Do domu na 17.03: Wykazać, że elipsy, hiperbole i parabole na

Do domu na 17.03:
Wykazać, że elipsy, hiperbole i parabole na płaszczyźnie są
rzutowo równoważne.
Z kostrykina:
zad 6.5.19-20
zad 6.5.22
zad 6.5.25
158
Geometria
afiniczrra. eukliclesowa i rz
, 1 r ' - 7 6s t rzetlie
ti.'>;-
6'5.9. Udor,vclr]nić.że c1ltrkażclego skoriczonego zbiclrir plrrlkt rv
\'!,przestrz
rztrtor'"'e.jrtarl ciałetlt tries]<clóczorl.yrrr
istrtie.jc.zalr,ierajirca go lDapei afiniczną.
6.5.1o. \\,'vkazać, ze <lorvolrlti(Al - 1 )-r'v1,iltiarorvąpo11przestrzen
rv P,. rn^;
pclkrr,ć A: lrrtlparrli afirriczlrvrrli, ŻtIlie Ir1oZtlajej pokr.r,ć nrltie.jszę
liczbą
rrral).
6.5.11. \\r1'znaczvć 1iczbę prtnkt ri. rt-u..\,ttriarorvej
1rrzestrzetii rzittorvej nad
łettrq-e1elrrelttor'r.v
lli.
'ł
6.5.12. \\'rznirczvć licz]le l.-rvt,trtiarorv1.ch
poc1pr.zestrzcllirł-/2-1\.1'l]l]arowej
nrzd
strzetri rzrrtolve-jltacl ciałetrrq_elc.ttterrtorvvtrl'
6.5.13. Poclać liczl-,eprzekształceli rztttolr.l,ch rt-rr'vttlial.ou.cj
przestr'zelllirzutowęJ
riacl ciałcnr q-e1enrento.lvvtlr.
u';'1:.):.:.1]..i1l'l ']-11
tiie pt.zccinaj.4cr''nli.się
płtrszczr.ztlattri
u,P', a.['n
l,*i...
Pł1l:,ł^ratlri ci tl'c]tsaltrYchu,r-nriaracr.
rr vt<a,l{
--*}
l.',:.]:':i:"'::::JTi]]:
:]? rzutorve przpro'1lacizajęce
. ^
że:
istlrie.jeprzekszt;rłceltie
l/1 w L.'1 t ' l / 2 w Ł 2 '
6.5.15.
. 1 5 . \Vvkazać,
\ V v ] t a z n ć że
) o jeśli
i e ( ' I i przekształcetrie
nrzoLc.,{oł^^..i,' *
- , ' + . ' . - . , -^
. ' . - ^ - - . - . ' -' . . l
$
rzutolv.]
pr'Zej)Io1\:a.l,u
1,"o'.,'u,.'u"* ud
IrlL]Zl,i:L
tricztra 'v
\'VsleDler
siebie, Io
to lllollkuJe
inclukuje ]la
ua I)Ie]
liiej przeliształcerrie
przeliształcerrie afitticzne.
afitticzne
6.5.16.
:t
Uciort.ocinić. że ]tażrle tii.jektvrvne plzekszttrłceltiel cllvulr,\'rrriarorvej
płas#
CZ\:zDs.1'Zut()\,1rej.
przeprowłt(lzające proste rra prost,e i zacltou.ri.|ace.lwustosty
ite]i prrrrktÓr,vna kazcle.jprostej. jest przekształcelrierrrtzutolł-\'trr.
6.5.I7. Lldorr.odrlić',ze za pulllUca oclpolviecllriego przekształcerria
rzutoweg|
lltoz11a przepr.cxł,;r<1zić
clolr'.oirre czter1' ilroste. z kttirr,-clr żacltre t.zy j[
l1zecin1j+ się lv jeclllr.ni prtrrkcitl. rra clcl."voltteirrtte czter'.\' pr.oste rnające t|
\\ lASllOsC.
l.
