. Dopiero w ostatnich latach odkryto i rozpoczęto produkcję materiałów nadprzewodzących prądu o dużych natężeniach w silnych polach magnetycznych, co pozwala obecnie myśleć o zastosowaniu nadprzewodnictwa nie tylko w medycynie (urządzenie do obrazowania metodą rezonansu magnetycznego), ale także do konstrukcji nadprzewodzących linii energetycznych, czy pojawiających się do tej pory jedynie w książkach science-fiction lewitujących pociągów. 1.2. Właściwości stanu nadprzewodzącego Odkryte przez Heike Kamerlingha Onnesa zjawisko nadprzewodnictwa pozostawało dla naukowców zagadką przez prawie pół wieku. W tym czasie próbą teoretycznego opisu tego zja14 wiska zajmowało się wielu wybitnych fizyków, między innymi Richard Feynman, Werner Heisenberg, Niels Bohr czy sam Albert Einstein, jednak żadnemu z nich nie udało się wyjaśnić, dlaczego niektóre materiały przewodzą w niskich temperaturach prąd bez oporu. Dopiero kolejne odkrycia związane z nadprzewodnikami pozwoliły na sformułowanie opisu teoretycznego zjawiska nadprzewodnictwa. Jednym z nich było odkrycie w 1933 roku przez Walthera Meissnera i Roberta Ochsenfelda zjawiska, nazwanego potem efektem Meissnera. Efekt ten polega na całkowitym wypychaniu pola magnetycznego z wnętrza nadprzewodnika w momencie przejścia przez punkt zwany temperaturą krytyczną. Zewnętrzne pole magnetyczne wnika jedynie do cienkiej warstwy przy powierzchni nadprzewodnika. Zjawisko to sugeruje, że elektrony w nadprzewodniku wytwarzają wewnętrzne pole magnetyczne, które neutralizuje zewnętrzne pole magnetyczne. Rysunek 2: Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli. Między nadprzewodnikiem a idealnym przewodnikiem o zerowym oporze istnieje więc znacząca różnica - w temperaturze powyżej temperatury krytycznej w obydwu materiałach linie indukcji magnetycznej B przechodzą przez te materiały, jednak przy obniżeniu temperatury poniżej temperatury krytycznej linie indukcji magnetycznej zostaną wypchnięte jedynie z nadprzewodnika. Efekt ten stał się kryterium określającym, czy dany materiał o zerowym oporze elektrycznym można nazywać nadprzewodnikiem. Podstawowymi cechami nadprzewodników są więc zerowy opór oraz idealny diamagnetyzm. Umieszczenie nadprzewodnika w silnym polu magnetycznym powoduje przejście do stanu normalnego. Istnieje więc wartość krytycznego pola magnetycznego HC , poniżej której dany materiał jest nadprzewodnikiem. Wartości HC dla nadprzewodników I rodzaju są tak małe, że nie mają one praktycznego zastosowania w życiu codziennym. Dopiero znacznie później zaobserwowano materiały zachowujące się nieco odmiennie. W 1957 roku Aleksiej Abrikosow wprowadził pojęcie nadprzewodników II rodzaju. W nadprzewodnikach takich opór elektryczny zanika stopniowo w przedziale temperatur TC1 < T < TC2 . Jednocześnie nadprzewodniki takie posiadają dwie wartości krytycznego pola magnetycznego HC1 i HC2 . Po przyłożeniu zewnętrznego pola 15 z zakresu HC1 < H < HC2 materiały te wykazują zerowy opór, jednak indukcja magnetyczna wewnątrz takiego nadprzewodnika jest różna od zera. Oznacza to, że efekt Meissnera jest niepełny - strumień magnetyczny wnika do wnętrza nadprzewodnika w postaci wirów tworzących tzw. sieć Abrikosowa o strukturze heksagonalnej. Wartość HC2 jest zwykle znacznie większa od wartości HC1 , dzięki czemu materiały te znajdują szerokie zastosowanie praktyczne, między innymi w magnesach nadprzewodnikowych. Kolejnymi badaniami, które miały znaczny udział w sformułowaniu teoretycznego opisu nadprzewodnictwa były badania poświęcone entropii i ciepłu właściwemu. Entropia stanu nadprzewodzącego jest znacznie mniejsza, niż entropia stanu normalnego, co można zbadać, gdyż poniżej TC każdy materiał może zostać przeprowadzony ze stanu nadprzewodzącego do stanu normalnego poprzez przyłożenie zewnętrznego pola magnetycznego silniejszego niż wartość krytycznego pola magnetycznego danego materiału. Ponieważ entropia jest miarą nieporządku w układzie, oznacza to, że stan nadprzewodzący jest stanem bardziej uporządkowanym. Także zależności temperaturowe ciepła właściwego materiału w stanie normalnym i stanie nadprzewodzącym poniżej temperatury krytycznej TC różnią się od siebie. Rysunek 3: Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym. Na ciepło właściwe składa się część elektronowa, sieciowa i, w niskich temperaturach, jądrowa kwadrupolowa. Składowa elektronowa w stanie normalnym zależy liniowo od tempera16 tury, natomiast w stanie nadprzewodzącym - wykładniczo od 1 T. Zmiana charakteru zależności elektronowego ciepła właściwego sugeruje, iż ogromny udział w nadprzewodnictwie mają elektrony. Jednocześnie wykładniczy charakter zależności wskazuje na to, że przy wzroście temperatury elektrony wzbudzane są przez przerwę energetyczną (przerwa ta ma zupełnie inny charakter niż przerwa energetyczna w izolatorach). Przerwa energetyczna jest charakterystyczną cechą stanu nadprzewodzącego. Natomiast nieciągłość ciepła właściwego w temperaturze przejścia TC świadczy o tym, że przejście ze stanu normalnego do stanu nadprzewodzącego jest przejściem fazowym II rodzaju, w którym to przejściu nie ma ciepła przemiany. Ponadto, gdy temperatura dąży do temperatury krytycznej TC , przerwa energetyczna maleje do zera w sposób ciągły. Innym odkryciem, które miało fundamentalne znaczenie dla powstania teorii nadprzewodnictwa, było odkrycie w 1950 roku tak zwanego efektu izotopowego. Efekt ten polega na tym, że temperatura krytyczna TC pierwiastków nadprzewodzących zależy od masy izotopowej jonów sieci. Oznacza to, że temperatura krytyczna zmienia się w sposób płynny, gdy do materiału z danego pierwiastka dodajemy różne izotopy tego samego pierwiastka. Wzorem, który dobrze opisuje obserwowane doświadczalnie zależności, jest wzór M α TC = constans, gdzie α jest współczynnikiem otrzymanym z dopasowania do danych doświadczalnych. Opisywana przez ten wzór zależność temperatury krytycznej od masy izotopowej M sugeruje, iż związek między nadprzewodnictwem a drganiami sieci krystalicznej, czyli oddziaływaniami elektron-fonon, jest bardzo silny. Odkrycia te, oraz wnioski za nimi idące, pozwoliły na stworzenie w 1957 roku przez Johna Bardeena, Leona Coopera i Roberta Schrieffera kwantowej teorii nadprzewodnictwa, za którą otrzymali oni w 1972 roku nagrodę Nobla. 1.3. Nowe fakty i odkrycia Teoria BCS, która opiera się na założeniu, że za powstawanie par elektronowych odpowiadają sprzężenia elektronów z drganiami sieci - fononami, wyjaśnia i opisuje wiele właściwości nadprzewodników. Jednak ciągłe badania nad kolejnymi związkami, które podejrzewane były o nadprzewodnictwo w niskich temperaturach, doprowadziły do zaskakujących odkryć - nie we wszystkich nadprzewodnikach za powstawanie par elektronowych muszą odpowiadać fonony. W 1979 roku Frank Steglich, badając związek CeCu2 Si2 , stwierdził, że rolę bozonów pośredniczących w tym związku pełnią magnony, czyli kwazicząstki opisujące elementarne wzbudzenia magnetyczne (spinowe). Wzbudzenia te, w wyniku wzajemnych oddziaływań między spinami, mogą propagować się w krysztale jako fale, nazywane falami spinowymi. Wniosek Steglicha, płynący z przesłanek doświadczalnych - proporcjonalności oporu powyżej temperatury krytycznej TC do T 2 , co sugerowało, że dominującym oddziaływaniem w tym związku jest rozpraszanie kulombowskie elektronów między sobą, oraz tego, że energia Fermiego jest mniejsza od energii 17 ~ωD drgań sieci krystalicznej, wzbudził wiele kontrowersji i nie został łatwo zaakceptowany, jednak odkrycie pierwszego nadprzewodnika niefononowego stało się podstawą do stworzenia nowych koncepcji odnośnie bozonów pośredniczących w tworzeniu par w nadprzewodnikach. Odkrycie to, nazwane później nadprzewodnictwem cieżkofermionowym, polega na silnej korelacji zachowania elektronów z pasma przewodnictwa. W wyniku wzajemnych oddziaływań kulombowskich elektronów, ich masa efektywna wzrasta wielokrotnie w stosunku do masy elektronu swobodnego. Wzrost masy elektronu ma bardzo duży wpływ na ruch elektronów. Obecnie uważa się, że za nadprzewodnictwo mogą odpowiadać bardzo różne bozony pośredniczące, między innymi fonony, magnony, ekscytony, anyony czy polarony. W 1986 roku Georg Bednorz i Alex Muller, zatrudnieni w laboratorium IBM w Zurychu, badali szczególny rodzaj materiałów - ceramiczne związki tlenków o strukturze perowskitu. Odkryli wtedy nadprzewodnik o rekordowo wysokiej, jak na tamte czasy, temperaturze krytycznej, która przekraczała maksymalną temperaturę krytyczną dopuszczaną przez teorię BCS. Ich odkrycie, które stało się inspiracją dla innych naukowców, zapoczątkowało rewolucję nadprzewodnikową - niedługo później odkryto wiele związków o bardzo wysokich temperaturach krytycznych. Ten rodzaj nadprzewodnictwa, który cechuje się wysokimi temperaturami i polami krytycznymi, nazwany został nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Mechanizm odpowiadający za nadprzewodnictwo w materiałach będących nadprzewodnikami wysokotemperaturowymi do tej pory nie jest całkowicie zrozumiały, choć wiele wskazuje na to, że jest on związany z warstwową budową struktury krystalicznej. Nie wiadomo natomiast, czy za nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe może odpowiadać sprzężenie elektron-fonon, tworzące pary Coopera w nadprzewodnikach klasycznych. Warto w tym miejscu wspomnieć o odkryciach nadprzewodnictwa w następujących materiałach: BaP b0.75 Bi0.25 O3 o TC = 12K, La1.85 Ba0.15 CuO4 o TC = 36K, Y Ba2 Cu3 O7 o TC = 90K czy T l2 Ba2 Ca2 Cu3 O10 o TC = 120K. Obecnie najwyższą temperaturą krytyczną TC = 138K posiada odkryty w 1995 roku związek o wzorze (Hg0.8 Tl0.2 ) Ba2 Ca2 Cu3 O8.33 . Wszystkie te związki wykazują silną anizotropię wielu właściwości. W 1995 roku Ericowi Cornellowi oraz Carlowi Wiemanowi, po raz pierwszy w historii, udało się zaobserwować kondensację Bosego-Einsteina w gazie. Eksperyment ten polegał na ochłodzeniu 2000 spułapkowanych atomów rubidu do temperatury rzędu ułamka kelwina, dzięki czemu atomy na około 10 sekund straciły swoje indywidualne właściwości i zaczęły zachowywać się jak jeden ”superatom”. Od tamtego czasu prowadzone są intensywne badania nad tym stanem skupienia, jednak dopiero w 2003 roku Deborah Jin udało się otrzymać kondensat złożony z atomów typu fermionowego. Otrzymanie takiego kondensatu było znacznie trudniejsze z powodu zakazu Pauliego, obowiązującego ten rodzaj cząstek - dwa fermiony nie mogą obsadzać jednego stanu kwantowego. Zamiast tego zapełniają najbardziej korzystne energetycznie stany, tworząc tak zwane ”morze”Fermiego. Eksperyment przeprowadzony przez Deborah Jin polegał na ochłodzeniu 5 · 105 atomów potasu do temperatury 5 · 10−8 K i przyłożeniu zewnętrznego pola magnetycznego. Dzięki temu udało się zmusić atomy typu fermionowego do utworzenia 18 par - molekuł o charakterze bozonowym, które uległy kondensacji. Obecnie do badania tego mechanizmu kondensacji wykorzystuje się atomy potasu 40 K lub litu 6 Li. Najnowsze badania nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego pozwalają naukowcom na kontrolowanie oddziaływań między atomami. Dzieje się tak dzięki wykorzystaniu tak zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha. Przy pewnych wartościach pola magnetycznego, relatywnie mała zmiana wartości tego pola, może spowodować dużą zmianę siły, a a nawet zmianę charakteru oddziaływań. Dzięki temu, przed naukowcami otworzyły się całkowicie nowe możliwości badań nad zachowaniem fermionów - charakter oddziaływań między atomami może zostać gwałtownie zmieniony na przykład z odpychającego na przyciągające. Ponieważ jego wartość można zmieniać w ciągły sposób, to pozwala to badać procesy zależne od czasu. Rysunek 4: Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha. Oddziaływanie między dwoma atomami może być opisane za pomocą długości rozpraszania a, przedstawionej na Rysunku 4 w zależności od przyłożonego pola magnetycznego w pobliżu rezonansu Feshbacha B0 . Po tak zwanej stronie BEC (B < B0 ), dla której a > a0 , oddziaływania między atomami są odpychające. W trakcie zderzeń między atomami, mogą one utworzyć na 19 krótką chwilę molekułę. Jeżeli moment magnetyczny tak utworzonej molekuły różni się od momentu magnetycznego niezwiązanych atomów, można spowodować, zmieniając wartość pola magnetycznego, iż stan związany jest bardziej korzystny energetycznie niż stan niezwiązany. Molekuła utworzona z dwóch fermionów ma charakter bozonowy, dzięki czemu mogą one ulec kondensacji Bosego-Einsteina (BEC). Po stronie BCS (B > B0 ), dla której długość rozpraszania a < a0 , oddziaływania między atomami są przyciągające. Atomy mogą jednak nadal tworzyć parę, która jest luźno związana, a której rozmiary porównywalne są do średnich odległości między cząstkami. Kondensat Bosego-Einsteina takich ”kruchych” par nazywany jest stanem BCS, od nazwisk Bardeena, Coopera i Schrieffera, ponieważ dokładnie taka sytuacja występuje w nadprzewodnikach. Rezonanse Feshbacha dają więc nie tylko możliwość manipulowania wartością oddziaływań między fermionami w czasie, ale również są doskonałym medium testowania, przeprowadzanych do tej pory jedynie teoretycznie, rozważań na temat zagadnienia ciągłego przejścia od nadprzewodnictwa BCS luźno związanych par do nadciekłości BEC par lokalnych. 