Rachunek zda« - podej±cie formalne

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 4
Rachunek zda« - podej±cie formalne
Oznaczenia
Niech
P
oznacza pewien zbiór którego elementami oznaczanymi literami
p, q, r, . . .
s¡ zmienne
zdaniowe.
Wprowadzamy dalej symbol faªszu
⊥
którego warto±ci¡ logiczn¡ dla dowolnego warto±ciowania jest
0.
α, β, γ, . . . budujemy
∨ (alternatywa) i → (implikacja)
Formuªy rachunku zda« oznaczane literami
spójników logicznych
∧
Dla dowolnej formuªy
(koniunkcja),
α
napis
formuªy) zapisujemy skrótowo
ze zmiennych zdaniowych,
oraz symbolu faªszu.
α →⊥ (który mo»e by¢ zarówno caª¡ formuª¡, jak i
jako ¬α i interpretujemy jako zaprzeczenie formuªy α.
cz¦±ci¡ innej
Drzewo
Def. 4.1
Drzewem nazywamy struktur¦ zbudowan¡ z punktów wierzchoªków i ª¡cz¡cych je linii kraw¦dzi
tak, »e
•
z ka»dego wierzchoªka wychodzi co najmniej jedna kraw¦d¹,
•
mi¦dzy dwoma wierzchoªkami drzewa da si¦ przej±¢ po drzewie (t.j. dla ka»dej pary wierzchoªków drzewa istnieje ª¡cz¡ca je, nieprzerwana droga zªo»ona z kraw¦dzi i wierzchoªków
drzewa) na dokªadnie jeden sposób (o ile nie przechodzimy tego samego fragmentu drogi w
t¦ i z powrotem).
Wierzchoªki, z których wychodzi tylko jedna kraw¦d¹, nazywamy wierzchoªkami zewn¦trznymi (lub
li±¢mi). Wierzchoªki, z których wychodz¡ co najmniej dwie kraw¦dzie, to wierzchoªki wewn¦trzne.
Cz¦sto wyró»niamy jeden z wierzchoªków (wewn¦trzny lub zewn¦trzny), nazywaj¡c go korzeniem.
W ka»dym wierzchoªku mo»emy umie±ci¢ pewien napis (etykiet¦). Drzewo z etykietami w wierzchoªkach nazywamy drzewem etykietowanym.
Systemy dowodzenia
Systemy dowodzenia sªu»¡ formalnemu wyprowadzeniu wyra»e« postaci
α jest formuª¡. Napis ∆ ⊢ α nazywamy sekwentem i czytamy
hipotez ∆.
(niekoniecznie sko«czonym) formuª za±
α jest wyprowadzalna ze zbioru
∆ ⊢ α, gdzie ∆ jest zbiorem
1
Sytuacj¦ szczególn¡, w której zbiór
oznacza¢
∆
jest zbiorem pustym (nie zawiera »adnej formuªy) b¦dziemy
⊢ α.
Ka»dy system dowodzenia zawiera dwa skªadniki:
•
pocz¡tkowy zbiór sekwentów nazywanych aksjomatami których nie dowodzimy,
•
zbiór reguª przeksztaªcania sekwentów w sekwenty, nazywanych reguªami dowodzenia.
Precyzyjniej: reguªy dowodzenia opisuj¡ warunki (metody), przy pomocy których mo»emy otrzyma¢
nowy sekwent (zwany konkluzj¡) z otrzymanych wcze±niej sekwentów (zwanych przesªankami)
Def. 4.2
Dowodem sekwentu
∆⊢α
nazywamy sko«czone drzewo etykietowane sekwentami tak, »e
•
etykiet¡ korzenia jest dowodzony sekwent
∆ ⊢ α,
•
etykietami li±ci s¡ aksjomaty,
•
etykieta ka»dego z wierzchoªków wewn¦trznych uzyskiwana jest poprzez zastosowanie jednej
z reguª dowodzenia do poprzedzaj¡cych go wierzchoªków (t.j. wierzchoªków s¡siednich, poª¡czonych z rozpatrywanym wierzchoªkiem kraw¦dzi¡, i le»¡cych dalej od korzenia).
