Matematyka dyskretna i matematyczne podstawy informatyki, lista 5 (1)

Matematyka dyskretna i matematyczne podstawy informatyki, lista 5
(1) Niech g ≥ 2 bȩdzie liczba̧ calkowita̧. Rozważmy graf pelny na zbiorze wierzcholków
{1, . . . , 3g − 4}. Kolorujemy krawȩdź {i, j} tego grafu na czerwono jeżeli |i − j| ≡
1(mod 3) oraz kolorujemy krawȩdź {i, j} na czarno w przeciwnym razie. Pokazać, że
tak pokolorowany graf nie zawiera ani czerwonego podgrafu K 3 ani czarnego podgrafu
Kg . Jakie wynika sta̧d oszacowanie dla liczby R(3, g)?
(2) Pokazać, że dla liczb calkowitych r, g ≥ 3 liczby Ramseya spelniaja̧ nastȩpuja̧ca̧
nierówność: R(r, g) ≤ R(r − 1, g) + R(r, g − 1). Ponadto, jeżeli liczby wystȩpuja̧ce
po prawej stronie nierówności sa̧ parzyste to nierówność jest ostra.
(3) Bazuja̧c na zadaniach poprzednich pokazać, że R(3, 4) = 9.
(4) Niech G1 bȩdzie grafem o liczbie chromatycznej r (χ(G) = r) i niech G2 bȩdzie
grafem spójnym maja̧cym g wierzcholków. Znaleźć takie kolorowanie krawȩdzi grafu
K(r−1)(g−1) na czerwono i czarno, dla którego nie indukuje siȩ czerwony podgraf G 1
ani czarny podgraf G2 .
(5) Niech a, n ∈ N oraz n ≥ a. Wówczas istnieje 2-kolorowanie krawȩdzi grafu K n , które
a
indukuje co najwyżej na 21−(2) jednokolorowych grafów Ka .
(6) Dla dowolnego n ∈ N istnieje n-wierzcholkowy turniej zwieraja̧cy co najwyżej n!2 −(n−1)
dróg Hamiltona.
(7) Niech k, d ∈ N. Niech ponadto {A1 , . . . , An } bȩdzie rodzina̧ podzbiorów ustalonego
skończonego zbioru X, z których każdy ma co najmniej k elementów i ma niepusty
przekrój z co najwyżej d innymi zbiorami tej rodziny. Jeżeli e(d + 1) ≤ 2 k−1 to istnieje
podzial zbioru X na dwie czȩści taki, że żaden zbiór tej rodziny nie jest w calości
zawarty w jednej czȩści tego podzialu.
(8) Niech G = (V, E) bȩdzie grafem i niech {V1 , . . . , Vr } bȩdzie podzialem zbioru V .
Przypuśćmy ponadto, że dla każdego i ∈ [r] mamy |Vi | ≥ 2e∆(G). Wówczas istnieje
zbiór niezależny wierzcholków grafu zawieraja̧cy po jednym wierzcholku z każdego ze
zbiorów Vi , i ∈ [r].
(9) Niech D bȩdzie digrafem i niech δ(D)+ = δ, ∆(D)− = ∆, k ∈ N. Jeżeli (1 − k1 )δ e(∆δ +
1) ≤ 1 to D zawiera jako poddigraf cykl skierowany o dlugości przystaja̧cej do 0
modulo k.
(10) Każdy zbiór B = {b1 , . . . , bn } n niezerowych liczb calkowitych zawiera wolny od sum
podzbiór A taki, że |A| > 31 n.
(11) Niech k, n ∈ N, gdzie n ≥ 2k. Niech ponadto F bȩdzie rodzina̧ pewnych k-elementowych
podzbiorów zbioru {0, 1, . . . , n − 1}i jednocześnie rodzina̧ przecinaja̧ca̧ siȩ. Dla s
spelniaja̧cego warunek 0 ≤ s ≤ n − 1, definiujemy zbiór As = {s, s + 1, . . . s + k − 1},
gdzie dodawanie jest brane modulo n. Wówczas F zawiera co najwyżej k spośród
zbiorów As .
(12) Niech k, n ∈ N, gdzie n ≥ 2k. Niech ponadto F bȩdzie rodzina̧ pewnych k-elementowych
podzbiorów zbioru {0, 1, . . . , n − 1} i jednocześnie rodzina̧ przecinaja̧ca̧ siȩ. Wówczas
|F| ≤ n−1
k−1 .
(13) Niech v1 , . . . , vn ∈ Rn i niech norma euklidesowa |vi | każdego wektora vi bȩdzie
√ równa
1. Wówczas istnieja̧ liczby 1 , . . . n ∈ {−1, 1} takie, że |1 v1 + · · · + n vn | ≤ n.
(14) Niech v1 , . . . , vn ∈ Rn i niech norma euklidesowa |vi | każdego wektora vi bȩdzie rḿniejsza
ba̧dź równa 1. Niech ponadto p1 , . . . pn ∈< 0, 1 > i niech w = p1 v1 + · · · + pn vn .
Wówczas istnieja̧
liczby 1 , . . . n ∈ {0, 1}, takie że dla v = 1 v1 + · · · + n vn zachodzi
√
n
|w − v| ≤ 2 .
1