20 Rozdział 2 Mikroskopowa teoria BCS W 1957 roku John Bardeen, Leon Cooper i Robert Schrieffer podali podstawy mikroskopowej teorii wyjaśniającej zjawisko nadprzewodnictwa, oraz przewidującej kolejne efekty związane z nadprzewodnikami, za którą to teorię otrzymali w 1972 roku nagrodę Nobla. Pomimo, że w oryginalnej pracy bozonami pośredniczącymi w przekazywaniu oddziaływania odpowiedzialnego za powstawanie par były fonony, to uwzględnienie różnych mechanizmów parowania cząstek pozwala rozszerzyć zakres stosowalności teorii BCS na znacznie szerszy obszar, niż nadprzewodniki klasyczne - od skondensowanej fazy 3 He, poprzez nadprzewodzące pierwiastki i związki chemiczne, aż do tlenkowych nadprzewodników wysokotemperaturowych. 2.1. Zjawisko powstawania par fermionowych Podstawowym założeniem teorii BCS jest dopuszczenie możliwości łączenia się w pary nośników ładunku w przewodniku. Inspiracją do takiego założenia był wynik teoretyczny otrzymany przez Herberta Fröhlicha w 1950 roku. Fröhlich, tuż po odkryciu efektu izotopowego, zaczął zastanawiać się, dlaczego temperatura krytyczna zależy od masy izotopowej jonów sieci. Stwierdził wtedy, że kwant drgania sieci, fonon, musi odgrywać kluczową rolę w mechanizmie prowadzącym do nadprzewodnictwa. Rozważając sytuację, w której jeden z elektronów emituje kwant drgania sieci krystalicznej, który następnie jest absorbowany przez inny elektron, doszedł do wniosku, że istnieją pewne warunki, dla których to oddziaływanie między elektronami może być przyciągające! Dzieje się tak dla elektronów posiadających energię bardzo bliską energii Fermiego. Jednak wynik teoretyczny Fröhlicha, pomimo że obiecujący i dający wyjaśnienie efektu izotopowego, nie pozwalał wytłumaczyć, w jaki sposób oddziaływanie przyciągające może odgrywać rolę w nadprzewodnikach, skoro oddziaływanie kulombowskie między elektronami jest znacznie silniejsze. Nad problemem tym zaczął zastanawiać się Johna Bardeen, który doszedł do wniosku, że odpowiedź tkwi w ośrodku - jeżeli uwzględnimy wpływ ekranowania oddziaływań elektron-elektron oraz elektron-jon, to właśnie obecność jonów sieci krystalicznej sprawia, iż oddziaływania między elektronami mogą być przyciągające. Leon Cooper pokazał, że przyciąganie to może, w niskich temperaturach, spowodować niestabilność powierzchni Fermiego stanu 21 normalnego ze względu na tworzenie par elektronów o przeciwnym pędzie i spinie. Oznacza to, że w niskich temperaturach ciecz zbudowana z elektronów przewodnictwa, które powiązane są ze sobą w pary - kwazicząstki o charakterze bozonowym, ulega kondensacji Bosego-Einsteina i przechodzi w stan nadciekły. Kondensacja Bose-Einsteina par elektronowych i ich przejście do stanu nadciekłego obserwowane jest jako zanik oporu elektrycznego. W tym momencie teoria wyjaśniająca zjawisko nadprzewodnictwa była praktycznie gotowa, i powstała, gdy Robert Schrieffer zastosował podejście wykorzystywane wcześniej dla polaronów do zagadnienia oddziałujących par elektronowych - par Coopera. Z teorii BCS wynika wiele właściwości stanu nadprzewodzącego - między innymi tłumaczy ona dlaczego w nadprzewodnikach powstaje przerwa energetyczna. Dzieje się tak dlatego, iż elektron, poruszając się w ośrodku, oddziałuje z siecią krystaliczną powodując jej deformację. Ponieważ elektron porusza się znacznie szybciej niż jony sieci krystalicznej powracają do stanu równowagi, to w miejscu deformacji powstaje lokalne zagęszczenie ładunku dodatniego, przez które przyciągany jest drugi elektron. Oddziaływanie przyciągające między elektronami realizowane jest więc za pomocą deformacji sieci krystalicznej - fononu. W wyniku takiego oddziaływania powstaje stan związany - para Coopera. Aby rozdzielić parę Coopera na dwa niezależne elektrony potrzebna jest skończona wartość energii. Oznacza to, że w układzie istnieje przerwa energetyczna dla wzbudzeń jednoelektronowych. 2.2. Transformacja Bogoliubova-Valatina Od momentu opublikowania teorii BCS minęło już prawie pół wieku. Na przełomie tego czasu opracowano wiele sposobów rozwiązania zagadnienia BCS, ale jedną z najbardziej znanych i prawdopodobnie najprostszą metodą, pozostaje wprowadzenie transformacji kanonicznej, która diagonalizuje elementy macierzowe hamiltonianu. Transformacja ta nazwana jest transformacją Bogoliubova-Valatina [2]. W tym rozdziale pokażemy w jaki sposób zdefiniować taką transformację i jak za jej pomocą otrzymać równania teorii BCS. Rozważać będziemy układ cząsteczek typu fermionowego, który opisywany jest hamiltonianem ĤBCS = ĤKIN + ĤP OT = X ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − k,σ=↑,↓ X k,k0 ,q,σ,σ 0 Vk,k0 (q) ĉ†k0 +q,σ0 ĉk0 ,σ0 ĉ†k−q,σ ĉk,σ . (1) W teorii opisującej zagadnienie wielu ciał wygodnie jest mierzyć energię względem poziomu Fermiego, dlatego do hamiltonianu wprowadziliśmy energię ξk = ek − µ. Ponieważ powyższy hamiltonian nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły, dlatego w naszych dalszych rozważaniach zmuszeni jesteśmy do ograniczenia rozwiązania i wykonania przybliżeń. Pierwsze przybliżenie polegać będzie na pozostawieniu w członie oddziaływania tylko tej części, dla której oddziaływanie między fermionami jest przyciągające i prowadzi do powstawania par. Dzieje się tak w przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k 0 = 0, a fermiony tworzące parę mają przeciwne spiny. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są 22 sobie równe (Vk,k0 (q) = V ). Możemy więc przepisać hamiltonian (1) jako ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − V X ĤBCS = X ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ . (2) k,k0 k,σ=↑,↓ Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS. Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan Φ0 = Y uk + vk ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ Φvac , (3) k gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi. † Ideą transformacji Bogoliubova-Valatina jest wprowadzenie nowych operatorów γ̂k,σ i γ̂k,σ , za pomocą których wyrazimy stare operatory ĉ†k,σ i ĉk,σ , a następnie sprawdzenie, jakie wa† runki muszą spełniać te operatory, by diagonalizowały hamiltonian. Nowe operatory γ̂k,σ i γ̂k,σ wprowadzimy w następujący sposób [3] † γ̂k,↑ ≡ uk ĉ†k,↑ − vk ĉ−k,↓ , (4) γ̂−k,↓ ≡ uk ĉ−k,↓ + vk ĉ†k,↑ . (5) Sprzężenie hermitowskie wprowadzonych równań da nam † † γ̂k,↑ = γ̂k,↑ = u∗k ĉk,↑ − vk∗ ĉ†−k,↓ , (6) † (γ̂−k,↓ )† = γ̂−k,↓ = u∗k ĉ†−k,↓ + vk∗ ĉk,↑ . (7) W tym miejscu, dla wygody, zakładamy, że współczynniki uk i vk są wielkościami rzeczywistymi (czyli uk = u∗k i vk = vk∗ , chociaż w ogólności tak być nie musi). Dzięki temu otrzymamy, że γ̂k,↑ = uk ĉk,↑ − vk ĉ†−k,↓ , (8) † γ̂−k,↓ = uk ĉ†−k,↓ + vk ĉk,↑ . (9) Operatory γ̂ † i γ̂ nazywane są operatorami Bogoliubova-Valatin’a. Jak sugeruje notacja, opera† † tory γ̂k,↑ oraz γ̂−k,↓ kreują kwazicząstki w stanie odpowiednio k ↑ i −k ↓, natomiast operatory γ̂k,↑ oraz γ̂−k,↓ annihilują kwazicząstki będące w tych stanach. Ponieważ wprowadzona transformacja ma być transformacją kanoniczną, to od wprowadzonych operatorów będziemy wymagali, by były one operatorami fermionowymi (tak jak operatory ĉ). Z zasad antykomutacyjnych dla tych operatorów n o = 0, (10) n o = 0, (11) = δk,k0 δσ,σ0 , (12) γ̂k,σ , γ̂k0 ,σ0 † γ̂k,σ , γ̂k†0 ,σ0 n † γ̂k,σ , γ̂k0 ,σ0 o 23 wynika własność na współczynniki uk i vk u2k + vk2 = 1. (13) Zbudujmy teraz transformację odwrotną do transformacji Bogoliubova-Valatin’a. Zrobimy to dodając i odejmując stronami równania (4) i (5) oraz równania (8) i (9), a następnie korzystając z równania (13). W wyniku tej operacji otrzymamy † ĉ†k,↑ = uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ , (14) † ĉ−k,↓ = uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑ , (15) † ĉ†−k,↓ = uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑ , (16) † ĉk,↑ = uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ . (17) Transformacje Bogoliubova-Valatin’a i transformacje do nich odwrotne możemy zapisać w postaci macierzowej † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ ĉ†k,↑ ĉ−k,↓ = uk −vk ĉ†k,↑ vk ĉ−k,↓ = uk uk vk −vk uk † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ (18) , (19) . Pomimo ograniczenia członu oddziaływania tylko do części związanej z przyciąganiem fermionów, hamiltonian nadal nie jest rozwiązywalny w sposób ścisły. Dokonamy więc jeszcze jednego przybliżenia, zwanego przybliżeniem średniego pola ÂB̂ ' hÂiB̂ + ÂhB̂i − hÂihB̂i. (20) Część potencjalna zredukowanego hamiltonianu BCS (2) wyrazi się jako ĤP OT ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ ' = −V X ' −V Xh k,k0 i hĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ iĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ hĉ−k,↓ ĉk,↑ i . (21) k,k0 Wprowadźmy teraz następujący parametr ∆=V X hĉ−k,↓ ĉk,↑ i. (22) k Sprzężenie hermitowskie tego parametru daje ∆∗ = V X hĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ i. (23) k Równania (22) i (23) przekształci część potencjalną hamiltonianu BSC (21) do postaci ĤP OT = − X ∆∗ ĉ−k,↓ ĉk,↑ − X k0 k 24 ∆ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ . (24) W tym miejscu założymy, że parametr ∆ jest wielkością rzeczywistą, co daje ĤP OT = − X i h ∆ ĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ . (25) k Następnym krokiem będzie podstawienie nowych operatorów γ̂ za stare operatory ĉ, wykorzystując w tym celu wprowadzoną transformację kanoniczną i jednocześnie przyjmując, że uk = u−k , vk = v−k oraz ξk = ξ−k . Podstawienie to sprawi, że równanie (25) przyjmie postać ĤP OT = − X = − X i h ∆ ĉ−k,↓ ĉk,↑ + ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ = k † ∆ uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑ † + uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ k − X † ∆ uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ † uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑ = k = − † † ∆2uk vk γ̂−k,↓ γ̂−k,↓ − γ̂k,↑ γ̂k,↑ + X k − X ∆ u2k − vk2 † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + γ̂−k,↓ γ̂k,↑ = k = 2 X † † γ̂k,↓ + ∆uk vk γ̂k,↑ γ̂k,↑ − 1 + γ̂k,↓ k − X ∆ u2k − vk2 † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + † † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ = k = −2 X ∆uk vk + 2 k − X † ∆uk vk γ̂k,σ γ̂k,σ + X k,σ=↑,↓ ∆ u2k − vk2 † † † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + γ̂k,↑ γ̂−k,↓ † (26) . k Część kinetyczna zredukowanego hamiltonianu BCS (2), po postawieniu nowych operatorów, może zostać przekształcona do postaci ĤKIN ξk ĉ†k,σ ĉk,σ = X = k,σ=↑,↓ + X ξk X † ξk uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ † uk γ̂k,↑ + vk γ̂−k,↓ + k † uk γ̂k,↓ − vk γ̂−k,↑ † uk γ̂k,↓ − vk γ̂−k,↑ = k † ξk u2k γ̂k,σ γ̂k,σ + X = k,σ=↑,↓ + X † ξk vk2 γ̂−k,σ γ̂−k,σ + X k,σ=↑,↓ ξk uk vk † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + † + † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + k X ξk uk vk † † γ̂−k,↑ γ̂k,↓ + † † † γ̂−k,↑ γ̂k,↓ = k = 2 X + 2 X X ξk vk2 + k † ξk u2k − vk2 γ̂k,σ γ̂k,σ + k,σ=↑,↓ ξk uk vk † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + † † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ . (27) k Cały hamiltonian, po wykonaniu przybliżenia średniego pola i w formalizmie nowych operato25 rów γ̂ możemy zapisać jako ĤBCS = 2 X ξk vk2 − ∆uk vk + k + Xh X † ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk γ̂k,σ γ̂k,σ + k,σ=↑,↓ 2ξk uk vk − ∆ u2k − vk2 i † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + † † † γ̂k,↑ γ̂−k,↓ (28) . k Ponieważ ze wszystkich możliwych transformacji poszukujemy transformacji diagonalizującej elementy macierzowe otrzymanego hamiltonianu, będziemy musieli narzucić na otrzymany hamiltonian warunek na zerowanie się elementów niediagonalnych. Oznacza to, że wprowadzając nowe, kwazicząstkowe operatory, założymy, że kwazicząstki poruszają się w potencjale uśrednionym, nie oddziałując między sobą (są swobodne). Spełnione więc musi być następujące równanie 2ξk uk vk − ∆ u2k − vk2 = 0. (29) Z warunków na zachowanie charakteru fermionowego cząstek i na diagonalizację hamiltonianu otrzymujemy układ równań u2k + vk2 = 1, (30) ξ u2k − vk2 = 2 ∆k uk vk , który to układ równań będziemy starali się rozwiązać. Możemy to zrobić przekształcając drugie równanie układu (30) do postaci 2uk vk = ∆ 2 uk − vk2 , ξk (31) a następnie podnosząc obydwie strony otrzymanego równania do kwadratu i dzieląc przez 2 u2k − vk2 , co daje ∆2 4u2k vk2 = 2 . 