Hilbertowski system dowodzenia
. Niech
α, β, γ
oznaczaj¡ dowolne formuªy, za±
∆
dowolny zbiór formuª. Aksjomatami Hilbertow-
skiego systemu dowodzenia s¡ nast¦puj¡ce sekwenty:
(A0)
∆, α ⊢ α,
(A2)
∆ ⊢ α → (β → α),
(
)
(
)
∆ ⊢ α → (β → γ) → (α → β) → (α → γ) ,
(A3)
∆ ⊢ ¬¬α → α.
(A1)
W Hilbertowskim systemie dowodzenia wprowadza si¦ tylko jedn¡ reguª¦ dowodzenia, zwan¡ reguª¡
odrywania lub modus ponens (w skrócie MP):
∆ ⊢ α; ∆ ⊢ α → β
∆⊢β
Lemat 4.1
W Hilbertowskim systemie dowodzenia istnieje dowód sekwentu
2
⊢ p → p.
Dowód
Jako
∆
wybieramy zbiór pusty. Oznaczmy tak»e
β = p → p,
α = p,
Dla formuª
α, β, γ
γ = p.
jak powy»ej aksjomat (A1) przyjmuje posta¢
(
)
∆ ⊢ p → (p → p) → p
za± aksjomat (A2):
∆⊢ξ
gdzie wprowadzili±my skrótowe oznacznie
(
)
(
)
ξ = p → ((p → p) → p) → (p → (p → p)) → (p → p) .
Zauwa»my tak»e, »e sekwent
∆ ⊢ p → (p → p)
jest realizacj¡ aksjomatu (A1) dla
α ≡ β ≡ p. U»ywaj¡c wprowadzonych oznacze« dostajemy drzewo
dowodu w postaci:
(
)
∆ ⊢ p → (p → p) → p ;
∆⊢ξ
(A1), (A2)
(
)
∆ ⊢ (p → (p → p)) → (p → p) ;
∆ ⊢ p → (p → p)
(A1)
∆ ⊢ p → p.
Symbole z prawej strony ka»dego z wierszy oznaczaj¡ aksjomaty, których realizacj¡ s¡ sekwenty
podane w li±ciach. Pozioma kreska oznacza zastosowanie reguªy odrywania (reguªy MP).
Tw. 4.2 (Twierdzenie o dedukcji)
Dla dowolnego zbioru formuª
Dowód
∆
oraz dowolnych formuª
α, β,
je±li
∆, α ⊢ β
to
∆ ⊢ α → β.
Aby uczyni¢ dowód bardziej przejrzysty zamienimy tymczasowo oznaczenia: zamiast
b¦dziemy pisa¢
Γ,
zamiast
α
ρ,
zamiast
β
za± u»yjemy symbolu
η.
∆
Symbolicznie tez¦ twierdzenia
o dedukcji zapiszemy wi¦c jako
Γ, ρ ⊢ η
Γ⊢ρ→η
Je±li
ρ = η,
to prawdziwo±¢ sekwentu
Γ⊢ρ→ρ
W dalszej cz¦±ci dowodu przyjmiemy, »e
wynika z Lematu 4.1.
ρ ̸= η.
Dowód przeprowadzimy metod¡ indukcyjn¡ w liczbie kroków niezb¦dnych do wyprowadzenia sekwentu
Γ, ρ ⊢ η,
t.j. w liczbie zastosowa« w drzewie dowodu reguªy odrywania.
