Informacja - tablice matematyczne

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
WZORY
SPIS TREŚCI
1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................1
2. Potęgi i pierwiastki ...........................................................................................1
3. Logarytmy ........................................................................................................2
4. Silnia. Współczynnik dwumianowy .................................................................2
5. Wzór dwumianowy Newtona ...........................................................................3
6. Wzory skróconego mnożenia ...........................................................................3
7. Ciągi .................................................................................................................3
8. Funkcja kwadratowa.........................................................................................4
9. Geometria analityczna ...................................................................................... 5
10. Planimetria........................................................................................................7
11. Stereometria....................................................................................................12
12. Trygonometria ................................................................................................14
13. Kombinatoryka ...............................................................................................16
14. Rachunek prawdopodobieństwa .....................................................................16
15. Parametry danych statystycznych...................................................................16
16. Przybliżone wartości pierwiastków oraz przybliżona wartość liczby π .......17
17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ...............................................18
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
⎧ x, dla x ≥ 0
x =⎨
⎩− x dla x < 0
Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności:
x ≥0
−x = x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
x+ y ≤ x + y
x− y ≤ x + y
x⋅ y = x ⋅ y
x
x
=
y
y
Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 , mamy warunki równoważne:
x−a ≤ r ⇔ a−r ≤ x ≤ a+r
Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to
x−a ≥ r
⇔
x ≤ a − r lub
x≥ a+r
2. POTĘGI I PIERWIASTKI
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę:
a n = a⋅
...
⋅a
n razy
Pierwiastkiem arytmetycznym
że b n = a .
n
a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,
1
W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:
a2 = a .
Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
_____
*
_____
Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
1
− dla a ≠ 0 :
a−n = n
oraz a 0 = 1
a
m
n
dla a ≥ 0 :
a = n am
m
−
1
− dla a > 0 :
a n =
n m
a
Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą
równości:
s
ar
ar ⋅ as = ar +s
= ar −s
( a r ) = a r ⋅s
as
−
r
r
⎛a⎞ a
( a ⋅ b) = a ⋅ b
⎜ ⎟ = r
⎝b⎠ b
Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla
wszystkich liczb a ≠ 0 , b ≠ 0 .
r
r
r
3. LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik
b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c:
b = log a c ⇔ a b = c
Równoważnie:
a loga c = c
Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:
x
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
log a x r = r ⋅ log a x
log a = log a x − log a y
y
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to
log a c
log b c =
log a b
log x oznacza log10 x .
4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych:
n ! = 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n
Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1 .
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:
( n + 1)! = n ! ⋅ ( n + 1)
_____
*
2
_____
Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy współczynnik
dwumianowy (symbol Newtona):
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
Zachodzą równości:
⎛ n ⎞ n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
⎜ ⎟=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k
⎝k ⎠
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟
⎜ ⎟ =1
⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠
⎝0⎠
⎛n⎞
⎜ ⎟ =1
⎝n⎠
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n
( a + b ) = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ... + ⎜ ⎟ a n−k b k + ... + ⎜ ⎟ ab n−1 + ⎜ ⎟ b n
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝k⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a, b:
2
3
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
( a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
( a − b)
_____
*
3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
_____
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ... + a n − k b k −1 + ... + ab n − 2 + b n −1 )
(a
n
− 1) = ( a − 1) (1 + a + ... + a n −1 )
W szczególności:
a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )
a 2 − 1 = ( a − 1)( a + 1)
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 − 1 = ( a − 1) ( a 2 + a + 1)
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
a 3 + 1 = ( a + 1) ( a 2 − a + 1)
7. CIĄGI
•
Ciąg arytmetyczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:
an = a1 + ( n − 1) r
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn =
2a + ( n − 1) r
a1 + an
⋅n = 1
⋅n
2
2
3
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a +a
an = n −1 n +1 dla n ≥ 2
2
•
Ciąg geometryczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
an = a1 ⋅ q n −1 dla n ≥ 2
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:
⎧ 1 − qn
dla q ≠ 1
⎪a1
Sn = ⎨ 1 − q
⎪n ⋅ a
dla q = 1
⎩ 1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2
•
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem:
p ⎞
⎛
K n = K ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
n
8. FUNKCJA KWADRATOWA
Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , x ∈ R .