2 ξk u2k − vk2 (32) Wielkość 2u2k vk2 możemy rozpisać jako 2u2k vk2 = u2k vk2 + u2k vk2 = u2k 1 − u2k + 1 − vk2 vk2 = 1 − u4k + vk4 = = 1 − u2k − vk2 2 − 2u2k vk2 , (33) co pozwoli nam zapisać 4u2k vk2 występujące w liczniku równania (32) jako 4u2k vk2 = 1 − u2k − vk2 2 . Dzięki temu zabiegowi otrzymujemy, że ∆2 1 = 2 − 1, 2 2 ξk uk − vk2 26 (34) Przenosząc jedynkę na drugą stronę równania i zapisując lewą stronę w postaci jednego ułamka, następnie zamieniając miejscami liczniki ułamków z mianownikami i pierwiastkując obydwie strony otrzymamy równość ξk . u2k − vk2 = q ∆2 + ξk2 (35) Z otrzymanego równania oraz z pierwszego równania układu równań (30) otrzymamy rozwiązanie na współczynniki u2k i vk2 2 uk = 1 2 √ ξk ∆2 +ξk2 + 12 , (36) ξk 1 1 2 vk = − 2 √∆2 +ξ 2 + 2 . k Teraz, porównując stronami równania na u2k − vk2 , możemy napisać, że ξk =2 q ∆2 + ξk2 ξk uk vk , ∆ (37) dzięki czemu otrzymamy informację o tym, ile wynosi 2uk vk ξk 2uk vk = q ∆ ∆2 + ξk2 ξk (38) . Możemy teraz wrócić do hamiltonianu (28) i wykorzystać powyższe rozważania, podstawiając otrzymane wielkości. Dzięki temu hamiltonian przyjmie następującą postać ĤBCS = X X 2vk (ξk vk − ∆uk ) + k † ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk γ̂k,σ γ̂k,σ (39) k,σ=↑,↓ 2.3. Wielkości charakterystyczne dla stanu BCS Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina możemy policzyć pewne, charakterystyczne dla stanu nadprzewodzącego, wielkości. Oznaczmy † człon stojący przy operatorach γ̂k,σ γ̂k,σ przez Ek i policzmy, ile on wyniesie q ∆2 + ξk2 Ek = ξk u2k − vk2 + 2∆uk vk = ± q = ± ∆2k + ξk2 . ∆2 + ξk2 (40) W rozwiązaniu tym wybieramy wynik ze znakiem dodatnim. Powodem takiego wyboru jest to, iż energia Ek jest energią wzbudzenia jednej kwazicząstki i musi być do układu dostarczona. W poprzedniej części tego rozdziału zdefiniowaliśmy parametr porządku ∆ (22) jako ∆=V X hĉ−k,↓ ĉk,↑ i. k Aby policzyć ∆, musimy zastanowić się ile wyniesie hĉ−k,↓ ĉk,↑ i. Wstawmy w miejsce operatorów ĉ nowe operatory γ̂, co da ĉ−k,↓ ĉk,↑ = † uk γ̂−k,↓ − vk γ̂k,↑ † vk γ̂−k,↓ + uk γ̂k,↑ = † † † † = uk vk γ̂−k,↓ γ̂−k,↓ − γ̂k,↑ γ̂k,↑ + u2k γ̂−k,↓ γ̂k,↑ − vk2 γ̂k,↑ γ̂−k,↓ . 27 (41) Korzystając z własności antykomutacyjnych, możemy napisać, że † † † † ĉ−k,↓ ĉk,↑ = uk vk 1 − γ̂−k,↓ γ̂−k,↓ − γ̂k,↑ γ̂k,↑ + u2k γ̂−k,↓ γ̂k,↑ − vk2 γ̂k,↑ γ̂−k,↓ . (42) Policzmy teraz średnią hĉ−k,↓ ĉk,↑ i w sensie statystycznym, pamiętając, że nowe operatory γ̂ są † operatorami fermionowymi. Oznacza to, że hγ̂−k,↓ γ̂−k,↓ i = 1 , eβEk +1 gdzie β = 1 kB T . Średnia ta da nam następujący wynik † † † † hĉ−k,↓ ĉk,↑ i = uk vk 1 − hγ̂−k,↓ γ̂−k,↓ i − hγ̂k,↑ γ̂k,↑ i + u2k hγ̂−k,↓ γ̂k,↑ i − vk2 hγ̂k,↑ γ̂−k,↓ i= 1 = uk vk 1 − eβEk + 1 1 − eβEk + 1 = uk vk (1 − 2fF D ) , Korzystając z równań (38) i (40) możemy napisać, że uk vk = ∆ 2Ek . (43) Wstawmy tą wielkość do równania na średnią ∆ ∆ eβEk − 1 , (1 − 2fF D ) = 2Ek 2Ek eβEk + 1 hĉ−k,↓ ĉk,↑ i = co po wstawieniu w miejsce średniej do równania na parametr porządku ∆ = V (44) † † k hĉk,↑ ĉ−k,↓ i P da wynik ∆=V X ∆ eβEk − 1 2Ek eβEk + 1 k =V Ek tanh 2Ek 2kB T X ∆ k . (45) Otrzymaliśmy więc równanie na parametr porządku. Równanie to posiada dwa rozwiązania trywialne ∆ = 0 oraz nietrywialne ∆ 6= 0. Rozwiążmy to równanie w przypadku nietrywialnym dla T = 0 [5]. Równanie na parametr porządku przyjmie wtedy postać ∆ X ∆=V q k0 2 ∆2 + ξk20 (46) . Podzielmy obydwie strony równania (46) przez ∆ i zastąpmy sumowanie całkowaniem Z ∞ 1=V −∞ 1 ρ (ξ) dξ, 2 ∆2 + ξ 2 (47) p gdzie ρ (ξ) oznacza gęstość stanów. Ograniczymy całkowanie do przedziału energii < −ωD ; ωD >, gdzie ωD jest energią rzędu energii Debye’a. Dla tego przedziału gęstość stanów ρ (ξ) można uznać w przybliżeniu za stałą ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF . (48) Wstawiając równanie (48) do równania (47) otrzymamy następującą postać całki 1= V ρF 2 Z ωD −ωD p 1 dξ. + ξ2 (49) ∆2 Funkcja podcałkowa jest funkcją symetryczną, więc możemy napisać 1= V ρF 2 2 Z 0 ωD 1 dξ = V ρF sinh−1 2 ∆ + ξ2 p 28 ξ ωD . ∆ 0 (50) Dzieląc obydwie strony przez V ρF i licząc funkcję odwrotną 1 ωD = sinh ∆ V ρF (51) , a następnie przekształcając otrzymane równanie do postaci ωD ∆= sinh 1 V ρF (52) , otrzymaliśmy wzór na wartość parametru porządku ∆. Dla V ρF 1 możemy wykonać jeszcze następujące przybliżenie: −1 ∆ ' 2ωD e V ρF . (53) Możemy jeszcze policzyć, ile wynosi liczba cząstek N . W tym celu policzymy hĉ†k,↑ ĉk,↑ i = hĉ†k,↓ ĉk,↓ i. Wstawmy w miejsce starych operatorów ĉ nowe operatory γ̂, co da ĉ†k,↑ ĉk,↑ = † vk γ̂−k,↓ + uk γ̂k,↑ † vk γ̂−k,↓ + uk γ̂k,↑ = † † † † γ̂k,↑ . + uk vk γ̂−k,↓ γ̂k,↑ + γ̂k,↑ γ̂−k,↓ + u2k γ̂k,↑ = vk2 γ̂−k,↓ γ̂−k,↓ (54) Policzmy teraz średnią otrzymanego wyrażenia na ĉ†k,↑ ĉk,↑ w sensie statystycznym † † † † hĉ†k,↑ ĉk,↑ i = vk2 hγ̂−k,↓ γ̂−k,↓ i + uk vk hγ̂−k,↓ γ̂k,↑ i + hγ̂k,↑ γ̂−k,↓ i + u2k hγ̂k,↑ γ̂k,↑ i = = u2k − vk2 fF D + vk2 1 ξk = +q 2 ∆2 + ξk2 2 − eβEk − 1 2eβEk + 2 ! = 1 ξk eβEk − 1 = − q − 1 . βEk + 1 2 ∆2 + ξ 2 e (55) k Powyższe wyrażenie na średnią hĉ†k,↑ ĉk,↑ i możemy zapisać jako 1 ξk Ek − q tanh 2 2 ∆2 + ξ 2 2kB T k hĉ†k,↑ ĉk,↑ i = (56) . Liczba cząstek N jest więc równa N = X X hnk,σ i = k,σ k = X k (hnk,↓ i + hnk,↑ i) = 1 − q ξk ∆2 + ξk2 X hĉ†k,↑ ĉk,↑ i + hĉ†k,↓ ĉk,↓ i = k tanh Ek . 2kB T (57) Dzięki wprowadzonej w tym rozdziale metodzie transformacji kanonicznej Bogoliubova-Valatina udało się nam pokazać niektóre z właściwości zredukowanego hamiltonianu BCS. Otrzymaliśmy również postaci parametrów teorii BCS. Metoda transformacji kanonicznej jest więc bardzo przydatną, i co najważniejsze - bardzo prostą metodą rozważania właściwości stanu BCS. 29 30 Rozdział 3 Metoda Andersona 3.1. Opis metody Innym sposobem rozwiązania zagadnienia BCS jest metoda zaproponowana przez P.W. Andersona w 1958 roku [1]. Polega ona na wprowadzeniu operatorów analogicznych do operatorów spinowych i jest jednym z najbardziej obrazowych sposobów opisu właściwości hamiltonianu BCS. W tej części mojej pracy pokażę, w jaki sposób definiowane są pseudospiny i jak za pomocą tego formalizmu można odtworzyć równania teorii BCS. Rozważymy stan podstawowy gazu fermionowego w obecności oddziaływań przyciągających, który jest opisany hamiltonianem X ĤBCS = ĤKIN + ĤP OT = ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − X Vk,k0 ĉ†k0 +q,↑ ĉk0 ,↑ ĉ†k−q,↓ ĉk,↓ . (1) k,k0 k,σ=↑,↓ Energia ξk jest mierzona względem poziomu Fermiego ξk = ek − µ. Dalsze rozważania ograniczymy do przypadku, w którym całkowity pęd pary jest równy k + k 0 = 0. Dla wygody przyjmiemy również, że elementy macierzowe oddziaływania są sobie równe Vk,k0 = V . Możemy więc przepisać hamiltonian BCS jako ĤBCS = X ξk ĉ†k,σ ĉk,σ − V X ĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ ĉ−k,↓ ĉk,↑ . (2) k,k0 k,σ=↑,↓ Hamiltonian ten jest nazywany zredukowanym hamiltonianem BCS i działa w podprzestrzeni par tylko na stanach s (↑, ↓). Stanem podstawowym dla tego hamiltonianu jest stan Φ0 = Y uk + vk ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ Φvac , (3) k gdzie Φvac jest stanem próżni a uk i vk są współczynnikami liczbowymi. Wprowadźmy teraz operatory pseudospinu, które można powiązać w następujący sposób z operatorami par Coopera σ̂k+ = ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ (4) σ̂k− = ĉ−k,↓ ĉk,↑ , (5) 31 a które jednocześnie, z definicji [10], są równe 1 x σ̂k + iσ̂ky 2 1 x − σ̂k − iσ̂ky . σ̂k ≡ 2 σ̂k+ ≡ (6) (7) Operatory typu spinowego spełniają następujące warunki komutacyjne h i σ̂k+ , σ̂k− = σ̂kz (8) 1 z + σ̂ , σ̂ = σ̂k+ 2 k k 1 σ̂k− , σ̂kz = σ̂k− , 2 (9) (10) natomiast operatory σ̂kx , σ̂ky i σ̂kz spełniają następujące warunki komutacyjne σ̂kx , σ̂ky = 2iσ̂kz (11) σ̂ky , σ̂k = 2iσ̂kx (12) [σ̂kz , σ̂kx ] = 2iσ̂ky , (13) z oraz antykomutacyjne σ̂kx , σ̂ky = σ̂ky , σ̂kz = {σ̂kz , σ̂kx } = 0. (14) Z własności komutacyjnych (11), (12) i (13) oraz antykomutacyjnych (14) dla operatorów σ̂kx , σ̂ky i σ̂kz wynikają zależności σ̂kx σ̂ky = iσ̂kz (15) σ̂ky σ̂kz = iσ̂kx (16) σ̂kz σ̂kx = iσ̂ky . (17) Możemy policzyć, ile wynosi σ̂kz σ̂kz = h i h i σ̂k+ , σ̂k− = ĉ†k,↑ ĉ†−k,↓ , ĉ−k,↓ ĉk,↑ = ĉ†k,↑ ĉk,↑ + ĉ†−k,↓ ĉ−k,↓ − 1. (18) Równania (4), (5) i (18) pozwalają przepisać hamiltonian (2) w języku oddziałujących pseudospinów Ĥ = X ξk σ̂kz − V X σ̂k+0 σ̂k− + k,k0 k Część X X ξk . (19) k ξk otrzymanego hamiltonianu jest wielkością stałą, więc nie wpływa na rozważane k przeze mnie efekty, a jedynie przesuwa widmo energetyczne. Sumę tą mogę pominąć w dalszych rozważaniach Ĥ = X ξk σ̂kz − V X k,k0 k 32 σ̂k+0 σ̂k− . (20) Wstawmy teraz za σ̂k+0 i σ̂k− zależności (6) i (7), co daje Ĥ = X ξk σ̂kz − V k,k0 k = X k X1 σ̂kx0 + iσ̂ky0 4 σ̂kx − iσ̂ky = 1 X x x ξk σ̂kz − V σ̂k0 σ̂k + σ̂ky0 σ̂ky . 4 k,k0 (21) Hamiltonian (21) jest tożsamy z hamiltonianem (2). Ponieważ nie jest on rozwiązywalny w sposób ścisły, zastosujemy więc przybliżenie średniego pola ÂB̂ ' hÂiB̂ + ÂhB̂i − hÂihB̂i. (22) W dalszych rozważaniach pomijamy również stały człon hÂihB̂i pochodzący z przybliżenia średniego pola, ponieważ nie będzie on wpływał na rozważane przeze mnie efekty. Przybliżenie to jest dobre, ponieważ liczba pseudospinów zaangażowanych w tworzenie wirtualnego pola magnetycznego jest ogromna, a poszczególne pseudospiny oddziałują między sobą tak samo. Dzięki temu otrzymane wirtualne pole magnetyczne będziemy mogli traktować tak samo, jak klasyczny wektor pola magnetycznego Ĥ = X = X k k 1 X hσ̂kx0 iσ̂kx + σ̂kx0 hσ̂kx i + hσ̂ky0 iσ̂ky + σ̂ky0 hσ̂ky i = ξk σ̂kz − V 4 k,k0 1 X ξk σ̂kz − V hσ̂kx0 iσ̂kx + hσ̂ky0 iσ̂ky . 2 k,k0 (23) Wprowadźmy teraz definicję wirtualnego pola magnetycznego ~bk , z którym oddziaływać będzie ˆk pseudospin ~σ X ~bk = −ξk ~z + 1 V (24) hσ̂kx0 i~x + hσ̂ky0 i~y . 2 k0 Wektory ~x, ~y i ~z są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami X, Y i Z. Hamiltonian (23) przyjmie więc następującą postać Ĥ = − X bzk σ̂kz − k X bxk σ̂kx − k X byk σ̂ky , (25) k którą można zapisać w postaci następującego iloczynu skalarnego Ĥ = − X bxk , byk , bzk · σ̂kx , σ̂ky , σ̂kz , (26) ˆk . ~bk · ~σ (27) k lub krócej, jako Ĥ = − X k Parametr porządku w reprezentacji pseudospinowej może być opisany równaniem ∆≡V X hĉ†k0 ,↑ ĉ†−k0 ,↓ i = V k0 X hσ̂k+0 i, (28) k0 możemy więc rozpisać go w następujący sposób i X y 1 X x 0 00 ∆ ≡ ∆ + i∆ = V hσ̂k0 i + V hσ̂ 0 i. 2 k0 2 k0 k 33 (29) Dzięki temu wektor wirtualnego pola magnetycznego będzie miał postać ~bk = ∆0 , ∆00 , −ξk . (30) Dla wygody wprowadzamy teraz układ współrzędnych w taki sposób, że hσ̂ky0 i = 0. Oznacza to, że spiny leżą w płaszczyżnie XZ. Wtedy 1 X x 0 hσ̂ 0 i. ∆=∆ = V 2 k0 k (31) Wprowadzenie operatorów pseudospinowych i wykonanie przybliżenia średniego pola, w którym otrzymujemy wirtualne pole magnetyczne, pozwala zastosować metody opracowane na potrzeby teorii ferromagnetyzmu. 