3
Jako pierwszy krok dowodu indukcyjnego przyjmijmy, »e wyprowadzenie sekwentu
wymaga stosowana reguªy MP (czyli jego wyprowadzenie skªada si¦ z
drzewo dowodu sekwentu
Γ, ρ ⊢ η
η
nie
kroków). To oznacza, »e
skªada si¦ wyª¡cznie z jednego li±cia. Z denicji drzewa dowodo-
wego li±cie etykietowane s¡ aksjomatami, sekwent sekwent
aksjomatów. Oznacza to, »e
0
Γ, ρ ⊢ η
Γ, ρ ⊢ η
jest wi¦c realizacj¡ jednego z
jest jednym z wyra»e« wyst¦puj¡cych po prawej stronie sekwentów
w aksjomatach (A0) (A3).
W aksjomatach (A1) (A3) zbiór
matów (A1) (A3) (dla zbioru
sekwent
Γ⊢η
∆
jest dowolny. Je±li wi¦c sekwent
Γ, ρ ⊢ η
jest jednym z aksjo-
∆ b¦d¡cego sum¡ zbioru Γ i zbioru zªo»onego z formuªy ρ), to tak»e
jest aksjomatem.
Γ, ρ ⊢ η b¦dzie realizacj¡ aksjomatu (A0). Poniewa» ρ ̸= η, wi¦c formuªa η musi nale»e¢
do zbioru formuª Γ, mo»emy wi¦c zapisac Γ = ∆, η dla pewnego (by¢ mo»e pustego) zbioru ∆.
Korzystaj¡c z aksjomatu (A0) mamy ∆, η ⊢ η, czyli Γ ⊢ η.
Niech teraz
Podsumowuj¡c ten etap dowodu: pokazali±my, »e je±li
to tak»e
Γ⊢η
Γ, ρ ⊢ η
jest realizacj¡ jednego z aksjomatów,
jest realizacj¡ aksjomatu.
Korzystaj¡c z aksjomatu
Γ ⊢ η,
realizacji aksjomatu (A1) w postaci
Γ ⊢ η → (ρ → η)
i reguªy
odrywania mamy
Γ ⊢ η;
Γ ⊢ η → (ρ → η)
Γ ⊢ ρ → η.
Zako«czyli±my zerowy krok dowodu indukcyjnego.
Przyjmijmy teraz, »e twierdzenie o dedukcji jest prawdziwe dla wszystkich sekwentów postaci
∆, α ⊢ β,
których wyprowadzenie wymaga
n−1
krotnego u»ycia reguªy MP i niech
b¦dzie sekwentem, którego drzewo dowodowe zawiera
n≥1
Γ, ρ ⊢ η
u»y¢ reguªy MP.
Jedynym sposobem wykazania w Hilbertowskim systemie dowodzenia poprawno±ci sekwentu
η
Γ, ρ ⊢
jest u»ycie reguªy MP do (wcze±niej wykazanych) sekwentów postaci
Γ, ρ ⊢ λ
i
Γ, ρ ⊢ λ → η
(λ jest tu pewn¡ formuª¡, któr¡ jawnie mogliby±my poda¢, gdyby±my jawnie podali postaci
i
η ),
Γ, ρ
zachodzi bowiem
Γ, ρ ⊢ λ;
Γ, ρ ⊢ λ → η
Γ, ρ ⊢ η.
Sekwenty
Γ, ρ ⊢ λ i Γ, ρ ⊢ λ → η
poprzedzaj¡ sekwent
Γ, ρ ⊢ η
w drzewie dowodu tego ostatniego,
aby wi¦c do nich doj±¢ (aby je udowodni¢) musieli±my zastosowa¢ reguª¦ MP mniejsz¡ ilo±¢ razy
ni» w dowodzie sekwentu
najwy»ej
n−1
Γ, ρ ⊢ η.
Dowody sekwentów
Γ, ρ ⊢ λ
i
Γ, ρ ⊢ λ → η
zawieraj¡ wi¦c co
kroków, na mocy wi¦c zaªo»enia indukcyjnego mo»emy wi¦c udowodni¢ sekwenty
Γ⊢ρ→λ
Γ ⊢ ρ → (λ → η).
i
4
(∗)
Niech teraz
Sekwent
(
)
(
)
ξ = ρ → (λ → η) → (ρ → λ) → (ρ → η) .