6.5.18. \'\:1,.kazać.
że istnieje przelrształcenie rztttorve
|i.aszcz\.znr. zaclrorvująę
dalrv tr jk4t i przeprou.adzajęr:e c.lirttr'punkt r,velvnetrznl.
tego trÓjkąta nr
clolvoirry innv prtrrkt r,r'erł'nętrznv
l.
6.5.19. \\.ykazać' że istrrie.jeprzekształcettie rzutor've p!aszcz1;znr''.
zachowująff
okrąg ,. + y, : 1 i plzt:prorvaclza.jące clalrl. prrrtkt ,"ew.'ęt'."nv
tego okręgu 4f,
dor'r.ohr\'inrr.v llulrlrt u'ewtrętrzlrv.
6.5.20. Lidor,i'oclrrić.
że korzystajęc jer1vnie z linijki nie rtlozrta rvyznaczyć środkł
rlalrego okr.ęgu'
6.5.2I. Dolvieść,kolz1.stajł1cz przekształce rztttot.i'ch.
że orlcirlj<iłączące wietr.
cłrołki tr' jkąta z rvvbl'artvtlri punktanri przecirvległr,ch
bokÓ,v pr"ecina;ą si{
rv.ieclrr.u-rrr
pultkcie rvtecl\.i t1.lkcl."vteclv.
8ch. te prrlt}itr'sa 1lrrnktarrri styJiości
1ler'''nejr:lipsl' u'pisanej rv trÓikąt.
6.5.22. Rozrvtrzyć ollraz przetistarviając'v alr:ję.
oc1ległość
ocl 1lierwszego drze,ltl
alci rlo linii itorvzontLr jcst rÓtl,rta 1. odiegłość,,,lęii"l,'
rlrzewarrli ł ii + i;"'t
r rvlra rzp. W1'r.azić':
i
a ) c r 3 Z a p . J l l r o c ąa 1 i a . > : b ) r t 2 z ł t p o l l ] o c ą l i c t 1 .
.
6.5.23. Przekształcerrie r'Zlrto\\.c.
jeś]i zachu
1llaszczr'zIIy llaz\iwżI się ll,ornr>loqlrr.
rr'rt.jelł'sz1.5tkiepLrrrktv lezące tla
.jeciuej prclstej (osi honrcltlgti) i rt.szvstkią
proste przeclroclzt1CepI.zę,Z
1lelr.itlnprrnkt (śrorlc:lł
|1tlmolog,ii).\\-l kazac. )e: t
15
rzttŁcxł'e
jedna liorrrolclgia o zadarrej osi i i zacltrtiyltl środktl o' przr
2) istrricjt. t}.iko
n . l ' b r a r l l ' 1 l r r r r k t' Ą ł o , A ę l , r v c ] a l t v 1 l r t r r k tA , ł o , A , F ,
1llrrrr.lrrlzitjł1ca
, , , , 1 , ' 2 , ,, .l .o P t o s t e i O ' - l l :
rzrttclt,eplaszczvznr'.jest iIocz}'trcrnchvÓch hornologii
}) liażrle1lrzel<szttrłcenie
(i.5.24.\\-r.ltłlzac.zc istnieje tr'lko je<lrroprzckształcenie rzuttlwe pł'aszcz7rznyza
.,,z+ !]2 : 1 i przeprou'adzaj4ce rr,.1,.1lratre
trzv punktv na tvtl
t.lLtlr\.lt.jttr.e.,krag
pttnktv
rrależące<1otego okręgrt'
tra trz.v rr-\'llrane
tllit't-'gtt
'rr.
De:sar.gue
s
flclolvocllrić'
żejeślipr'ostc AA,, BB,, CC, prze.