3.2. Przypadek temperatury T = 0 Stanem podstawowym opisywanego przeze mnie układu będzie stan, w którym wszystkie X 0 spiny układać się będą zgodnie z wirtualnym polem magnetycznym ~bk = ∆ , 0, −ξk , które k na nie oddziałuje: Rysunek 5: Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej. 34 Jednocześnie, dla T= 0, spełniony jest następujący warunek normalizacyjny, wynikający bezpośrednio z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6] ˆk i| = 1. |h~σ (32) W oparciu o ilustrację przedstawioną na Rysunku 1, wprowadzamy następującą parametryzację ˆk i|, hσ̂kx i = sin θk |h~σ (33) ˆk i|. hσ̂kz i = cos θk |h~σ (34) W takiej parametryzacji parametr porządku jest równy 1 X ˆk0 i|. ∆= V sin θk0 |h~σ 2 k0 (35) Jednocześnie, w oparciu o ilustrację z Rysunku 1, możemy napisać tan θk = sin θk hσ̂ x i ∆ bx = kz = kz = . cos θk hσ̂k i bk −ξk (36) Równanie (36) można rozwiązać, podnosząc obydwie strony do kwadratu i korzystając z tego, że sin2 θk + cos2 θk = 1 tan2 θk = 1 − cos2 θk ∆2 = , cos2 θk ξk2 (37) 1 ∆2 = + 1, cos2 θk ξk2 (38) ξk2 . ∆2 + ξk2 (39) cos2 θk = Z równania sin2 θk + cos2 θk = 1 oraz równania (39) wynika sin2 θk = ∆2 . ∆2 + ξk2 (40) Porównując otrzymane wyniki z równością (36) i wykorzystując zależności (32), (33) i (34), możemy napisać, że ∆ hσ̂kx i = sin θk = q , ∆2 + ξk2 (41) −ξk hσ̂kz i = cos θk = q . ∆2 + ξk2 (42) Równania (41) i (42) możemy wykreślić w programie Gnuplot dla przykładowej wartości parametru porządku ∆. 35 1 0.9 0.8 0.7 <σ>kx 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -4 -2 0 ξk 2 4 Rysunek 6: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kx i od energii ξk , opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. Z Rysunku 2 wynika, że składowe hσ̂kx i pseudospinów, których energie ξk są znacznie mniejsze lub znacznie większe niż energia Fermiego, są praktycznie zerowe, a jedynie przy powierzchni Fermiego ich wartość jest duża. 1 0.8 0.6 0.4 <σ>kz 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4 -2 0 ξk 2 4 Rysunek 7: Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kz i od energii ξk , opisanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. Natomiast z Rysunku 3 wynika, że istotne są jedynie składowe hσ̂kz i pseudospinów, których 36 energie ξk są znacznie mniejsze lub znacznie większe niż energia Fermiego, natomiast dla energii bliskich energii Fermiego ich wartość jest praktycznie zerowa. Z ilustracji przedstawionych na Rysunku 2 i Rysunku 3 możemy wyciągnąć wniosek, że fermiony mające energię równą energii Fermiego (ξk = 0), posiadają jedynie składową hσ̂kx i pseudospinu. Im jednak bardziej będziemy się oddalali od energii Fermiego, część kinetyczna wirtualnego pola magnetycznego (ξk ~z) spowoduje pochylanie się pseudospinów w kierunku osi Z. Pseudospinowe stany znacznie poniżej poziomu Fermiego będą miały pseudospin skierowany w górę (stan obsadzony przez parę) a stany znacznie powyżej energii Fermiego - pseudospin skierowany w dół (stan nieobsadzony przez parę). Sytuacja ta podobna jest do blochowskich ścian w ferromagnetykach - w tym przypadku mamy ścianę domen w stanie k, wraz ze stanami zmieniającymi się płynnie od zajętych do pustych. Rysunek 8: Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny). Wstawiając zależności (32) i (41) do równania na parametr porządku (35) otrzymamy postać ∆=V ∆ X q k0 2 ∆2 + ξk20 (43) . Wykorzystując rozważania przeprowadzone w rozdziale drugim (równania (47) do (53)) możemy napisać −1 ∆ ' 2ωD e V ρF . (44) Liczbę cząstek można policzyć w następujący sposób N= X k hnk i = X (hnk,↑ i + hn−k,↓ i) = X k hĉ†k,↑ ĉk,↑ i + hĉ†−k,↓ ĉ−k,↓ i . k Z równania tego możemy policzyć wartość potencjału chemicznego µ N= X k (1 + hσ̂kz i) = X 1 − q k ξk ∆2 + ξk2 . (45) Ponieważ w stanie podstawowym pseudospiny układają się zgodnie z polem magnetycznym, to stanem wzbudzonym byłby stan, w którym jeden z pseudospinów byłyby zwrócony przeciwnie w stosunku do wirtualnego pola magnetycznego. Dobrym przybliżeniem, aby otrzymać 37 energię wzbudzenia do takiego stanu, jest energia Ek , jaka jest potrzebna, by odwrócić jeden z pseudospinów. Z równiania (24) wynika, że q Ek = 2|~bk | = ±2 ∆2 + ξk2 . (46) Interesuje nas jedynie rozwiązanie dodatnie, ponieważ energia potrzebna na wzbudzenia musi być do układu dostarczana. Minimalna energia wzbudzenia wynosi 2∆, co odpowiada przerwie energetycznej w widmie wzbudzeń w nadprzewodnikach i jest jednocześnie energią wzbudzenia par Coopera. Odwrócenie pseudospinu odpowiada wzbudzeniu pary ±k do stanu ortogonalnego w stosunku do stanu podstawowego tej samej pary. Innym typem wzbudzeń w podprzestrzeni par byłyby wzbudzenia, dla których całkowity pęd pary k + k 0 6= 0, jednak nie zostały one przeze mnie uwzględnione w członie oddziaływania. 3.3. Przypadek temperatury T 6= 0 Podobnie jak w przypadku temperatury T = 0 stanem podstawowym układu w skończonej temperaturze będzie stan, w którym poszczególne spiny są ułożone zgodnie z wirtualnym polem magnetycznym na nie oddziałującym. Jednak dla temperatur T 6= 0 warunek normalizacyjny będzie miał inną postać, którą policzyć możemy z teorii ferromagnetyzmu Weissa [6]. Wprowadźmy operator momentu magnetycznego g ˆk µ ~ˆk = µB ~~σ 2 (47) i przepiszmy hamiltonian (27) przy wykorzystaniu tego operatora Ĥ = − X ~k · µ B ~ˆk . (48) k Wirtualne pole magnetyczne przyjmuje teraz postać ~k = B 1 0 ∆ , 0, −ξ . k g 2 µB ~ (49) Ponieważ w układzie istnieją dwie możliwe wartości rzutu operatora µ ~ˆk (ze względu na spin) na ~ k , wraz z odpowiadającymi tym rzutom wartościami kierunek wirtualnego pola magnetycznego B energii oraz prawdopodobieństwami, to aby policzyć wartość średnią operatora |hµ ~ˆk i|, musimy policzyć |hµ ~ˆk i| = µk↑ p↓ p↑ + µk↓ , p↑ + p↓ p↑ + p ↓ (50) gdzie g µB ~ 2 g = − µB ~ 2 µk↑ = µk↓ ~ k | g µB ~ Ek↑ = −|B 2 g ~ Ek↓ = +|Bk | µB ~ 2 38 p↑ = Ce−βEk↑ , (51) p↓ = Ce−βEk↓ , (52) aβ= |hµ ~ˆk i| 1 kB T . Możemy teraz podstawić powyższe wielkości i policzyć wartość średnią operatora |hµ ~ˆk i| = p↑ − p↓ g µB ~ 2 p↑ + p↓ ! g ~ ! e−βEk↑ − e−βEk↓ g = µB ~ −βE k↑ + e−βEk↓ 2 e g ~ = = g eβ|Bk | 2 µB ~ − e−β|Bk | 2 µB ~ g ~ k | g µB ~ = µB ~ ~ g = µB ~ tanh β|B g ~ β| B | µ ~ −β| B | µ ~ 2 2 2 k 2 B e k 2 B +e = g g βEk µB ~ tanh β|~bk | = µB ~ tanh 2 2 2 (53) . ˆk i| i policzmy jego średnią długość Wróćmy teraz do operatora |h~σ ˆk i| = tanh βEk |h~σ 2 (54) . Warunek normalizacyjny dla T 6= 0 będzie miał więc postać q ˆk i| = tanh β ∆2 + ξ 2 . |h~σ k (55) Tak samo jak w przypadku T = 0 wprowadzimy parametryzację ˆk i| hσ̂kx i = sin θk |h~σ (56) ˆk i| hσ̂kz i = cos θk |h~σ (57) i tak samo jak w tamtym przypadku możemy napisać sin θk hσ̂ x i bx ∆ = kz = kz = . cos θk hσ̂k i bk −ξk tan θk = (58) Korzystając z rachunków, które wykonaliśmy poprzednio (równania (37) do (42)), wynika ∆ , (59) −ξk cos θk = q . ∆2 + ξk2 (60) sin θk = q ∆2 + ξk2 Wstawiając równania (59) i (60) do równań (56) i (57) oraz korzystając z równania (55), otrzymamy hσ̂kx i ∆ =q ∆2 + ξk2 hσ̂kz i q tanh β −ξk ∆2 + + ξk2 q =q tanh β ∆2 + ξk2 ξk2 ∆2 , (61) . (62) Równanie na parametr porządku miało postać 1 X ˆk0 i|. ∆= V sin θk0 |h~σ 2 k0 (63) Korzystając z równań (55) i (59) otrzymamy ∆=V X ∆ k0 2 ∆2 + ξk20 q q tanh β 39 ∆2 + ξk20 . (64) Natomiast wzór na liczbę cząstek będzie następujący N= X (1 + hσ̂kz i) X = k ξk 1 − q ∆2 + ξk2 k q tanh β ∆2 + ξ 2 . k (65) Wyniki te są poprawne dla modelu pseudospinowego, który działa w podprzestrzeni par. Oznacza to, że jedynymi dozwolonymi stanami wzbudzonymi są wzbudzenia dwucząstkowe par. Jeżeli chcielibyśmy rozszerzyć podprzestrzeń par tak, aby dopuścić do wzbudzeń jednocząstkowych, musimy podwoić liczbę dozwolonych wzbudzeń (ponieważ liczba rzeczywistych cząstek w układzie jest dwukrotnie większa niż liczba pseudospinów). Podwojenie tej liczby podwaja również entropię, co jest równoważne z podwojeniem temperatury we wzorach (64) i (65) [2] ∆ (T ) = V ∆ (T ) k0 2 ∆2 (T ) + ξk20 q N= X q X 1 − q ∆2 (T ) + ξk2 k tanh 2kB T q ξk ∆2 (T ) + ξk20 ∆2 (T ) + ξk2 tanh 2kB T , (66) . (67) Mając postać parametru porządku możemy policzyć temperaturę krytyczną Tc , czyli temperaturę przejścia do stanu nadprzewodzącego: 1=V q X 1 k0 2 ∆2 (T ) + ξk20 ∆2 (T ) + ξk20 tanh q 2kB T (68) Dla temperatury T = Tc w modelu BCS parametr porządku ∆ jest równy 0. Równanie redukuje się więc do postaci 1=V ξk0 tanh . 2ξk0 2kB Tc X 1 k0 (69) Przejdźmy teraz od sumowania do całkowania Z ∞ 1=V −∞ 1 ξ tanh ρ (ξ) dξ. 2ξ 2kB Tc (70) Ponownie, tak jak w przypadku wyznaczania parametru porządku dla przypadku T = 0, ograniczamy całkowanie do przedziału energii z zakresu < −ωD ; ωD >. Korzystamy jednocześnie z faktu, iż gęstość stanów ρ (ξ) można uznać w przybliżeniu za stałą w tym przedziale ρ (ξ) ' ρ (eF ) = ρF . (71) Całka (70) przyjmie wiec postać 1= V ρF 2 Z ωD −ωD dξ ξ tanh . ξ 2kB Tc 40 (72) Dokonajmy teraz następującej zamiany zmiennych ξ (73) , 2kB Tc dξ dx = . 2kB Tc x= (74) Równanie całkowe (72) redukuje się do 2 = V ρF Ponieważ funkcja tanh(x) x Z ωD 2kB Tc ω − 2k DT B c dx tanh (x) . x (75) jest symetryczna, to możemy napisać 2 =2 V ρF Z 0 ωD 2kB Tc tanh (x) dx . x (76) Dla kB Tc ωD funkcja podcałkowa tanh (x) jest równa w przybliżeniu 1 w nieomal całym przedziale całkowania. Jedynie dla x ∈ (0; 1) funkcję podcałkową tanh (x) przybliżyć musimy przez x 1 = V ρF Z 1 Z dx + 0 1 ωD 2kB Tc ω D dx ωD 2k T = x|10 + ln (x)|1 B c = 1 + ln . x 2kB Tc (77) Dokładniejsze rozwiązanie tej całki ([5] oraz [2]) daje −1 kB Tc ' 1.14ωD e V ρF . (78) Porównując równania (44) i (78) możemy zauważyć, że parametr porządku jest równy ∆ ' 1.75kB Tc . Iloraz ∆ kB Tc (79) jest uniwersalną stałą, niezależną od rodzaju badanego materiału. Wielkość ta, wy- znaczona doświadczalnie dla różnych materiałów potwierdza otrzymaną równość - 1.75 dla Sn, 1.70 dla Al, 2.05 dla P b i 1.65 dla Cd. Wprowadzona w tym rozdziale metoda Andersona, polegająca na wprowadzeniu operatorów pseudospinowych i zastąpieniu nimi operatorów fermionowych, poprawnie odtwarza równania teorii BCS, a jej obrazowość sprawia, że jest jedną z prostszych metod badania właściwości hamiltonianu BCS. 41 42 Rozdział 4 Równanie ruchu dla pseudospinów 4.1. Równanie ruchu Prawdziwa zaleta metody Andersona polega na tym, iż można dzięki niej badać widmo wzbudzeń, które zmodyfikowane jest przez oddziaływania między pseudospinami. Korzystając z metody Andersona można też zająć się badaniem dynamiki układu fermionów. W tej części ˆk , oraz w jaki sposób następnie je pracy pokażę jak otrzymać równania ruchu dla operatora ~σ rozwiązać. Korzystać będziemy z równania czasowego Heisenberga i h ∂ i~ Â = Â, Ĥ . ∂t Wypiszmy równania Heisenberga dla poszczególnych operatorów σ̂kx , σ̂ky i σ̂kz i h ∂ x x , Ĥ , i~ = σ̂ σ̂ k ∂t k h i y y ∂ i~ ∂t σ̂k = σ̂k , Ĥ , h i i~ ∂ σ̂ z = σ̂ z , Ĥ . k ∂t k (1) (2) Dla wygody przyjmijmy, że ~ = 1 i wstawmy pełną postać hamiltonianu, aby policzyć wartość komutatorów " # X X 1 y y z x x ∂ x x i ∂t σ̂k = σ̂k , hσ̂k0 iσ̂k + hσ̂k0 iσ̂k , ξk σ̂k − V 2 0 k k " # X X 1 y y y y i ∂ σ̂k = σ̂k , hσ̂kx0 iσ̂kx + hσ̂ 0 iσ̂k ξk σ̂kz − V , (3) k ∂t 2 k0 k # " X X 1 y y x x z ∂ z z hσ̂k0 iσ̂k + hσ̂k0 iσ̂k . ξk σ̂k − V i ∂t σ̂k = σ̂k , 2 0 k k Powyższy układ równań można zapisać w postaci X 1 X ∂ x ξk [σ̂kx , σ̂kz ] − V hσ̂kx0 i [σ̂kx , σ̂kx ] + hσ̂ky0 i σ̂kx , σ̂ky , i ∂t σ̂k = 2 k0 k X y ∂ y 1 X y y y x y x z i σ̂ = ξk σ̂ , σ̂ − V hσ̂ 0 i σ̂ , σ̂ + hσ̂ 0 i σ̂ , σ̂ k k k k k k k k ∂t k 2 k0 k X 1 X z z ∂ z i σ̂ = ξ [σ̂ , σ̂ ] − V hσ̂kx0 i [σ̂kz , σ̂kx ] + hσ̂ky0 i σ̂kz , σ̂ky . k k k ∂t k 2 0 k k 43 , (4) Korzystamy teraz z własności komutacyjnych operatorów σ̂k (równania (11), (12) i (13) z rozdziału trzeciego). Układ równań (4) przyjmie postać ! X 1 X y z y ∂ x hσ̂ 0 iσ̂ , ξk σ̂k − V i ∂t σ̂k = 2i − 2 k0 k k k ! X 1 X y ξk σ̂kx + V 2 i ∂ σ̂k = 2i ∂t i ∂ σ̂ z = 2i ∂t k k hσ̂kx0 iσ̂kz , (5) k0 ! 1 2V X hσ̂ky0 iσ̂kx k0 1 X − V Vk0 hσ̂kx0 iσ̂ky . 