Γ⊢ξ
jest realizacj¡ aksjomatu (A2), mamy wi¦c (korzystaj¡c z
Γ ⊢ Γ ⊢ ρ → (λ → η).;
(∗)):
Γ⊢ξ
(∗), (A2)
Γ ⊢ (ρ → λ) → (ρ → η);
Γ⊢ρ→λ
(∗)
Γ ⊢ ρ → η.
Powy»szy wynik i twierdzenie o indukcji matematycznej ko«czy dowód twierdzenia o dedukcji.
Hilbertowski system dowodzenia opisuje sekwenty zawieraj¡ce jeden spójnik logiczny implikacj¦
(negacja formuªy
α
to skrótowy zapis formuªy
α →⊥).
Wygodnie jest go rozszerzy¢ na formuªy
zawieraj¡ce tak»e koniunkcj¦ i alternatyw¦, co wymaga wprowadzenia dodatkowych aksjomatów, w
istocie deniuj¡cych te spójniki:
(A4)
∆ ⊢ (α ∧ β) → ¬(α → ¬β),
(A5)
∆ ⊢ ¬(α → ¬β) → (α ∧ β),
(A6)
∆ ⊢ (α ∨ β) → (¬α → β),
(A7)
∆ ⊢ (¬α → β) → (α ∨ β).
System dowodzenia oparty o aksjomaty (A0) (A7) i reguª¦ dowodzenia modus ponens nazywamy
rozszerzonym Hilbetowskim systemem dowodzenia.
System naturalnej dedukcji
Tak jak i system Hilbetowski, system naturalnej dedukcji sªu»y wyprowadzaniu sekwentów postaci
∆ ⊢ α.
O ile w systemie Hilbertowskim stosunkowo rozbudowanemu ukªadowi aksjomatów towa-
rzyszyªa jedna reguªa dowodzenia, tak w systemie naturalnej dedukcji (ND) wprowadza si¦ tylko
jeden aksjomat:
∆, α ⊢ α
(A0)
któremu bogaty zestaw reguª wnioskowania. Reguªy te poza reguª¡ dowodzenia przez sprzeczno±¢
(PS) mo»na uporz¡dkowa¢ w pary; pierwszy element ka»dej pary opisuje reguª¦ wprowadzenia, a
drugi reguª¦ eliminacji kolejnego spójnika logicznego. Maj¡ one posta¢:
(→ −intro)
(∧ − intro)
∆, α ⊢ β
∆⊢α→β
∆ ⊢ α; ∆ ⊢ β
∆⊢α∧β
(→ −elim)
(∧ − elim)
5
∆ ⊢ α → β; ∆ ⊢ α
∆⊢α∧β
∆⊢α
∆, α ⊢ β
(∧ − elim)
∆⊢α∧β
∆⊢β
(∨ − intro)
∆⊢α
∆⊢α∨β
(∨ − intro)
∆⊢β
∆⊢α∨β
(PS)
(∨ − elim)
∆ ⊢ α ∨ β; ∆, α ⊢ γ; ∆, β ⊢ γ
∆⊢γ
∆, ¬α ⊢⊥
∆⊢α
Zauwa»my, »e reguªa wprowadzenia implikacji ma tak¡ sam¡ posta¢, jak twierdzenie o dedukcji w
systemie Hilbertowskim, reguªa eliminacji implikacji to w istocie reguªa modus ponens, za± reguªa
wnioskowania PS zast¦puje aksjomat (A3) Hilbertowskiego systemu dowodzenia. Dowody, które w
systemie Hilbertowskim wymagaªy u»ycia jedynie aksjomatów (A0), (A3), reguªy MP i twierdzenia
o dedukcji, maj¡ w systemie naturalnej dedukcji posta¢ nieomal identyczn¡.
6