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:
2
Δ
b ⎞
⎛
f ( x) = a ⋅⎜ x + ⎟ −
, gdzie Δ = b 2 − 4ac
2a ⎠ 4 a
⎝
pomocnej przy sporządzaniu wykresu.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych
Δ ⎞
⎛ b
⎜ − , − ⎟ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 .
⎝ 2a 4a ⎠
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = ax 2 + bx + c , czyli liczba rozwiązań
równania ax 2 + bx + c = 0 zależy od wyróżnika Δ = b 2 − 4ac :
− jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe
nie ma rozwiązań rzeczywistych),
− jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (równanie
kwadratowe ma jedno rozwiązanie rzeczywiste):
b
x1 = x2 = −
2a
− jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe
ma dwa rozwiązania rzeczywiste):
−b − Δ
−b + Δ
x1 =
x2 =
2a
2a
4
Jeśli Δ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:
f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )
Wzory Viéte’a:
x1 + x2 =
−b
a
x1 ⋅ x2 =
c
a
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
•
Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach
A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) dana jest wzorem:
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A )
2
y
2
A = ( xA , yA )
Współrzędne środka odcinka AB:
⎛ x A + xB y A + y B ⎞
,
⎜
⎟
2 ⎠
⎝ 2
•
Wektory
•
Prosta
B = ( xB , yB )
O
x
JJJG
Współrzędne wektora AB , który przesuwa punkt A na punkt B:
JJJG
AB = [ xB − x A , yB − y A ]
G
G
Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to
G G
G
u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ]
a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ]
Równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0 ,
gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).
Jeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy;
jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.
y
y = ax + b
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona
równanie kierunkowe:
b
y = ax + b
Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:
a = tgα
α
Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym
dana prosta ją przecina.
O
x
5
Równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym a i przechodzącej przez
punkt P = ( x0 , y0 ) :
y = a ( x − x0 ) + y0
Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) :
( y − y A )( xB − xA ) − ( yB − y A )( x − xA ) = 0
•
Prosta i punkt
Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 dana jest wzorem:
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
•
Para prostych
Dwie proste, o równaniach kierunkowych
y = a1 x + b1
y = a2 x + b2
spełniają jeden z następujących warunków:
− są równoległe, gdy a1 = a2 ,
− są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 ,
− tworzą kąt ϕ taki, że: 0D < ϕ < 90D i tgϕ =
a1 − a2
1 + a1a2
Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:
A1 x + B1 y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0
to odpowiednio:
− są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 ,
− są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 ,
− tworzą kąt ϕ taki, że: 0D < ϕ < 90D i tgϕ =
•
A1 B2 − A2 B1
A1 A2 + B1 B2
Trójkąt
Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ) , dane jest
wzorem:
1
( xB − xA )( yC − y A ) − ( yB − y A )( xC − xA )
2
Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:
⎛ x A + xB + xC y A + yB + yC ⎞
,
⎜
⎟
3
3
⎝
⎠
PΔABC =
6
•
Przekształcenia geometryczne
G
− przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( x + a, y + b ) ;
− symetria względem osi Ox przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( x, − y ) ;
− symetria względem osi Oy przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( − x, y ) ;
− symetria względem punktu ( a, b ) przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( 2a − x, 2b − y ) ;
− jednokładność o środku w punkcie
( 0,0 )
i skali s ≠ 0 przekształca punkt
( x, y )
na punkt ( sx, sy ) .
•
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie ( a, b ) i promieniu r:
( x − a ) + ( y − b)
2
lub
2
= r2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
gdy r 2 = a 2 + b 2 − c > 0
10. PLANIMETRIA
•
Cechy przystawania trójkątów
C
A
F
B
D
E
To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( Δ ABC ≡ Δ DEF ), możemy wywnioskować
z każdej z następujących cech przystawania trójkątów:
− cecha przystawania „bok – bok – bok”:
odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE ,
AC = DF , BC = EF ;
− cecha przystawania „bok – kąt – bok”:
dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta
oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę
jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF ,
)BAC = )EDF ;
− cecha przystawania „kąt – bok – kąt”:
jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego
trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku,
są równe, np. AB = DE , )BAC = )EDF , )ABC = )DEF .