2 k0 W tym miejscu, dla wygody i przejrzystości rozważanych równań, wykorzystamy wprowadzoną w poprzedniej części tej pracy (równanie (24) z rozdziału trzeciego) definicję wirtualnego pola P x x + hσ̂ y i~ magnetycznego ~bk = −ξk ~z + 1 V 0 hσ̂ 0 i~ 0 y , co przekształci nam układ równań (5) do 2 k k k postaci ∂ x σ̂k = 2 bzk σ̂ky − byk σ̂kz , ∂t ∂ σ̂ y = 2 (bx σ̂ z − bz σ̂ x ) , (6) k k k k ∂t k ∂ z σ̂k = 2 byk σ̂kx − bxk σ̂ky . ∂t Powyższy układ mogę zapisać w postaci iloczynu wektorowego wektora wirtualnego pola magnetycznego z wektorem pseudospinu ˆ˙ k = −2~bk × ~σ ˆk ~σ (7) Otrzymane równanie swoją strukturą przypomina równanie typu Blocha dla spinów (patrz równanie (19) w pracy [12]). 4.2. Rozwiązanie szczególne Ponieważ równanie (7) jest liniowe tak dla operatorów, jak i dla wartości średnich tych operatorów, możemy wprowadzić następujące oznaczenie r1 ≡ hσ̂kx i r2 ≡ hσ̂ky i r3 ≡ hσ̂kz i. (8) i przepisać to równanie dla średnich wartości składowych wektora pseudospinu, rozpisując je jednocześnie na układ równań y ṙ1 = 2 bzk r2 − bk r3 , ṙ = 2 (bx r − bz r ) , 2 k 3 k 1 y ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 . 44 (9) Rozważymy tutaj rozwiązania multisolitonowe ([12] oraz [21]), dla których przyjmujemy czasową zależność parametru porządku ∆ (t) = Ω (t) eiωt , gdzie Ω (t) jest wielkością rzeczywistą. Dla wygody rozważań przejdziemy teraz do układu rk+ , rk− i rkz hσ̂k+ i ≡ rk+ = 1 2 (r1 + ir2 ) , hσ̂k− i ≡ rk− = 1 2 (r1 − ir2 ) . (10) Policzmy teraz, ile wynoszą czasowe pochodne wielkości rk+ i rk− ṙk+ = 1 2 (ṙ1 + iṙ2 ) = bzk r2 − byk r3 + i (bxk r3 − bzk r1 ) , ṙk− = 1 2 (ṙ1 − iṙ2 ) = bzk r2 − byk r3 − i (bxk r3 − bzk r1 ) . (11) Układ równań dla rk+ , rk− i r3 przyjmie więc postać ṙk+ = ir3 bxk + ibyk − ibzk (r1 + ir2 ) , bx − iby + ibz (r − ir ) , ṙ− = −ir 3 k 2 k 1 k k y y ṙ3 = 2bk (r1 + ir2 ) + 2ibxk (r1 + ir2 ) − 2ibk r2 − 2ibxk r1 . (12) Korzystając z wcześniej wprowadzonych zmiennych 0 00 y ∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = bxk + ibk , 0 00 y ∆∗ (t) = ∆ (t) − i∆ (t) = bxk − ibk . (13) i wprowadzając je do układu równań (12), mnożąc te równania stronami przez i oraz korzystając z tego, że r3 = rkz mamy iṙk+ = 2bzk rk+ − ∆ (t) rkz , iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− , k k k k y y iṙkz = −4rk+ bxk − ibk + 2bk r2 + 2bxk r1 . (14) Do ostatniego równania z powyższego układu równań dodajmy i odejmijmy 2ibxk r2 oraz 2ibyk r1 , dzięki czemu możemy napisać iṙk+ = 2bzk rk+ − ∆ (t) rkz , iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− , k k k k y iṙkz = −4rk+ ∆∗ (t) + 4rk− ∆ (t) − 2i bk r1 − bxk r2 . (15) Ostatnią część trzeciego równania możemy zapisać jako iṙkz , dzięki czemu otrzymamy następującą postać układu + + iṙk = 2bzk rk − ∆ (t) rkz , iṙ− = ∆∗ (t) rz − 2bz r− , k k k k iṙkz = 2rk− ∆ (t) − 2rk+ ∆∗ (t) . 45 (16) Skorzystamy teraz z zapostulowanej wcześniej zależności czasowej parametru porządku ∆ (t) przekształcając ją do postaci ∆ (t) = Ω (t) eiωt = V X rk+0 (t) = V X k0 Rk+0 (t) eiωt . (17) k0 Postać ta implikuje następujące zależności ∆ (t) = Ω (t) eiωt , ∆∗ (t) = Ω∗ (t) e−iωt , r+ (t) = R+ (t) eiωt , (18) k k rk− (t) = Rk− (t) e−iωt , rkz (t) = Rkz (t) . Wprowadźmy teraz te zależności do układu równań (16) + ∂ iωt = 2bz R+ (t) eiωt − Ω (t) eiωt Rz (t) , R (t) e i k k k k ∂t i∂ R− (t) e−iωt = Ω∗ (t) e−iωt Rz (t) − 2bz R− (t) e−iωt , k k k k ∂t iṘkz (t) = 2Rk− (t) e−iωt Ω (t) eiωt − 2Rk+ (t) eiωt Ω∗ (t) e−iωt . (19) Ostatecznie otrzymamy następujący układ równań iṘk+ (t) = (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) , iṘ− (t) = Ω∗ (t) Rz (t) − (2bz + ω) R− (t) , k k k k iṘkz (t) = 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) . (20) Układ (20) powinien spełniać warunek zachowania długości wektora pseudospinu, czyli wprowadzony wcześniej warunek normalizacyjny w postaci |rk |2 = 1. Sprawdźmy, czy rzeczywiście tak jest. Warunek normalizacyjny możemy rozpisać w następujący sposób 2 rk+ (t) + rk− (t) 2 + irk− (t) − irk+ (t) + (rkz (t))2 = 1. (21) Powyższe równanie przekształci się do 4Rk+ (t) Rk− (t) + (Rkz (t))2 = 1. (22) Jeżeli zróżniczkujemy równanie (22) ∂ + 4Rk (t) Rk− (t) + (Rkz )2 (t) = 0, ∂t (23) to otrzymamy następującą równość 4Ṙk+ (t) Rk− (t) + 4Rk+ (t) Ṙk− (t) + 2Rkz (t) Ṙkz (t) = 0. 46 (24) Aby sprawdzić, czy otrzymany układ równań spełnia warunek normalizacyjny, pomnóżmy teraz obydwie strony równania (24) przez i i wstawmy za pochodne iṘk+ (t), iṘk− (t) i iṘkz (t) wartości pochodzące z układu równań (20) h i h i 4 (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) Rk− (t) + 4Rk+ (t) Ω∗ (t) Rkz (t) − (2bzk + ω) Rk− (t) + h i (25) +4Rkz (t) Rk− (t) Ω (t) + 4Rk+ (t) Ω∗ (t) Rkz (t) − 4Rkz (t) Rk+ (t) Ω∗ (t) = 0, (26) +2Rkz (t) 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) = 0. Równanie (25), po rozpisaniu przyjmie postać 4 (2bzk + ω) Rk+ (t) Rk− (t) − 4Rk+ (t) (2bzk + ω) Rk− (t) − 4Ω (t) Rkz (t) Rk− (t) + z której widać, że lewa strona równa się stronie prawej. Oznacza to, że układ równań (20) jest poprawny. Następnym krokiem będzie otrzymanie układu równań dla Ṙ1 (t), Ṙ2 (t) i Ṙ3 (t). W tym celu skorzystamy z zależności R1 (t) = Rk+ (t) + Rk− (t) , R2 (t) = iRk− (t) − iRk+ (t) , (27) które po pomnożeniu pierwszego równania przez i, a następnie zróżniczkowaniu wyrażą się jako iṘ1 (t) = iṘk+ (t) + iṘk− (t) , Ṙ2 (t) = iṘk− (t) − iṘk+ (t) . (28) W miejsca pochodnych iṘk+ (t) i iṘk− (t) wstawiamy wartości pochodnych pochodzące z układu równań (20), jednocześnie dopisując równanie na iṘkz (t) i korzystając z faktu, że Rkz (t) = R3 (t). Dzięki temu otrzymamy następujący układ równań iṘ1 (t) = (2bzk + ω) Rk+ (t) − Ω (t) Rkz (t) + Ω∗ (t) Rkz (t) − (2bzk + ω) Rk− (t) , Ṙ (t) = Ω∗ (t) Rz (t) − (2bz + ω) R− (t) − (2bzk + ω) Rk+ (t) + Ω (t) Rkz (t) , 2 k k k iṘ3 (t) = 2Rk− (t) Ω (t) − 2Rk+ (t) Ω∗ (t) . (29) Wstawiając do powyższego układu równań zależności (27) otrzymamy następujące równania Ṙ1 (t) = (2bzk + ω) R2 (t) − iR3 (t) (Ω∗ (t) − Ω (t)) , Ṙ (t) = (Ω (t) + Ω∗ (t)) R (t) − (2bz + ω) R (t) , 2 3 1 k Ṙ3 (t) = −R2 (t) (Ω (t) + Ω∗ (t)) − iR1 (t) (Ω (t) − Ω∗ (t)) . (30) Ponieważ na początku tego podrozdziału przyjęliśmy, że Ω (t) jest wielkością rzeczywistą, to Ω (t) = Ω∗ (t). Układ równań (30) uprości się więc do postaci Ṙ1 (t) = −ζk R2 (t) , Ṙ (t) = ζ R (t) + 2Ω (t) R3 (t) , 2 k 1 Ṙ3 (t) = −2Ω (t) R2 (t) , 47 (31) gdzie wprowadziliśmy oznaczenie 2bzk + ω = −2ξk + ω = − (2ξk − ω) = −ζk . Układ ten można rozwiązać postulując następujące rozwiązanie R1 (t) = Ak Ω (t) , (32) R (t) = B Ω̇ (t) , 2 k R3 (t) = Ck Ω2 (t) − Dk , gdzie Ak , Bk , Ck i Dk są współczynnikami liczbowymi spełniającymi warunki Ak = (2bzk + ω) Bk , Bk = −Ck . (33) Udowodnić musimy poprawność zapostulowanego rozwiązania. Zróżniczkujmy więc po czasie równania z układu równań (32) i wykorzystajmy zmienne wprowadzone w równaniu (33) Ṙ1 (t) = −ζk Bk Ω̇ (t) , (34) Ṙ (t) = B Ω̈ (t) , 2 k Ṙ3 (t) = −2Bk Ω (t) Ω̇ (t) . Wstawiając pochodzące z układu (32) równanie R2 (t) = Bk Ω̇ (t) do 1 i 2 równania układu (34) otrzymujemy Ṙ1 (t) = −ζk Bk Ω̇ (t) = −ζk R2 (t) , Ṙ (t) = B Ω̈ (t) , 2 k Ṙ3 (t) = −2Bk Ω (t) Ω̇ (t) = −2Ω (t) R2 (t) . (35) Pokazaliśmy, że o ile spełnione jest drugie równanie układu (32), to pierwsze i trzecie jest również spełnione. Musimy więc udowodnić, że skoro Ṙ2 = Bk Ω̈ (t) i Ṙ2 = ζk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t), to Bk Ω̈ (t) = ςk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t) . (36) Aby to zrobić, musimy skorzystać z wprowadzonego wcześniej warunku normalizacyjnego w postaci |rk |2 = 1, co dla R1 , R2 i R3 możemy zapisać jako R12 (t) + R22 (t) + R32 (t) = 1. (37) 2R1 (t) Ṙ1 (t) + 2R2 (t) Ṙ2 (t) + 2R3 (t) Ṙ3 (t) = 0, (38) Zróżniczkujmy równanie (37) i wstawmy za R1 (t), R2 (t) i R3 (t) wartości pochodzące z zapostulowanego rozwiązania (32), natomiast za Ṙ1 (t), Ṙ2 (t) i Ṙ3 (t) wartości pochodzące z układu równań (34). Otrzymujemy wtedy następujące równanie Ak Ω (t) Ak Ω̇ (t) + Bk Ω̇ (t) Bk Ω̈ (t) + Ck Ω2 (t) − Dk 2Ck Ω (t) Ω̇ (t) = 0. 48 (39) Przekształcając to równanie otrzymamy (o ile Bk Ω̇ (t) 6= 0) −Ak Ω (t) Ak Ω̇ (t) − Ck Ω2 (t) − Dk 2Ck Ω (t) Ω̇ (t) Bk Ω̈ (t) = . Bk Ω̇ (t) (40) Wprowadźmy teraz zmienne z równania (33) Ak Ω (t) ζk Bk Ω̇ (t) + Ck Ω2 (t) − Dk 2Bk Ω (t) Ω̇ (t) Bk Ω̈ (t) = . Bk Ω̇ (t) (41) Możemy więc napisać, że Bk Ω̈ (t) = Ak Ω (t) ζk + Ck Ω2 (t) − Dk 2Ω (t) . (42) Teraz, wstawiając pierwsze i trzecie równanie z zapostulowanego rozwiązania (32) do równania (42) otrzymamy równanie (43) Bk Ω̈ (t) = ζk R1 (t) + 2Ω (t) R3 (t) , tożsame z równaniem (36). Udowodniliśmy więc, że zapostulowane rozwiązanie (32) jest poprawne. Skorzystajmy ponownie z równania normalizacyjnego na długość wektora R12 (t) + R22 (t) + R32 (t) = 1, wstawiając tym razem wartości pochodzące z układu równań (32): 2 (Ak Ω (t))2 + Bk Ω̇ (t) + Ck Ω2 (t) − Dk 2 = 1. (44) Dk2 − 1 = 0. Ck2 (45) Równanie to możemy przekształcić do postaci ςk2 Dk −2 Ck Ω2 (t) + Ω̇2 (t) + Ω4 (t) + Dokonajmy jeszcze następującej zamiany zmiennych 2 Dk = ζk2 + ∆2− + ∆2+ , Ck Dk2 − 1 = ∆2− ∆2+ , Ck2 (46) (47) co uprości nam równanie (45) do postaci Ω̇2 (t) + Ω2 (t) − ∆2− Ω2 (t) − ∆2+ = 0. (48) Równanie (48) (patrz równanie (23) w pracy [12]) przyjmuje taką samą postać dla wszystkich pseudospinów i jest rozwiązywalne numerycznie oraz analitycznie. Równanie to definiuje eliptyczną funkcję Ω (t) oscylującą pomiędzy ∆− i ∆+ (gdzie ∆− ¬ ∆+ ). Rozwiążmy to równanie numerycznie, wykorzystując w tym celu dwa programy napisane w języku Fortran, których kod źródłowy zamieszczony jest w dodatku A. Prostsza wersja programu rozwiązującego równanie różniczkowe (48) wykorzystuje metodę Eulera (program RowRozniczkoweEuler) i daje następujące wyniki 49 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 0 5 10 0 5 10 15 20 25 30 15 20 25 30 15 20 25 30 Time x ∆0 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Time x ∆0 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Time x ∆0 Rysunek 9: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. 50 Wariant bardziej skomplikowany to wykorzystanie w programie metody Rungego-Kutty czwartego rzędu (Program RowRozniczkoweRK4), co daje następujące wyniki 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 0 5 10 0 5 10 15 20 25 30 15 20 25 30 15 20 25 30 Time x ∆0 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Time x ∆0 1 |∆(t)|/∆0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Time x ∆0 Rysunek 10: Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. 51 Z przedstawionych wykresów wynika, że dla ∆− ∆+ rozwiązaniem jest grupa słabo przekrywających się fal solitonowych, natomiast dla ∆− → ∆+ nie przekrywające się fale solitonowe zaczynają się łączyć, przechodząc w słabe harmoniczne oscylacje. Iloraz ∆− ∆+ kontroluje międzysolitonową separację czasową, wraz z jego wzrostem od 0 do 1 częstość oscylacji rośnie. 