7.u,it:lr],zęni,e
6'5'2|l,
''r.jeclrrr,.lrr
prtrrktv
przcciqcia
się
to
1lrtrikcie.
cilrir]il
1llostych AB z A,B,, BC,
prostej.
z l)'C". A(.1 z A'B'leza na jc'<.Lre.j
.l.u,i,t'l-i.l,ze
n,i,e:Pąsco,lo. \\Ivkazać. że prrrrkt1' przecięcia przecii'r.Iegłl,c
6,5'26.
szcścic,ktita
1l'pisattcgolr' okr4g lcżq rra jcdnej pr<lstej'
1ltl]itjrr.
6.5.27. Tu.ię:rrlzert,iePa,pplt,srt'\\'r.kazać. zc prtuktr. przecięcia pt'zecirvległ1'c}
szt.ścio}iętti.
kttirego r'vierzc}rołkis1 kole.jno ttnrieszczone rla drvÓc}łpro]l.-,liijrr'
j
e
r
l
u
c
j prostej.
l
c
z
t
1
n
a
stvch.
6 ' 5 ' 2 t J .N i c c ] i Q 1 , Q , 2 ,0 , : ] ,u . ! b ę d ą p r o s t v r r r it r a p ł a s z c , z y ź n iper z c . c h o c l z ą c v n tpi r z e z
1lrrrlkto. a l pr'ostą rrie przelclioclzącąprzez prrlikt o. \\rr.kazać''że dt,ustosrttrek
1 l l l l l l i t u . p t ' z e c i ę c i ap r o s t l . c h Q 7 , ( 1 ' 2 ,Q ; 1 .Q 4 z p r o s t a l r r i e z a l e z . , ' o c ]r v l . b o r r r1
(ttazr-rvirsię go cltl,ust'osltnkit:rn'
prost,ycłt,
ct,1,tt,2, tI3' {I1').
6.5.29, Niech l będzic. lrieztlegelretowalr4fol.ltrłrcl."r.ulirriorvą
ua (il{l)-lvr.nriaror,r'ej
poclitrzestrzeni U C J"
l)r'zestlzelli u.ektororvej 1/. Iiazdej (A:* 1)-ti-1.nrizrror,ve.)
tjertt1'( n - A')-."vvurial.ou'4podpt.zest,rze1l
Ilt'zr-1lt-lt.ząclkr
L I L : { y e , ' I . f ( . t : .t 1 ) : 0 c l l e rk a z c i e g o : r C I / ' } .
\\- 1err sptlsÓb rv przestrzerii rzutcllvej P(lz) zosta}o okleśIotreodrvzororvanie
1i1. lit re każdej ł-wvtniar'orvej 1lłaszcz1.źtrie
przr.ptirządkou.trjc (n - ł - 1)rr-r'llliitl.cin'łt
płtl'szczvzne (ko,relac:jau.zgiedetn fbrlrrr. /). \\rvkazać. zc:
a) lior.t'lac.iaz:rclrorł,tt.ie
reiację incr'dencji' tzn.
l - l C 1 ' : e - / r ' J( / r ) - Ą - 1 ( 1 ")3:
b) 'jrlślilbt.rlra / jest s}'trtetrl.clzttzr
lrrll trrttvsvtltetrvcztta' to ktlreltrc.ia1i1 jest
i l r r r . u I l t 1 r . t \ . l ltźZ lI.| '
ri f(tit (r/)): ri
c) złozcrrie kor.elacji z y>rzekształcetliettr
rztttolv1.lrijest korc.laci4l
cl) kazcla korelirc.jajest złtizeriietttttst;llorle,jkorelacji z 1)e\\.rl}:lrt
przckształce.
ltlenl rzLtto\\,),ul.
ti.5..30. tlclorł'odnić, zc kaz<Ia krlrelac:.jłr
prclstej rztttorvej clziała na je.j ptrrrktl'
rr' talii sarrr sposÓb. ja,k pervlle przelisztir,łcc'rtic
t'ztttorł'e.
6.5.31.
\Ąr..l.""o/
ło kareleeje
n ł . / \ . ' + ^':.