7
•
Cechy podobieństwa trójkątów
C
F
A
B
E
D
To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( Δ ABC ~ Δ DEF ), możemy wywnioskować
z każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:
− cecha podobieństwa „bok – bok – bok”:
AB
AC
BC
odpowiadające sobie boki obu trójkątów są proporcjonalne:
;
=
=
DE
DF
EF
− cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”:
odpowiadające sobie kąty są równe:
)BAC = )EDF ,
)ABC = )DEF ,
)ACB = )DFE ;
Uwaga. Wystarczy, by dwa kąty jednego trójkąta były równe dwóm kątom drugiego
trójkąta.
− cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”:
dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiadających im boków drugiego
trójkąta oraz miary kątów zawartych między tymi bokami w obu trójkątach są równe,
AB
AC
np.
, )BAC = )EDF .
=
DE
DF
•
Oznaczenia
a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio
naprzeciwko wierzchołków A, B, C;
C
γ
b
α , β , γ – miary kątów przy
a
α
A
2 p = a + b + c – obwód trójkąta;
wierzchołkach A, B, C;
ha , hb , hc – wysokości, opuszczone
z wierzchołków A, B, C;
β
c
B
R, r – promienie okręgów opisanego
i wpisanego.
•
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c 2 .
8
•
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:
hc2 = AD ⋅ DB
C
γ
b
.
α
•
a
hc
A
c
ab
c
a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β
1
a = b ⋅ tgα = b ⋅
tgβ
1
R= c
2
hc =
β
D
B
•
Twierdzenie sinusów
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
•
Twierdzenie cosinusów
Wzory na pole trójkąta
1
1
1
PΔABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc
2
2
2
•
PΔABC =
1
1
a ⋅ b ⋅ sin γ , gdy γ jest kątem rozwartym to PΔABC = a ⋅ b ⋅ sin (180D − γ )
2
2
PΔABC =
1 2 sin β ⋅ sin γ
= 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ
a
2
sin α
PΔABC =
abc
= rp =
4R
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Twierdzenie Talesa
Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste przecinające się w punkcie O, to
OA
OB
=
.
OA′ OB′
B
B
A′
A
O
•
A′
O
B′
A
B′
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste przecinające się w punkcie O oraz
to proste AA′ i BB′ są równoległe.
9
OA
OB
=
,
OA′ OB′
•
Czworokąty
b
D
Trapez
Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę
boków równoległych.
Wzór na pole trapezu:
a+b
P=
⋅h
2
C
h
E
A
B
a
D
C
h
ϕ
b
α
A
B
a
D
C
h
A
α
B
a
D
A
C
B
•
Deltoid
Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą
jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu:
1
P = ⋅ AC ⋅ BD
2
Koło
Wzór na pole koła o promieniu r:
P = π r2
Obwód koła o promieniu r:
Ob = 2π r
r
O
•
Równoległobok
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych.
Wzory na pole równoległoboku:
1
P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin ϕ
2
Romb
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych jednakowej długości.
Wzory na pole rombu:
1
P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD
2
Wycinek koła
r
O
A
Wzór na pole wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α D :
P = π r2 ⋅
α
B
αD
360D
Długość łuku wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α D :
l = 2π r ⋅
10
αD
360D
•
Kąty w okręgu
α
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa
połowie miary kąta środkowego, opartego
na tym samym łuku.
α
α
O
2α
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych
na tym samym łuku, są równe.
B
A
•
Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą
Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego
okręgu w punkcie A. Wtedy )AOB = 2 ⋅ )CAB , przy czym wybieramy ten z kątów
środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB.
B
B
O
O
A
•
C
A
C
Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu
w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to
2
PA ⋅ PB = PC
A
B
P
C
11
•
Okrąg opisany na czworokącie
C
γ
β
B
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy
i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwległych kątów wewnętrznych
są równe 180°:
D δ
α + γ = β + δ = 180D
α
A
•
Okrąg wpisany w czworokąt
c
C
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego
przeciwległych boków są równe:
D
r
b
d
a+c =b+d
A
a
B
11. STEREOMETRIA
•
Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
k
l
P
m
Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę
płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P.
Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła
do prostej l.
12
•
Oznaczenia
P – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole powierzchni podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej
V – objętość
•
Prostopadłościan
H
G
E
F
P = 2 ( ab + bc + ac )
c
C
D
V = abc
gdzie a, b, c są długościami krawędzi
prostopadłościanu.
b
A
•
B
a
Graniastosłup prosty
I
J
H
F
Pb = 2 p ⋅ h
V = Pp ⋅ h
G
h
gdzie 2 p jest obwodem podstawy
graniastosłupa.