4.3. Rozwiązanie ogólne Poprzednie rozważania dotyczą przypadku szczególnego, jakim jest rozwiązanie multisolitonowe. Równanie ~r˙ = −2~bk × ~r (49) można jednak rozwiązać w ogólniejszy sposób. Rozwiązywać numerycznie będziemy więc następujący układ równań ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 , ṙ = 2 (bx r − bz r ) , 2 k 1 k 3 y ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 . (50) W tym celu skorzystamy z programu, którego kod źródłowy umieszczony jest w dodatku B. Ponieważ wyniki numeryczne wykonane dwoma metodami - metodą Eulera i metodą RungegoKutty czwartego rzędu - przedstawione w poprzednim podrozdziale, praktycznie nie różnią się między sobą, to program napisany w C++ korzystał będzie z prostszej metody. Spróbujmy przetestować ten program w przypadku, dla którego rozwiązanie równań typu Blocha jest dobrze znane, czyli jądrowego rezonansu magnetycznego [8]. Układ zawierający dużą liczbę spinów (w programie jest ich 20001), których wartości średnie składowych oznaczymy ~ = (0, 0, B0 )). przez M umieszczony jest w polu magnetycznym skierowanym w kierunku osi Z (B ~ nie zmienia się w czasie, a wartość B0 jest taka sama dla wszystkich spinów. Wartości Pole B średnie składowych spinów są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla temperatury T = 0. Tak wybrane warunki początkowe redukują rozwiązywany przez program układ równań (50) do postaci Ṁ1 = 2B0 M2 , Ṁ = −2B0 M1 , 2 Ṁ3 = 0. (51) Otrzymane wyniki możemy wykreślić dla jednego, przypadkowo wybranego spinu, wykorzystując w tym celu program Gnuplot 52 1 M1 0.5 0 -0.5 -1 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 1 M2 0.5 0 -0.5 -1 t 1 M3 0.5 0 -0.5 -1 t Rysunek 11: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla jednego ze spinów. Wykresy przedstawione na rysunku 11 obrazują swobodną precesję układu spinów w polu magnetycznym, co jest wynikiem zgodnym z oczekiwanym. Rozważmy jeszcze sytuację, w której zmodyfikujemy warunki początkowe w stosunku do tych z przypadku jądrowego rezonansu magnetycznego. Pole magnetyczne, w którym znajdować się będą spiny nadal nie będzie zmieniało się w czasie, ale teraz posiadać będzie składowe skiero53 ~ = ∆0 , 0, −ξk ). wane w kierunku osi X i Z. Ponadto uzależnimy zetową składową od liczby k (B Wartość ξk = k 2000 , gdzie k ∈ h−10000; 10000i mierzona jest w jednostkach ∆, a wartości śred- nie składowych spinów ponownie są tak wybrane, by spełniały warunek normalizacyjny dla temperatury T = 0. Otrzymaliśmy następujące wyniki 1 M1 0.5 0 -0.5 -1 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 1 M2 0.5 0 -0.5 -1 t 5e-005 0 -5e-005 -0.0001 M3 -0.00015 -0.0002 -0.00025 -0.0003 -0.00035 -0.0004 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 12: Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla jednego ze spinów. Wykresy przedstawione na rysunku 12 również obrazują swobodną precesję układu spinów 54 w polu magnetycznym, tym razem jednak składowa M3 również oscyluje. Wynik ten jest zgodny z oczekiwanym. Modyfikacja programu z dodatku B, polegająca na zmianie warunków początkowych w taki sposób, by odtworzyć znane przypadki, wydaje się potwierdzać jego poprawność, jednak nie może być traktowana jako ostateczne kryterium. Powróćmy do sytuacji opisywanej układem równań ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 , ṙ = 2 (bx r − bz r ) , (52) 2 k 3 k 1 y ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 . Rozważać będziemy nieliniową dynamikę opisaną równaniami typu Blocha (52) oraz równaniem i X 1 X 0 00 r1 + V r2 . ∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = V 2 2 k k (53) Stan początkowy opisujący swobodne fermiony w skończonej temperaturze (patrz równanie (30) w pracy [21]) jest następujący r1 + ir2 = eiφk cosh , (54) 1 βξk , 2 (55) r3 = tanh 1 2 βξk gdzie φk oznacza przypadkowe fazy z przedziału 0 < φk < 2π. Wartość ξk = k 2000 , gdzie k ∈ h−10000; 10000i mierzona jest w jednostkach ∆. Program rozwiązujący równania (52) i (53) zamieszczony został w dodatku B, a wyniki otrzymane przy wykorzystaniu tego programu zamieszczone są na rysunkach 13 i 14. 0.02 0.015 0.01 ∆’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 0 5 10 15 t 55 20 25 30 0.02 0.015 0.01 ∆’’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 -0.02 0 5 10 15 20 t 25 30 0 00 Rysunek 13: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru 1 1 0.5 0.5 rkx rkx porządku. 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 1 1 0.5 0.5 rky rky 0 0 -0.5 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 0 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 56 t 0.12 0.075 0.07 0.1 0.065 0.08 0.06 rkz rkz 0.055 0.06 0.05 0.04 0.045 0.04 0.02 0.035 0 0 5 10 15 t 20 25 0.03 30 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 14: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów. W przeprowadzanych do tej pory rozważaniach czasowa zależność oddziaływania miała najprostszą z możliwych postać, to znaczy oddziaływanie przyciągające było włączane natychmiastowo w chwili t0 V (t) = 0 gdy t < t0 , V0 gdy t > t0 . (56) Zależność taką eksperymentalnie realizować można w przypadku badań nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego, gdzie charakter oddziaływań zmieniać można zmieniając pole magnetyczne wokół tak zwanych rezonansów Feshbacha. Innym przykładem realizacji eksperymentalnej takiej zależności czasowej oddziaływania są złącza nadprzewodnik-półprzewodniknadprzewodnik albo nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik, gdzie charakter oddziaływań kontrolować można polem elektrycznym przyłożonym do bramki [21]. Możemy jednak zmodyfikować program z dodatku B i wprowadzić inne profile czasowe potencjału parowania V , by zobaczyć, jakie rozwiązania równań (52) i (53) otrzymamy. Wprowadźmy zależność trójkątną potencjału parowania V 0 V0 t−1 10 V (t) = 21−t V 0 10 0 gdy t < 1, gdy t ∈ h1; 11i , (57) gdy t ∈ (11; 21i , gdy t > 21. 57 Wykres potencjału (57) jest następujący 1 0.8 V(t) 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 15: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57). Tak wybrana zależność czasowa potencjału parowania V powoduje, że część rzeczywista i część urojona parametru porządku zachowuje się w następujący sposób 0.01 0.008 0.006 0.004 ∆’(t) 0.002 0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 0 5 10 15 t 58 20 25 30 0.015 0.01 ∆’’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0 5 10 15 20 t 25 30 0 00 Rysunek 16: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. 1 1 0.5 0.5 rkx rkx Zależność czasowa składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów jest następująca 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 1 1 0.5 0.5 rky rky 0 0 -0.5 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 0 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 59 t 0.584 0.585 0.583 0.58 0.582 0.581 0.575 rkz rkz 0.58 0.579 0.57 0.578 0.565 0.577 0.576 0.56 0.575 0.574 0 5 10 15 20 t 25 0.555 30 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 17: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. Możemy wprowadzić inny profil czasowy potencjału parowania V w postaci V (t) = 0 t−1 V 0 5 V 0 21−t V 0 5 0 gdy t < 1, gdy t ∈ h1; 6i , gdy t ∈ (6; 16) , (58) gdy t ∈ h16; 21i , gdy t > 21. Wykres potencjału określonego wzorem (58) jest następujący 1 0.8 V(t) 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 18: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (58). 60 0 00 Potencjał ten ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆ (t) i część urojoną ∆ (t) parametru porządku 0.015 0.01 ∆’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 0.015 0.01 ∆’’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 t 0 00 Rysunek 19: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. Zależność składowych rkx , rky i rkz od czasu t w przypadku potencjału V opisanego równaniem (58) jest następująca 61 1 0.5 0.5 rkx rkx 1 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 1 1 0.5 0.5 rky rky 0 0 -0.5 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 25 30 t 0 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 0.578 t 0.592 0.576 0.59 0.574 0.588 0.572 0.586 rkz rkz 0.57 0.568 0.566 0.584 0.582 0.564 0.58 0.562 0.578 0.56 0.558 0 5 10 15 t 20 25 30 0.576 0 5 10 15 t 20 Rysunek 20: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. 62 Trzecią, i zarazem ostatnią rozważaną przez nas zależnością potencjału parowania V od czasu będzie zależność V (t) = 0 V0 gdy t < 1, −t2 +22t−21 100 gdy t ∈ h1; 21i , 0 (59) gdy t > 21. 1 0.8 V(t) 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 21: Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (59). 0 00 Zależność (59) ma następujący wpływ na część rzeczywistą ∆ (t) i część urojoną ∆ (t) parametru porządku 0.01 0.008 0.006 0.004 ∆’(t) 0.002 0 -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 -0.01 0 5 10 15 t 63 20 25 30 0.015 0.01 ∆’’(t) 0.005 0 -0.005 -0.01 -0.015 0 5 10 15 20 t 25 30 0 00 Rysunek 22: Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. 1 1 0.5 0.5 rkx rkx Zależność składowych rkx , rky i rkz od czasu będzie następująca 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 1 1 0.5 0.5 rky rky 0 0 -0.5 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 t 0 -0.5 -1 -1 0 5 10 15 t 20 25 30 64 t 0.584 0.58 0.582 0.575 0.58 0.578 0.57 rkz rkz 0.576 0.565 0.574 0.572 0.56 0.57 0.555 0.568 0.566 0 5 10 15 t 20 25 30 0.55 0 5 10 15 t 20 25 30 Rysunek 23: Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseudospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. Przedstawione w podrozdziale 4.3 rozważania dotyczyły przypadku nieliniowej dynamiki opisanej równaniami typu Blocha ṙ1 = 2 bzk r2 − byk r3 , ṙ = 2 (bx r − bz r ) , 2 k 3 k 1 y ṙ3 = 2 bk r1 − bxk r2 , (60) oraz równaniem i X 1 X 0 00 r1 + V r2 . ∆ (t) = ∆ (t) + i∆ (t) = V 2 2 k k (61) Otrzymane wyniki nie potwierdzają rozwiązania multisolitonowego z podrozdziału 4.2. Najprawdopodobniej rozwiązanie multisolitonowe, dla którego zakładaliśmy taką samą częstość precesji wszystkich pseudospinów, jest rozwiązaniem szczególnym. Tezę tę wydają się potwierdzać wykresy zależności wartości średnich składowych rkx , rky i rkz wykonane w podrozdziale 4.3 dla różnych spinów, na których wyraźnie widać różne częstości precesji. Samouzgodnione rozwiązanie równań różniczkowych (60) wykazuje nieregularną dynamikę parametru porządku. Nieregularność ta jest cechą ogólną, niezależnie od zadanego w programie 0 profilu czasowego potencjału oddziaływania V (t). Brak regularności części rzeczywistej ∆ (t) 00 i części urojonej ∆ (t) parametru porządku może być spowodowany na przykład błędami numerycznymi, więc w przyszłości potrzebne są dalsze badania wyjaśniające różnicę między otrzymanym nieregularnym rozwiązaniem a rozwiązaniem multisolitonowym z prac [12] oraz [21]. 65 66 Rozdział 5 Równoważność opisu pseudospinowego i równań Bogoliubova-de Gennes’a 5.1. Równania Bogoliubova-de Gennes’a Gdy w układzie mamy do czynienia z nieciągłościami (takimi jak granice badanego ośrodka czy centra rozpraszania) musimy uogólnić teorię mikroskopową na przypadek niejednorodny. Najbardziej potężnym narzędziem do badania takich przypadków jest formalizm wielociałowych funkcji Greena oraz metoda samouzgodnionego pola zaproponowana przez Bogoliubova i de Gennesa, którą wyprowadzimy w tym rozdziale. Jednocześnie, wprowadzając do otrzymanych równań zależność od czasu, będziemy mogli badać czasowy rozwój zaburzeń w systemie. Hamiltonian układu będzie miał postać Ĥ = Ĥ (1) + V̂ (2) , (1) gdzie Ĥ (1) jest hamiltonianem jednoelektronowym, natomiast V̂ (2) jest członem oddziaływania. Będziemy teraz szukali przybliżonego rozwiązania problemu wielociałowego w języku efektywnego hamiltonianu jednoelektronowego [9]. Hamiltonian powinien minimalizować całkowitą energię, taką postać ma hamiltonian Ĥ (e) Z d = 0 rΨ̂†↑ (r, t) H0 Ψ̂↑ (r, t) Z + 0 d3 rΨ̂†↓ (r, t) H0 Ψ̂↓ (r, t) + Z d3 rΨ̂†↑ (r, t) U (r, t) Ψ̂↑ (r, t) + Z d3 rΨ̂†↓ (r, t) U (r, t) Ψ̂↓ (r, t) + Z d3 r∆ (r, t) Ψ̂†↑ (r, t) Ψ̂†↓ (r, t) + Z d3 r∆∗ (r, t) Ψ̂↓ (r, t) Ψ̂↑ (r, t) , + + 3 (2) 0 gdzie H0 jest operatorem energii kinetycznej elektronu ie ~2 ∇− A H0 = − 2m ~c 0 67 2 − µ, (3) natomiast U (r, t) jest średnim potencjałem jednoelektronowym, a ∆ (r, t) jest określana jako parametr porządku. Operatory Ψ̂ są zwykłymi operatorami pola, które annihilują (kreują) cząstkę w miejscu r o spinie α i spełniają następujące relacje komutacyjne n o = 0, (4) n o = 0, (5) = δαβ δ 3 r − r0 . (6) Ψ̂α (r, t) , Ψ̂β r0 , t Ψ̂†α (r, t) , Ψ̂†β r0 , t n Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†β r0 , t o Pomysłem Bogoliubova było wyrażenie operatorów pola Ψ̂ poprzez kombinację liniową innych operatorów z pewnymi amplitudami wn . Dzięki temu możemy napisać Ψ̂α (r, t) = X (7) wn (r, t) ĉnα , n gdzie operator ĉnα annihiluje cząstkę o spinie α będącą w stanie n. Dla nadprzewodników jednorodnych znana jest transformacja kanoniczna diagonalizująca hamiltonian (transformacja ta różni się od tej wprowadzonej w rozdziale drugim, wybór ten jest zgodny z pracami [12] oraz [21]) † ĉn↑ = un γ̂n↑ − vn∗ γ̂n↓ , (8) † ĉn↓ = un γ̂n↓ + vn∗ γ̂n↑ . (9) oraz Wstawmy teraz równania (8) i (9) do równania (7). Dla spinu α =↑ otrzymamy Ψ̂↑ (r, t) = Xh i (10) i (11) † un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓ , n natomiast dla spinu α =↓ otrzymamy Ψ̂↓ (r, t) = Xh † un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑ . n Równanie ruchu dla operatorów pola ma postać i~ i ∂ Ψ̂α (r, t) h = Ψ̂α (r, t) , Ĥ (e) . ∂t (12) Aby je rozwiązać, musimy policzyć komutatory następujących wielkości ∂ Ψ̂α (r, t) i~ ∂t = Ψ̂α (r, t) , + + Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†α 