1. Wyznaczyć rozkład zmiennej W2 + 4W3 − 4W 2. Niech (W t : t ≥ 0

1. Wyznaczyć rozkład zmiennej W 2 + 4W3 − 4W4 .
2. Niech (Wt : t ≥ 0) będzie standardowym procesem Wienera. Pokazać, że następujące procesy też są
procesami Wienera.
(a) Xt = −Wt (odbicie)
1
(b) Yt = c− 2 Wct ; c > 0 (przeskalowanie czasu)
(c) Ut = WT +t − WT ; T > 0
(
Wt
dla t ≤ T
(d) Vt =
.
2WT −Wt dla t ≥ T
3. Proces (Bt0 : t ∈< 0, t >), gdzie Bt0 = Wt − tW1 nazywamy mostem Browna.
(a) Wyznaczyć funkcję kowariancyjną procesu (Bt0 : t ∈< 0, t >).
(b) Pokazać, że proces (Bt : t ≥ 0) , gdzie Bt = (1 + t)B 0 t jest procesem Wienera.
1+t
(
4. Zbadać, czy proces Xt =
tW 1t
0
dla t > 0
ma przyrosty niezależne.
dla t − 0
5. Pokazać, że scentrowany proces gaussowski jest stacjonarny w węższym sensie wtedy i tylko wtedy gdy
K(t + h, s + h) = K(t, s) dla dowolnych t, s oraz h.
6. Pokazać, że proces Ornsteina-Uhlenbecka (e−t We2t : t ≥ 0) jest procesem stacjonarnym w węższym
sensie.
7. Niech Mt = max0≤s≤t Wt .
(a) Pokazać, że dla a > 0 mamy P (Mt ≥ a) = 2P (Wt ≥ a) = P (|Wt | ≥ a).
(b) Wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu zmiennej Mt .
(c) Pokazać, że P (max0≤s≤t Wt > 0) = P (min0≤s≤t Wt < 0) = 1.
1