D
E
C
A
•
B
Ostrosłup
S
1
V = Pp ⋅ h
3
gdzie h jest wysokością ostrosłupa.
h
D
E
C
A
B
13
•
Walec
Pb = 2π rh
h
r
P = 2π r ( r + h )
V = π r 2h
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokością walca.
O
•
Stożek
S
Pb = π rl
P = π r (r + l )
1
V = π r 2h
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokością, l długością tworzącej stożka.
h l
O
•
r
Kula
O
P = 4π r 2
4
V = π r3
3
gdzie r jest promieniem kuli.
r
12 TRYGONOMETRIA
•
Definicje funkcji trygonometrycznych
y
y
r
y
tgα =
x
M=(x, y)
r
sin α =
y
cos α =
( x ≠ 0)
gdzie r = x 2 + y 2
α
O
x
M’
x
14
x
r
•
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y = sin x
y = tg x
y = cos x
•
Związki między funkcjami tego samego kąta
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tgα =
cos α
•
•
α≠
dla
π
2
+ kπ
k – całkowite
Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych
α
0D
α
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
30D
45D
60D
90D
6
1
2
4
2
2
2
2
3
3
2
1
2
2
1
3
π
3
2
3
3
π
π
π
1
0
nie
istnieje
Funkcje sumy i różnicy kątów
Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Ponadto mamy równości:
tgα + tgβ
tgα − tgβ
tg (α + β ) =
tg (α − β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
•
Funkcje podwojonego kąta
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
15
13. KOMBINATORYKA
•
Permutacje
Liczba sposobów, w jaki n ≥ 1 elementów można ustawić w ciąg, jest równa n ! .
•
Wariacje bez powtórzeń
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k ( 1 ≤ k ≤ n )
różnych wyrazów, jest równa
n!
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =
( n − k )!
•
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się
z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk.
•
Kombinacje
Liczba sposobów, w jaki spośród n elementów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n ) elementów,
⎛n⎞
jest równa ⎜ ⎟
⎝k ⎠
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
•
Własności prawdopodobieństwa
0 ≤ P ( A ) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω
P (Ω) = 1
Ω – zdarzenie pewne
P (∅) = 0
∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )
P ( A) ≤ P ( B )
gdy A ⊂ B ⊂ Ω
P ( A′ ) = 1 − P ( A ) , gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A.
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω ,
zatem P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω .
•
Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście
każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo
zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe
P ( A) =
A
Ω
gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
•
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
a1 + a2 + ... + an
n
16
•
Średnia ważona
Średnia ważona n liczb a1 , a2 ,..., an którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi
w1 , w2 ,..., wn jest równa:
w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an
w1 + w2 + ... + wn
•
Średnia geometryczna
Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
n
•
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
Mediana
Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej ciągu n danych liczbowych
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest:
− dla n nieparzystych: a n +1 (środkowy wyraz ciągu),
2
− dla n parzystych:
•
⎞
1⎛
⎜ a n + a n +1 ⎟ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu).
2⎝ 2
2 ⎠
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 ,..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:
( a − a ) + ( a2 − a )
σ = 1
2
2
+ ... + ( an − a )
2
a12 + a22 + ... + an2
2
− (a )
n
n
Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
2
=
16. PRZYBLIŻONE WARTOŚCI PIERWIASTKÓW ORAZ PRZYBLIŻONA WARTOŚĆ LICZBY π
2 ≈ 1, 4142
3
2 ≈ 1, 2599
3 ≈ 1, 7321
3
3 ≈ 1, 4422
4=2
3
4 ≈ 1,5874
5 ≈ 2, 2361
3
5 ≈ 1, 7100
6 ≈ 2, 4495
3
6 ≈ 1,8171
7 ≈ 2, 6458
3
7 ≈ 1,9129
8 ≈ 2,8284
3
8=2
9 =3
3
9 ≈ 2, 0801
10 ≈ 3,1623
3
10 ≈ 2,1544
π ≈ 3,1416
17
17. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
α [D ]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
sin α
cos β
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
tgα
β [D ]
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
α [D ]
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
18
sin α
cos β
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
tgα
β [D ]
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
–
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0