3 0 Ψ̂†α d r Z Ψ̂α (r, t) , 3 0 d r Z Ψ̂α (r, t) , + Z Z 0 0 0 0 r , t H0 Ψ̂α r , t 0 + 0 r , t U r , t Ψ̂α r , t d3 r0 ∆ r0 , t Ψ̂†↑ r0 , t Ψ̂†↓ r0 , t 68 + d3 r0 ∆∗ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t Ψ̂↑ r0 , t + . (13) Aby uprościć obliczenia, będziemy korzystali z własności h i n o n o (14) Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ . Dzięki własności (14) otrzymamy następujący wynik dla pierwszego komutatora Z Ψ̂α (r, t) , 3 0 d r Ψ̂†α 0 0 0 r , t H0 Ψ̂α r , t Z d3 r0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†α r0 , t Z d3 r0 Ψ̂†α r0 , t H0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂α r0 , t n = − 0 Z o 0 H0 Ψ̂α r0 , t + n 0 o = d3 r0 δ 3 r − r0 H0 Ψ̂α r0 , t = = 0 (15) = H0 Ψ̂α (r, t) , natomiast dla drugiego komutatora otrzymamy Z Ψ̂α (r, t) , 3 0 d r Ψ̂†α 0 0 0 r , t U r , t Ψ̂α r , t Z d3 r0 Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†α r0 , t Z d3 r0 Ψ̂†α r0 , t U r0 , t = − Z = n o U r0 , t Ψ̂α r0 , t + n Ψ̂α (r, t) , Ψ̂α r0 , t o = d3 r0 δ 3 r − r0 U r0 , t Ψ̂α r0 , t = (16) = U (r, t) Ψ̂α (r, t) . Trzeci komutator wyrazi się jako Z Ψ̂α (r, t) , 3 0 0 d r ∆ r ,t Ψ̂†↑ 0 r ,t Ψ̂†↓ 0 r ,t Z d3 r 0 ∆ r 0 , t Z d3 r0 ∆ r0 , t Ψ̂†↑ r0 , t = − Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†↑ r0 , t o Ψ̂†↓ r0 , t + n Ψ̂α (r, t) , Ψ̂†↓ r0 , t Z d3 r0 ∆ r0 , t δ 3 r − r0 δα↑ Ψ̂†↓ r0 , t + Z d3 r0 ∆ r0 , t δ 3 r − r0 δα↓ Ψ̂†↑ r0 , t = = − n o = = ∆ (r, t) δα↑ Ψ̂†↓ r0 , t − ∆ (r, t) δα↓ Ψ̂†↑ r0 , t , (17) natomiast czwarty komutator możemy zapisać jako Z Ψ̂α (r, t) , d3 r0 ∆∗ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t Ψ̂↑ r0 , t = 0. (18) Równanie (13) przyjmie więc ostatecznie postać i~ ∂ Ψ̂α (r, t) 0 = H0 + U (r, t) Ψ̂α (r, t) + ∆ (r, t) Ψ̂†↓ δα↑ r0 , t − ∆ (r, t) Ψ̂†↑ r0 , t δα↓ . ∂t (19) Wstawiając za alpha dwie wartości spinu, otrzymamy równania ∂ Ψ̂↑ (r, t) 0 = H0 + U (r, t) Ψ̂↑ (r, t) + ∆ (r, t) Ψ̂†↓ ∂t (20) ∂ Ψ̂↓ (r, t) 0 = H0 + U (r, t) Ψ̂↓ (r, t) − ∆ (r, t) Ψ̂†↑ r0 , t ∂t (21) i~ i~ 69 Wstawimy teraz postać operatorów pola Ψ̂ z równań (10) i (11) do równań (20) i (21) i~ i 0 Xh i ∂ Xh † † = H0 + U (r, t) + un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓ un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓ ∂t n n + ∆ (r, t) Xh i † u∗n (r, t) γ̂n↓ + vn (r, t) γ̂n↑ , (22) n i~ i 0 Xh i ∂ Xh † † = H0 + U (r, t) + un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑ un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑ ∂t n n − ∆ (r, t) Xh i † u∗n (r, t) γ̂n↑ − vn (r, t) γ̂n↓ . (23) n Jeżeli pogrupujemy wyrazy przy tych samych symbolach γ i~ ∂ un (r, t) = H 0 + U (r, t) un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) , 0 ∂t ∂ ∗ −i~ v (r, t) = − H 0 + U (r, t) v ∗ (r, t) + ∆ (r, t) u∗ (r, t) , ∂t n n 0 (24) n i sprzęgniemy drugie równanie, otrzymamy równania Bogoliubova-de Gennesa zależne od czasu [9] i~ ∂ un (r, t) = H 0 + U (r, t) un (r, t) + ∆ (r, t) vn (r, t) , 0 ∂t i~ ∂ vn (r, t) = − H 0 + U (r, t) vn (r, t) + ∆∗ (r, t) un (r, t) . (25) 0 ∂t Otrzymany przez nas układ równań różniczkowych definiuje amplitudy un (r, t) i vn (r, t) opisujące stan nadprzewodzący. 5.2. Parametr porządku Równania Bogoliubova-de Gennesa pozostawiają niezdefiniowaną postać parametru porządku. Postać tę możemy otrzymać [9], rozwiązując równanie ∆ (r, t) = V hΨ̂↑ r0 , t Ψ̂↓ r0 , t i. (26) Wstawmy postać operatorów pola Ψ̂ z równań (10) i (11) do równania (26) Xh ∆ (r, t) = V h † un (r, t) γ̂n↑ − vn∗ (r, t) γ̂n↓ n = V X u2n (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↓ i − iXh i † un (r, t) γ̂n↓ + vn∗ (r, t) γ̂n↑ i= n † † ∗2 vn (r, t) hγ̂n↓ γ̂n↑ i + n + V X = V X = V X = V X † † un (r, t) vn∗ (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↑ i − vn∗ (r, t) un (r, t) hγ̂n↓ γ̂n↓ i = n † † vn∗ (r, t) un (r, t) hγ̂n↑ γ̂n↑ i − hγ̂n↓ γ̂n↓ i = n † † vn∗ (r, t) un (r, t) 1 − hγ̂n↑ γ̂n↑ i − hγ̂n↓ γ̂n↓ i = n vn∗ (r, t) un (r, t) (1 − 2fF D ) . n 70 (27) Znaczenie funkcji Fermiego fF D , która pojawiła się w tym wyrażeniu, jest bardzo problematyczne w przypadku zależnym od czasu. Jeżeli jednak założymy, że zaburzenia układu w czasie są małe, możemy przyjąć, iż funkcja fF D opisuje liczbę obsadzeń układu pozostającego w równowadze (formalnie oznacza to, że jest to liczba obsadzeń naszego układu dla czasu t = −∞). 5.3. Rozwiązanie równań Bogoliubova-de Gennes’a Aby otrzymać postać un (r, t) i vn (r, t), rozwiążemy teraz równania Bogoliubova-de Gennes’a zależne od czasu. Przepiszmy sobie równania (25) do postaci macierzowej i wprowadźmy 0 oznaczenie en (r, t) = H0 + U (r, t) un (r, t) e (r, t) ∆ (r, t) u (r, t) ∂ = n n . i ∂t vn (r, t) ∆∗ (r, t) −en (r, t) vn (r, t) (28) Dla wygody obliczeń przyjęliśmy ~ = 1. W tej części korzystać będziemy również z równań Bogoliubova-de Gennes’a niezależnych od czasu [9], które mają postać en (r, t) ∆ (r, t) ∆∗ (r, t) −en (r, t) un (r, t) vn (r, t) = n un (r, t) vn (r, t) . (29) W dalszych rozważaniach traktować będziemy parametr porządku ∆ (r, t) jako małe zaburzenie i korzystając z teorii zaburzeniowej poszukiwać będziemy poprawek do funkcji un (r, t) i vn (r, t) un (r, t) = u(0) n (r, t) + δun , vn (r, t) = vn(0) (r, t) + δvn , (0) (30) (0) gdzie un (r, t) i vn (r, t) są rozwiązaniami dla stanu normalnego (∆ (r, t) = 0), natomiast δun i δvn są poprawkami dla stanu nadprzewodzącego (∆ (r, t) 6= 0). Gdy ∆ (r, t) = 0 równanie (29) przyjmie postać (0) en (r, t) u(0) n (r, t) = ξn un (r, t) , en (r, t) vn(0) (r, t) = −ξn vn(0) (r, t) , (31) natomiast równanie (28) wyrazi się jako (0) i ∂ u(0) ∂t n (r, t) = en (r, t) un (r, t) , i ∂ vn(0) (r, t) = en (r, t) vn(0) (r, t) . ∂t (32) Korzystając z (31) i (32) możemy napisać (0) i ∂ u(0) ∂t n (r, t) = ξn un (r, t) , i ∂ vn(0) (r, t) = −ξn vn(0) (r, t) . ∂t 71 (33) Rozwiązaniem takiego układu równań są funkcje −ien t θ (e ) , u(0) n (r, t) = e n (34) vn(0) (r, t) = eien t θ (−en ) . Rozwiązanie to da się wyrazić w bardziej ogólnej postaci, poprzez wprowadzenie przypadkowej fazy φn −ien t θ (e ) , u(0) n (r, t) = e n (35) vn(0) (r, t) = eiφn eien t θ (−en ) . Rozwińmy teraz δun i δvn w kombinacje liniowe ortonormalnych funkcji Φm δun = X an,m (t) Φm , (36) bn,m (t) Φ∗m . (37) m δvn = X m Jeżeli wypiszemy sobie równania Bogoliubova-de Gennesa dla tych wielkości, pomnożymy równanie (36) przez Φ∗n a równanie (37) przez Φn , przecałkujemy te równania i skorzystamy z analizy stabilności wykonanej w pracy [4] (która pokazuje, że ∆ (t) ∼ eγt e−iωt ), otrzymamy postać δun i δvn δun = ∆(r,t)vn (r,t) iγ−2ξn +w , δvn = ∆∗ (r,t)un (r,t) iγ+2ξn −w . (0) (38) (0) Możemy więc wypisać pełną zależność od czasu dla funkcji un (r, t) oraz vn (r, t) jako un (r, t) = e−iξn t θ (ξn ) + (0) ∆(r,t)vn (r,t) iγ−2ξn +w , vn (r, t) = eiφn eiξn t θ (−ξn ) + (0) ∆∗ (r,t)un (r,t) iγ+2ξn −w . (39) 5.4. Równania Bogoliubova-de Gennes’a jako równanie typu Blocha W tej części pracy pokażemy w jaki sposób można przekształcić równania Bogoliubova-de Gennes’a, które dają rozwiązania na amplitudy un (r, t) i vn (r, t), do postaci równań typu Blocha [21]. Zabieg ten jest bardzo przydatny, dzięki niemu otrzymamy postać podlegającą rozwiązaniu tak numerycznemu, jak i analitycznemu. Osiągnąć to można wprowadzając nowe zmienne. Przepiszmy równania Bogoliubova-de Gennes’a zależne od czasu w postaci macierzowej (28) i uprośćmy zapis, wprowadzając oznaczenia un (r, t) = un , vn (r, t) = vn , en (r, t) = en oraz ∆ (r, t) = ∆ un e ∆ u ∂ = n n . i ∂t vn ∆∗ −en vn 72 (40) W tym miejscu wprowadzimy nowe zmienne (patrz równanie (21) w pracy [21]), które wyrażą się w następujący sposób przez un i vn∗ fn = 2un vn∗ , (41) gn = |un |2 − |vn∗ |2 . (42) Będziemy chcieli teraz wykorzystać równania Bogoliubova-de Gennes’a. W tym celu policzmy pochodne równań (41) i (42) ∂ ∂ ∂ i fn = 2 i un vn∗ + 2un i vn∗ , ∂t ∂t ∂t ∂ ∂ ∗ ∂ ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ i gn = i un un + un i un − i vn vn − vn i vn , ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t (43) (44) ∂ ∂ ∂ ∗ ∂ ∗ i w miejsca pochodnych i ∂t un , i ∂t vn , i ∂t un oraz i ∂t vn wstawmy wartości z równania (40) ∂ fn = 2 (en un (r, t) + ∆ (r) vn (r, t)) vn∗ + 2un (en vn∗ (r, t) − ∆∗ (r) u∗n (r, t)) , ∂t ∂ i gn = (en un (r, t) + ∆ (r) vn (r, t)) u∗n + un (−en u∗n (r, t) − ∆∗ (r) vn∗ (r, t)) + ∂t − (en vn∗ (r, t) − ∆ (r) u∗n (r, t)) vn − vn∗ (−en vn (r, t) + ∆∗ (r) un (r, t)) . i (45) (46) Po matematycznych przekształceniach otrzymujemy następujące równania ∂ fn = −2ien fn + 2i∆gn . ∂t ∂ gn = i∆∗ fn − i∆fn∗ . ∂t (47) (48) Otrzymane równania muszą zostać uzupełnione o równanie na parametr porządku. Ponieważ zdefiniowaliśmy go jako ∆ = V X un vn∗ (w T = 0), a następnie wprowadziliśmy zmienną fn = n 2un vn∗ , więc możemy napisać, że ∆ = parametr porządku ∆ = V X V X fn . Jednocześnie, w rozdziale 4, pokazaliśmy, że 2 n hσ̂k+ i. Z porównania tych wielkości wynika, że k fn = 2hσ̂k+ i = r1 + ir2 . (49) Następnie, korzystając z warunku normalizacyjnego (r1 )2 + (r2 )2 + (r3 )2 = 1, możemy napisać |fn |2 = (r1 )2 + (r2 )2 = 1 − (r3 )2 . (50) Przekształćmy to równanie do postaci (r3 )2 = 1 − |fn |2 = 1 − 4|un |2 |vn∗ |2 , (51) i skorzystajmy z warunku |un |2 + |vn∗ |2 = 1 (patrz równanie (13), rozdział 3) (r3 )2 = |un |2 + |vn∗ |2 − 4|un |2 |vn∗ |2 . 73 (52) Równanie (52) przekształćmy do postaci (r3 )2 = |un |2 1 − 2|vn∗ |2 + |vn∗ |2 1 − 2|un |2 , (53) i ponownie skorzystajmy z warunku |un |2 + |vn∗ |2 = 1 (r3 )2 = |un |2 |un |2 + |vn∗ |2 − 2|vn∗ |2 + |vn∗ |2 |un |2 + |vn∗ |2 − 2|un |2 . (54) Równanie (54) da się zapisać w prostszej postaci (r3 )2 = |un |2 (gn ) + |vn∗ |2 (−gn ) , (55) dzięki której otrzymamy równanie (gn )2 = (r3 )2 . (56) gn = r3 . (57) Możemy więc napisać, że Wstawmy teraz równania (49) i (57) do równań (47) i (48). Dzięki temu otrzymamy ∂ (r1 + ir2 ) = −2ien (r1 + ir2 ) + 2i∆r3 , ∂t ∂ (r3 ) = i∆∗ (r1 + ir2 ) − i∆ (r1 − ir2 ) . ∂t 0 (58) (59) 00 Wstawiając do powyższych równań ∆ = ∆ + i∆ i rozpisując pierwsze równanie na część rzeczywistą i urojoną otrzymamy następujący układ równań 00 ∂ r = 2 e r − ∆ r n 2 3 , ∂t 1 0 ∂ r =2 ∆ r −e r (60) , 3 n 1 ∂t 2 00 0 ∂ r3 = 2 ∆ r 1 − ∆ r 2 . ∂t 0 00 Układ równań (60) można przepisać wprowadzając oznaczenie ~bn = ∆ , ∆ , en ∂ r1 = 2 (b3 r2 − b2 r3 ) , ∂t ∂ r = 2 (b r − b r ) , 1 3 3 1 ∂t 2 ∂ r3 = 2 (b2 r1 − b1 r2 ) , ∂t (61) dzięki czemu układ (61) da się zapisać w wyprowadzonej wcześniej postaci (patrz rozdział 4, równanie (49)) równania typu Blocha ~r˙n = −2~bn × ~rn . (62) W rozdziale tym pokazaliśmy, iż zastosowanie innego formalizmu opisu zjawisk dynamicznych w gazie Fermiego sprowadza się do formalizmu opisanego w rozdziale 5. Dzięki temu symulacje numeryczne zamieszczone we wspomnianym rozdziale odnoszą się również do przypadku opisywanych w tym rozdziale równań Bogoliubova-de Gennes’a. 74 Podsumowanie i wnioski Celem powyższej pracy było badanie dynamiki par Coopera w układach fermionów z oddziaływaniem zależnym od czasu. Sytuacja fizyczna tego rodzaju realizowana jest w przeprowadzanych obecnie eksperymentach nad spułapkowanymi atomami typu fermionowego, ochłodzonymi do ekstremalnie niskich temperatur, w pobliżu tak zwanych magnetycznych rezonansów Feshbacha, a także w złączach nadprzewodnik-metal-nadprzewodnik lub nadprzewodnikpółprzewodnik-nadprzewodnik z zależnym od czasu potencjałem bramki. Zasadniczą częścią tej pracy są rozdziały 3, 4 i 5. W rozdziale trzecim zaprezentowana została metoda Andersona rozwiązania problemu BCS. Metoda ta polega na wprowadzeniu notacji pseudospinowej i wykorzystaniu jej do opisu par Coopera. W rozdziale tym przedstawiony jest sposób odtworzenia stacjonarnego rozwiązania BCS, zarówno w przypadku stanu podstawowego (T = 0), jak i dla dowolnej temperatury T . W rozdziale czwartym przedstawiony został sposób otrzymania równania typu Blocha dla wprowadzonego w rozdziale trzecim formalizmu. Równanie to pozwala badać zagadnienie dynamiki układu fermionów. W rozdziale czwartym przedstawione zostały dwa rozwiązania równania typu Blocha - rozwiązanie multisolitonowe, pochodzące z prac [12] oraz [21], oraz rozwiązanie nazywane przez nas ogólnym. Rozwiązanie multisolitonowe wydaje się być rozwiązaniem szczególnym, ponieważ nie znajduje potwierdzenia w ogólnych rachunkach, wykonanych w samouzgodniony sposób. Zagadnienie to wymagałoby jednak dalszych badań, w celu wyjaśnienia różnic między tymi dwoma rozwiązaniami. Rozdział piąty poświęcony jest mniej znanemu formalizmowi Bogoliubova-de Gennesa, który również pozwala badać procesy zależne od czasu. W rozdziale tym przedstawiona jest metoda otrzymania równań Bogoliubova-de Gennesa zależnych od czasu, a także sposób ich przekształcenia do bardziej znanego formalizmu z rozdziału czwartego. 75 76 Dodatek A W poniższym programie zastosowana została najprostsza (i zarazem najmniej dokładna) metoda równania różniczkowego, nazywana metodą Eulera. Polega ona na zastąpieniu różniczek dy i dt w równaniu dy = f (t, y) , dt przez skończone przyrosty ∆y i ∆t. Dzięki temu możemy napisać ∆y = ∆tf (t, y) . (63) (64) Kolejne wartości funkcji y w kolejnych chwilach czasu otrzymamy zadając warunek początkowy y (t0 ) = y0 , wybierając wartość przyrostu ∆t, a następnie iterując równanie yi+1 = yi + ∆tf (t, y) . (65) Zaletą tej metody jest jej prostota, jednak posiada ona poważne wady - jest znacznie mniej dokładna w porównaniu do innych, bardziej skomplikowanych, metod, a także, przy wybraniu zbyt dużego kroku czasowego ∆t, powoduje znaczny wzrost błędów numerycznych, co może prowadzić do niestabilności. PROGRAM RowRozniczkoweEuler INTEGER n DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,dx,PochF0,PochF02,x,z PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’ READ*,F0 PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’ READ*,DeltaMinus PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’ READ*,DeltaPlus PRINT*,’Podaj ilosc iteracji n:’ READ*,n PRINT*,’Podaj wartosc przyrostu funkcji w procesie iteracji dx:’ READ*,dx 77 x=0 z=1 IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’ ELSE OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’) WRITE(1,*) x,DeltaMinus DO 10 i=1,n PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2) PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02)) F0=F0+dx*PochF0 x=x+dx IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN z=-1 F0=2*DeltaPlus-F0 ENDIF IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN z=1 F0=2*DeltaMinus-F0 ENDIF WRITE(1,*) x,F0 10 CONTINUE CLOSE(1) ENDIF END 78 Program RowRozniczkoweRK4 wykorzystuje jedną z najczęściej używanych metod rozwiązania równań różniczkowych - metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu. Metoda ta zapewnia rozsądną dokładność bez potrzeby stosowania bardzo małego kroku czasowego ∆t. Polega ona na zastąpieniu różniczek dy i dt w równaniu różniczkowym dy = f (t, y) , dt (66) skończonymi przyrostami ∆y i ∆t. Iteracyjny wzór w metodzie Rungego-Kutty czwartego rzędu ma postać yi+1 = yi + k1 k2 k3 k4 + + + . 6 3 3 6 (67) Zadając warunek początkowy y (t0 ) = y0 , wybierając wartość przyrostu ∆t oraz obliczając współczynniki k1 , k2 , k3 i k4 , które zdefiniowane są jako k1 = ∆tf (ti , yi ) , ∆t k1 , k2 = ∆tf ti + , yi + 2 2 ∆t k2 k3 = ∆tf ti + , yi + , 2 2 k4 = ∆tf (ti + ∆t, yi + k3 ) . (68) otrzymamy kolejne wartości y (t). PROGRAM RowRozniczkoweRK4 INTEGER n DOUBLE PRECISION F0,DeltaMinus,DeltaPlus,PochF0,PochF02,x,z,D0 DOUBLE PRECISION h,k1,k2,k3,k4 PRINT*,’Podaj wartosc startowa funkcji Omega(t=0):’ READ*,F0 PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta-:’ READ*,DeltaMinus PRINT*,’Podaj wartosc parametru Delta+:’ READ*,DeltaPlus PRINT*,’Podaj ilosc krokow n:’ READ*,n PRINT*,’Podaj wartosc parametru h:’ READ*,h x=0 z=1 D0=F0 79 (69) (70) (71) IF (DeltaPlus.LT.DeltaMinus) THEN PRINT*,’Delta+ jest mniejsza niz Delta-’ ELSE OPEN(1, FILE=’wyniki.txt’) WRITE(1,*) x,DeltaMinus DO 10 i=1,n PochF02=(F0**2-DeltaMinus**2)*(DeltaPlus**2-F0**2) PochF0=z*SQRT(ABS(PochF02)) k1=PochF0 k2=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k1)**2-DeltaMinus**2)* * (DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k1)**2))) k3=z*SQRT(ABS(((F0+(h/2)*k2)**2-DeltaMinus**2)* * (DeltaPlus**2-(F0+(h/2)*k2)**2))) k4=z*SQRT(ABS(((F0+h*k3)**2-DeltaMinus**2)* * (DeltaPlus**2-(F0+h*k3)**2))) F0=F0+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4) x=x+h IF (F0.GT.DeltaPlus) THEN z=-1 F0=2*DeltaPlus-F0 ENDIF IF (F0.LT.DeltaMinus) THEN z=1 F0=2*DeltaMinus-F0 ENDIF WRITE(1,*) x,F0 10 CONTINUE CLOSE(1) ENDIF END 80 Dodatek B Program zamieszczony w dodatku B do rozwiązywania równań różniczkowych wykorzystuje metodę Eulera. Schemat ideowy tej metody został opisany w dodatku A. #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <conio.h> #include <dos.h> #include <stdlib.h> #include <fstream> #include <math.h> #include <time.h> long double fi[20001]; long double r[4][20001]; long double dr[4][20001]; long double e[20001]; long double b[4][20001]; int i,j,n; long double delta1,delta2,t,dt,V,sumfi,sumr1,sumr2,beta,T; long double pi=acos(-1); void main() { clrscr(); srand(time(NULL)); cout << "\nPodaj krok czasowy dt: "; cin >> dt; cout << "\nPodaj ilosc krokow n: "; cin >> n; 81 V=1.0; t=0.0; delta1=0.0; delta2=0.0; beta=1.0/4.5; ofstream aout("ei.txt", ios::app); for(i=-10000; i<10001; i++) { e[i+10000]=(V*i); e[i+10000]=e[i+10000]/2000.0; aout << e[i+10000] << endl; } aout.close(); for(i=0; i<20001; i++) { fi[i]=(rand()%1001)/1000.0; } for(i=0; i<20000; i++) { sumfi=sumfi+fi[i]; } sumfi=sumfi/20000.0; cout << sumfi << endl; fi[20001]=0.5-sumfi; ofstream a1out("liczbyfi.txt", ios::app); for(i=0; i<20001; i++) { a1out << fi[i] << endl; } a1out.close(); ofstream b1out("rxryrz.txt", ios::app); for(i=0; i<20001; i++) 82 { r[1][i]=cos(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]); r[2][i]=sin(2.0*pi*fi[i])/cosh(beta*e[i]); r[3][i]=tanh(beta*e[i]); b1out << r[1][i] << " " << r[2][i] << " " << r[3][i] << endl; } b1out.close(); ofstream b2out("bxbyibz.txt", ios::app); for(i=0; i<20001; i++) { b[1][i]=delta1; b[2][i]=delta2; b[3][i]=-e[i]; b2out << b[1][i] << " " << b[2][i] << " " << b[3][i] << endl; } b2out.close(); ofstream e1out("delta.txt", ios::app); e1out << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl; e1out.close(); ofstream dout("wyniki.txt", ios::app); ofstream eout("delta.txt", ios::app); for(j=0; j<n; j++) { sumr1=0.0; sumr2=0.0; for(i=0; i<20001; i++) { dr[1][i]=2*(b[3][i]*r[2][i]-b[2][i]*r[3][i]); dr[2][i]=2*(b[1][i]*r[3][i]-b[3][i]*r[1][i]); dr[3][i]=2*(b[2][i]*r[1][i]-b[1][i]*r[2][i]); } t=t+dt; for(i=0; i<20001; i++) 83 { r[1][i]=r[1][i]+dt*dr[1][i]; r[2][i]=r[2][i]+dt*dr[2][i]; r[3][i]=r[3][i]+dt*dr[3][i]; } dout << t << " " << r[1][11000] << " " << r[2][11000] << " " << r[3][11000] << endl; for(i=0; i<20001; i++) { sumr1=sumr1+r[1][i]; sumr2=sumr2+r[2][i]; } delta1=V*sumr1/20001.0; delta2=V*sumr2/20001.0; for(i=0; i<20001; i++) { b[1][i]=delta1; b[2][i]=delta2; } eout << t << " " << delta1 << " " << delta2 << endl; } eout.close(); dout.close(); } 84 Spis rysunków 1. Wykres zrobiony przez Heike Kamerlingha Onnesa - opór badanej próbki rtęci jako funkcja temperatury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Efekt Meissnera dla nadprzewodzącej kuli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Wykres ciepła właściwego galu w stanie normalnym i nadprzewodzącym. . . . . 17 4. Ilustracja przykładowego rezonansu Feshbacha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Metoda rozwiązania hamiltonianu BCS w reprezentacji pseudospinowej. . . . . . 34 6. Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kx i od energii ξk , opisanej wzorem (41). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . . 7. Wykres zależności wartości średniej składowej pseudospinu hσ̂kz i 36 od energii ξk , opisanej wzorem (42). Energia ξk mierzona jest w jednostkach ∆. . . . . . . . . . . 37 8. Nadprzewodzący stan podstawowy (ściana domeny). . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 9. Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 50 Zależność czasowa parametru porządku ∆ pochodząca z symulacji numerycznej dla różnych zestawów parametrów - wykres na górze Ω (0) = 0.01001, ∆− = 0.01, ∆+ = 1, wykres środkowy Ω (0) = 0.5001, ∆− = 0.5, ∆+ = 1, natomiast wykres na dole Ω (0) = 0.9001, ∆− = 0.9, ∆+ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 0 15. 54 00 Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 53 Zależność czasowa wartości średnich składowych M1 , M2 i M3 wykreślona dla jednego ze spinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 51 Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz 56 dwóch różnych pseu- dospinów. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (57). . . . . 58 85 16. 0 00 Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . . 17. 18. 19. Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseu- dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 15. . . . . . . . 60 Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (58). . . . . 60 0 00 Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. . . . . . . . 20. 21. 22. Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky 61 i rkz dwóch różnych pseu- dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 18. . . . . . . . 62 Zależność potencjału parowania V od czasu t pochodząca ze wzoru (59). . . . . 63 0 00 Zależność czasowa części rzeczywistej ∆ (t) i części urojonej ∆ (t) parametru porządku dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. . . . . . . . 23. 59 Zależność czasowa wartości średnich składowych rkx , rky i rkz dwóch różnych pseu- dospinów dla potencjału parowania przedstawionego na rysunku 21. . . . . . . . 86 64 65 Bibliografia [1] P.W. Anderson - Random-Phase Approximation in the Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 112, 900 (1958). [2] Charles Kittel - Quantium Theory of Solids, John Wiley & Sons, INC., 1964. [3] J.R. Schrieffer - Theory of Superconductivity, W.A.Benjamin, Inc., Publishers, New York, Amsterdam (1964). [4] E. Abrahams, T. Tsuneto - Time Variation of the Ginzburg-Landau Order Parameter, Phys. Rev. 152, 416 (1966). [5] A.L. Fetter, J.D. Walecka - Kwantowa teoria układów wielu cząstek, PWN, Warszawa 1988. [6] H. Ibach i H. Lüth - Fizyka Ciała Stałego, PWN, Warszawa 1996. [7] Rudolf de Bruyn Outboter - Heike Kamerlingh Onnes: odkrywca nadprzewodnictwa, Świat Nauki nr 5, 1997. [8] Charles Kittel - Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN, Warszawa 1999. [9] J.B. Ketterson, S.N. Song - Superconductivity, Cambridge University Press, Cambridge (1999). [10] S. Szpikowski - Elementy Mechaniki Kwantowej, Wydawnictwo UMCS, Lublin 1999. [11] W. Ketterle - Gdy atomy zachowują się jak fale: kondensacja Bosego-Einsteina i laser atomowy, Postępy Fizyki, Tom 54, Zeszyt 1 (2003). [12] R.A. Barankow, L.S. Levitov, B.Z. Spivak - Collective Rabi Oscillations and Solitons in a Time-Dependent BCS Pairing Problem, Phys. Rev. Lett. 93, 160401 (2004). [13] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Atom-Molecule Coexistence and Collective Dynamics Near a Feshbach Resonance of Cold Fermions, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004). [14] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Projection of Atoms to Feshbach Molecules at Strong Coupling, Phys. Rev. Lett. 93, 130403 (2004). 87 [15] A.V. Andreev, V. Gurarie, L. Radzihovsky - Nonequilibrium Dynamics and Thermodynamics of a Degenerate Fermi Gas Across a Feshbach Resonance, Phys. Rev. Lett. 93, 130402 (2004). [16] A.A. Abrikosov - Nadprzewodniki drugiego rodzaju i sieć wirów, Postępy Fizyki, Tom 55, Zeszyt 5 (2004). [17] M.W. Zwierlein, C.H. Schunck, C.A. Stan, S.M.F. Raupach, W. Ketterle - Formation Dynamics of a Fermion Pair Condensate, Phys. Rev. Lett. 94, 180401 (2005). [18] E.A. Yuzbashyan, B.L. Altshuler, V.B.Kuznetsov, V.Z. Enolskii - Nonequilibrium Cooper Pairing in the Non-adiabatic Regime Condensed Matter 0505493 (2005). [19] M. Greiner, Cindy A.Regal, D.S. Jin- Fermi Condensates, Condensed Matter 0502539 (2005). [20] T. Domański - Nadprzewodniki - nowe fakty i teorie, Postępy fizyki (2006). [21] R.A. Barankow, L.S. Levitov - Dynamical Selection in Developing Fermionic Pairing, Physical Review A, vol. 73, 033614 (2006). 88